【正文】 內(nèi)滿足以下條件： )()( xgxf ?? ， )()( xfxg ?? ，且 f(0)=0, .2)()( xexgxf ?? (1) 求 F(x)所滿足的一階微分方程； (2) 求出 F(x)的表達(dá)式 . 八、（本題滿分 8分） 設(shè)函數(shù) f(x)在 [0， 3]上連續(xù)，在（ 0， 3）內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=)3,0(?? ，使 .0)( ???f 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 32 九、（本題滿分 13 分） 已知齊次線性方程組 ?????????????????????????????????,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nnnnnnnnxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxba?????????????? 其中 .01 ???ni ia 試討論 naaa , 21 ? 和 b 滿足何種關(guān)系時， (1) 方程組僅有零解； (2) 方程組有非零解 . 在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系 . 十、（本題滿分 13 分） 設(shè)二次型 )0(222),( 31232221321 ?????? bxbxxxaxAXXxxxf T， 中二次型的矩 陣 A的特征值之和為 1，特征值之積為 12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交變換將二次型 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 33 十一、（本題滿分 13 分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 。 （ 21）（本題滿 分 13分） 設(shè) 3階實對稱矩陣 A 的各行元素之和均為 3，向量 ? ? ? ?TT121 , 2 , 1 , 0 , 1 , 1??? ? ? ? ?是線性方程組 0Ax? 的兩個解。(0)f 存在 （ D）若0 ( ) ( )limx f x f xx? ??存在，則 39。 （ 20）（本題滿分 10分） 將函數(shù)2 1() 34fx xx? ??展開成 1x? 的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。 （ Ⅰ ）求參數(shù) ? 的矩估計量 ? ； （ Ⅱ ）判斷 24X 是否為 2? 的無偏估計量，并說明理由 。 （ 24）（本題滿分 11 分） 設(shè)總體 X 的概率密度為 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 57 1 0,21( 。39。 （ Ⅰ ）求 ? 的矩估計； （ Ⅱ ）求 ? 的最大似然估計。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 50 （ 19）（本題滿分 10分） 求冪級數(shù) ? ?? ?1 2111 21n nnxnn? ???? ?? 的收斂域及和函數(shù) ()sx 。],8,1[,0,3 1)( 3 2其他若 ??????? xxxf F(x)是 X 的分布函數(shù) . 求隨機(jī)變量 Y=F(X)的分布函數(shù) . 十二、（本題滿分 13 分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立，其中 X 的概率分布為 ???????? 21~X， 而 Y 的概率密度為 f(y)，求隨機(jī)變量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 34 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、填空題：本題共 6小題，每小題 4分，滿分 24分 . 請將答案寫在答題紙指定位置上 . (1) 若 ? ?0 s inlim c o s 5xx x xbea? ???，則 a? ______， b? ______. (2) 函數(shù) ? ?,f uv 由關(guān)系式 ? ? ? ?,f xg y y x g y??????確定，其中函數(shù) ??gy可微，且 ? ? 0gy? ，則 2fuv? ??? ______. (3) 設(shè) ? ?2 11,2211 , ,2xxe xfxx? ? ? ???? ?? ???? 則 ? ?212 1f x dx???_____. (4) 二次型 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1,f x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?的秩為 ______. (5) 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，則 ? ?P X DX??______. (6) 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 ? ?21,N ?? ，總體 Y 服從正態(tài)分布 ? ?22,N ?? ，112, , , nX X X和212, , , nY Y Y分別是來自總體 X 和 Y 的簡單隨機(jī)樣本，則 ? ? ? ?12221112 2nnijijX X Y YE nn????? ? ??????????______. 二、選擇題：本題共 8 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求， 請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上 . (7) 函數(shù) ? ? ? ?? ?? ?2sin 212xxfx x x x?? ??在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界 . （ A） ? ?1,0? （ B） ? ?0,1 （ C） ? ?1,2 （ D） ? ?2,3 (8) 設(shè) ??fx在 ? ?,???? 內(nèi)有定義，且 ? ?limx f x a?? ?， ? ? 1 , 0 ,0 , 0 ,fxgx xx? ?? ?? ??? ?????? 則 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 35 （ A） 0x? 