【正文】 xPt???? （ ） 在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，歐式看漲期權(quán)定價(jià)為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?KSEtTrtSV TQ ???? ,0m a xe x p, （ ） ? ?? ?? ?? ?? ?? ?dxtTtTrSxtTxKdxtTtTrSxtTKSEKKTQ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22222222lne x p222lne x p21,0m a x???????? （ ） 接下來(lái)，求解以上風(fēng)險(xiǎn)中性期望，對(duì)（ ）式的右側(cè)第一個(gè)廣義積分做變量替換 ? ?tT tTrSxy ?????????? ??? ??2ln2和 tTyu ??? ? ，可以得到 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?12ln22ln22222222212122lne x p21dNSedueSedueSedxtTtTrSxtTtTrtTtTrKSutTrtTtTrSKutTrK??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 再對(duì)等式右側(cè)的第二個(gè)無(wú)窮積分，令 ? ?tT tTrSxu ? ????????? ???? ??2lnln2，可求得 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 16 ? ?? ?? ?? ?? ?22lnln22lnln22222222212122lne x p2dKNdueKdueKdxtTtTrSxtTxKtTtTrKSutTtTrSKuK?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 將以上求出的計(jì)算結(jié)果帶入期望等式中，最終得到歐 式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21,0m a x, dNKedSNKSeEtSV tTrTtTrQ ???? ???? （ ） 其中 ? ?tTtTrKSd ?????????? ??? ??2ln21 ， tTdd ??? ?12 。 市場(chǎng)上不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。所以，期權(quán)定價(jià)一直以來(lái)都是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域上最為復(fù)雜的問(wèn)題之一。并且隨著到期時(shí)間的縮短，期權(quán)價(jià)值也 會(huì)跟隨降低。原因就是時(shí)間越充裕，標(biāo)的資產(chǎn)就越會(huì)有充裕的時(shí)間，有更多的機(jī)會(huì)向著對(duì)期權(quán)買(mǎi)家有利的方向變動(dòng)，最后，隨著時(shí)間一點(diǎn)點(diǎn)減少，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格發(fā)生變動(dòng)的概 率也就相應(yīng)減少了。在到期行使期權(quán)的時(shí)侯，在絕大多數(shù)期權(quán)交易中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)很接近于持有者手中持有的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。值得一提的是，如果真的遇到了虛值期權(quán)現(xiàn)象，買(mǎi)方多數(shù)會(huì)選擇放棄履行約定權(quán)利，這樣做的話(huà)損失的部分并不會(huì)很多，僅僅限制于期權(quán)費(fèi)用而已。所謂的內(nèi)在價(jià)值，指的就是在期權(quán)內(nèi)部，零和期權(quán)立刻執(zhí)行的時(shí)候所具有的價(jià)值間的極大值或者極小值，也就是 ? ?? ?0,max ??KS ，在這個(gè)式子中， S 代表的就是標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)格， K 代表的則為期權(quán)執(zhí)行的價(jià)格。值得一提的是，雖然大多數(shù)的美式期權(quán)合同允許持 有者在交易日至履行合約日之內(nèi)的任意時(shí)間履行合約，但也存在少數(shù)美式期權(quán)合同明確規(guī)定一段比較短的時(shí)間履行合約，比如說(shuō)“到期日前一周”。 表 21 期權(quán)交易中買(mǎi)賣(mài)雙方的權(quán)利與義務(wù)關(guān)系表 買(mǎi)方 賣(mài)方 權(quán)利與義務(wù)關(guān)系 有權(quán)利無(wú)義務(wù) 有義務(wù)無(wú)權(quán)利 期權(quán)費(fèi) 支出 收入 履行合約 主動(dòng)決定 被動(dòng)接受 最大損失 期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金 無(wú)限 最大獲利 無(wú)限 期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 期權(quán)的分類(lèi) 期權(quán)由于其交易方式、交易方向以及標(biāo)的物等方面的不同，導(dǎo)致產(chǎn)生了眾多的期權(quán)品種，只有對(duì)它們進(jìn)行合理的分類(lèi)，我們才能對(duì)期權(quán)有更多更好的了解。另外，它還具有同一時(shí)間計(jì)算多個(gè)方案和多個(gè)未知變化量的能力， 且其誤差容易確定。在對(duì)同一個(gè) ? 進(jìn)行 抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定? ，將 n 增大 100 倍；要么固定 n 將 ? 減小 10 倍。近年來(lái)，科技進(jìn)步，隨著高速電子計(jì)算機(jī)的問(wèn)世，使得運(yùn)用蒙特卡洛算法模擬大量數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)成為可能。 以下舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)講述下蒙特卡洛算法的基本原理，例如： ??dxxfA ?? 10 （ ） 這個(gè)式子的含義為計(jì)算函數(shù) ??xf 在 [0， 1]區(qū)間上的積分值 A ，通過(guò)（ ）式，我們不難發(fā)現(xiàn)該算術(shù)式等價(jià)于計(jì)算數(shù)學(xué)期望 ? ?? ?? ?xfEA? （ ） 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 6 其中，變量 X 是服從 [0， 1]區(qū)間上的均勻分布，即為 ? ?1,0~UX 。 