必是 ??gx的第一類間斷點(diǎn) （ B） 0x? 必是 ??gx的第二類間斷點(diǎn) （ C） 0x? 必是 ??gx的連續(xù)點(diǎn) （ D） ??gx在點(diǎn) 0x? 處的連續(xù)性與 a 的值有關(guān) . (9) 設(shè) ? ? ? ?1f x x x??，則 （ A） 0x? 是 ??fx的極值點(diǎn)，但 ? ?0,0 不是曲線 ? ?y f x? 的拐點(diǎn) （ B） 0x? 不是 ??fx的極值點(diǎn)，但 ? ?0,0 是曲線 ? ?y f x? 的拐點(diǎn) （ C） 0x? 是 ??fx的極值點(diǎn)，且 ? ?0,0 是曲線 ? ?y f x? 的拐點(diǎn) （ D） 0x? 不是 ??fx的極值點(diǎn)， ? ?0,0 也不是曲線 ? ?y f x? 的拐點(diǎn) (10) 設(shè)有以下命題： ① 若 ? ?2 1 21 nnn uu??? ??收斂，則1 nn u???收斂 ② 若1 nn u???收斂，則10001 nn u????收斂 ③ 若 1lim 1nn nuu??? ?，則1 nn u???發(fā)散 ④ 若 ? ?1 nnn uv?? ??收斂，則1 nn a???，1 nn v???都收斂 則以上命題中正確的是 （ A） ①② （ B） ②③ （ C） ③④ （ D） ①④ (11) 設(shè) ??fx? 在 ? ?,ab 上連續(xù)，且 ? ? ? ?0, 0f a f b????，則下列結(jié)論中錯誤的是 （ A）至少存在一點(diǎn) ? ?0 ,x ab? ，使得 ? ? ? ?0f x f a? （ B）至少存在一點(diǎn) ? ?0 ,x ab? ，使得 ? ? ? ?0f x f b? （ C）至少存在一點(diǎn) ? ?0 ,x ab? ，使得 ? ?0 0fx? ? （ D）至少存在一點(diǎn) ? ?0 ,x ab? ，使得 ? ?0 0fx? (12) 設(shè) n 階矩陣 A 與 B 等價，則必有 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 36 （ A）當(dāng) ? ?0A a a??時， Ba? （ B）當(dāng) ? ?0A a a??時， Ba?? （ C）當(dāng) 0A? 時， 0B? （ D）當(dāng) 0A? 時， 0B? (13) 設(shè) n 階矩陣 A 的伴隨矩陣 * 0A? ，若 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 是非齊次線性方程組 Ax b? 的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組 0Ax? 的基礎(chǔ)解系 （ A）不存在 （ B）僅含一個非零解向量 （ C）含有兩個線性無關(guān)的解向量 （ D）含有三個線性無關(guān)的解向量 (14) 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 ? ?0,1N ，對給定的 ? ?0,1?? ，數(shù) nu 滿足? ?P X u? ???，若 ? ?P X x ???，則 x 等于 （ A）2u? （ B）12u?? （ C）12u?? （ D） 1u?? 三、解答題：本題共 9 小題，滿分 94 分 . 請將解答寫在答題紙指定的位置上 . 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . （ 15）（本題滿分 8 分） 求 2220 1 co slim sinx xxx????????. （ 16）（本題滿分 8 分） 求 ? ?22D x y y d?????，其中 D 是由圓 224xy??和 ? ?2 211xy? ? ? 所圍成的平面區(qū)域（如圖） . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 37 （ 17）（本題滿分 8 分） 設(shè) ? ? ? ?,f x g x 在 ? ?,ab 上連續(xù)，且滿足 ? ? ? ?xxaaf t dt g t dt???， ? ?,x ab? ， ? ? ? ?bbaaf t dt g t dt??? 證明： ? ? ? ?bbaaxf x dx xg x dx???. （ 18）（本題滿分 9 分） 設(shè)某商品的需求函數(shù)為 100 5QP??，其中價格 ? ?0,20P? ， Q 為需求量 . （ Ⅰ ）求需求量對價格的彈性 ? ?0ddEE? ； 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 38 （ Ⅱ ）推導(dǎo) ? ?1ddR QEdP ??（其中 R 為收益），并用彈性 dE 說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加 . （ 19）（本題滿分 9 分） 設(shè)級數(shù) ? ?4 6 82 4 2 4 6 2 4 6 8x x x x? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?的和函數(shù)為 ??： （ Ⅰ ） ??Sx所滿足的一階微分方程； （ Ⅱ ） ??Sx的表達(dá)式 . （ 20）（本題滿分 13分） 設(shè) ? ? ? ? ? ?1 2 31 , 2 , 0 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 2T T Ta a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?1,3, 3 T? ??. 試討論當(dāng) ,ab為何值時， （ Ⅰ ） ? 不能由 1 2 3,? ? ? 線性表示； 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 39 （ Ⅱ ） ? 可由 1 2 3,? ? ? 唯一地線性表示，并求出表示式； （ Ⅲ） ? 可由 1 2 3,? ? ? 線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式 . （ 21）（本題滿分 13分） 設(shè) n 階矩陣111bbbbAbb????? ????. （ Ⅰ ）求 A 的特征值和特征向量； （ Ⅱ ）求可逆矩陣 P ，使得 1PAP? 為對角矩陣 . （ 22）（本題滿分 13分） 設(shè) ,AB 為 兩 個 隨 機(jī) 事 件 ， 且 ? ? ? ? ? ?111,432P A P B A P A B