X=rand(Number,1)。在蒙特卡洛算法中用到的是隨機(jī)變 量序列同分布的柯?tīng)柲曷宸驈?qiáng)大數(shù)定律。 第四章為蒙特卡洛算法改進(jìn)方法，主要是闡述了改進(jìn)后的擬蒙特卡洛模擬算法，結(jié)合了 Halton 偏低差序列 后，使得期權(quán)價(jià)格更接近歐式看漲期權(quán)價(jià)格的真實(shí)值。 第一章引言。中國(guó)山東大學(xué)的羅晨曦 [10]在彭實(shí)戈教授的指導(dǎo)下也為此領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)，彭實(shí)戈教授利用倒向隨機(jī)微分方程得到 FeynmanKac公式，該公式在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用。下面，我們舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，針對(duì)于傳統(tǒng)的 BlackScholes 模型，股票假設(shè)為是不具有紅利的， R. Merton 則對(duì)此 進(jìn)行了改進(jìn)，并且他從另一方面重點(diǎn)提出了針對(duì)于存在紅利的股票使用的特殊期權(quán)定價(jià)模型。 金融產(chǎn)業(yè)依照其自身特點(diǎn)，本來(lái)就是高風(fēng)險(xiǎn)的，而為了規(guī)避這種風(fēng)險(xiǎn)，期權(quán)就應(yīng)運(yùn)而生了，縱觀(guān)歷史發(fā)展，早在《圣經(jīng) .創(chuàng)世紀(jì)》和 17 世紀(jì)荷蘭郁金香炒作事件中，期權(quán)的概念就已頻頻出現(xiàn)了， 18 世紀(jì)時(shí)，歐洲和美國(guó)則相繼出現(xiàn)了有組織有紀(jì)律的期權(quán)交易及股票期權(quán)，直到 1973 年 4 月 26 日，標(biāo)志著期權(quán)時(shí)代真正開(kāi)始的世界第一家期權(quán)交易所 —— 芝加哥期權(quán)交易所誕生了，同年， Fisher Black 和 Myron Scholes 發(fā)表論文《期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債》使得期權(quán)定價(jià)難題迎刃而解，這便是著名的 BlackScholes 模型。第三章建立模型，利用蒙特卡洛算法生成歐式期權(quán)定價(jià)公式，進(jìn)而得到基于蒙 特卡洛算法下的歐式 期權(quán)價(jià)格。 畢業(yè)論文 基于蒙特卡洛 算法的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題研究 STUDY ON THE PRICING OF THE EUROPEAN OPTIONS BASED ON MONTE CARLO ALGORITHM 摘 要 近年來(lái)，隨著全球經(jīng)濟(jì)飛速的發(fā)展，金融市場(chǎng)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的地位也在不斷的上漲。第二章是預(yù)備知識(shí)，主要介紹了文章所用到的基礎(chǔ)理論知識(shí)，例如蒙特卡洛算法、歐式期權(quán)、 BlackScholes 模型的概念。它在國(guó)際上的分類(lèi)也是有很多種的，目前主要是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài) 、原生資產(chǎn)和交易方法分類(lèi)的，本文主要研究的是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài)的分類(lèi)，大致可分為遠(yuǎn)期、期貨、期權(quán)以及互換四類(lèi)，而在這四類(lèi)中，大多數(shù)人更關(guān)注期權(quán)。這樣就使得 BlackScholes模型能夠適用于更加廣泛的金融行業(yè)衍生產(chǎn)品，并且可以適用于更加寬松同時(shí)更加普遍的經(jīng)濟(jì)金融環(huán)境中。近 十幾年來(lái)隨著倒向隨機(jī)方程研究的快速發(fā)展，也使得倒向隨機(jī)微分方程在金融領(lǐng)域的應(yīng)用受到越來(lái)越廣泛的關(guān)注。 本文研究?jī)?nèi)容及研究結(jié)構(gòu) 本文基于蒙特卡洛算法，將歐式期權(quán)定價(jià)隨機(jī)化，文章共分為五個(gè)章節(jié)。由此根據(jù)期權(quán)在資產(chǎn)不同價(jià)格下的價(jià)值得到期權(quán)在到期日的價(jià)值分布，再取期權(quán)在到期日價(jià)值的均值作為期權(quán)的價(jià)格。 大數(shù)定律是概率論中用以說(shuō)明大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。數(shù)學(xué)軟件 Matlab計(jì)算圓周率代碼如下： Number=9000000。因此，可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為，蒙特卡洛算法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分的，即為將所要計(jì)算的積分看作服從某種特殊分布密度函數(shù) ??XF 的隨機(jī)變量 ??xf 的數(shù)學(xué)期望。其他各類(lèi)分布的隨機(jī)變量都是借助于隨機(jī)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，由此可見(jiàn)，隨機(jī)數(shù)是抽樣計(jì)算的基本工具。 由以上數(shù)據(jù)及公式，我們不難看出，蒙特卡洛算法的誤差是由 ? 和 n 同時(shí)決定的。這是普通的數(shù)值方法幾乎都難以攻克的問(wèn)題。在本文表21 中，詳細(xì)的闡述了在期權(quán)交易過(guò)程中，雙方權(quán)利與義務(wù)的關(guān)系。美式期權(quán)的結(jié)算日是在履行合約后的一天到兩天。 期權(quán)價(jià)值 不管是哪類(lèi)期權(quán)，都會(huì)有自身的內(nèi)在價(jià)值存在。最后，由于買(mǎi)進(jìn)標(biāo)的物時(shí)候的市場(chǎng)價(jià)格大于賣(mài)出時(shí)候的執(zhí)行價(jià)格，若賣(mài)方履約，則買(mǎi)方處于一種被動(dòng)狀態(tài)，不得不履行約定，致使虧損，這種情況便是虛值期權(quán)。 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格 K 。單就剩余時(shí)間這一條而言，剩余的時(shí)間越多，期權(quán)執(zhí)行時(shí)的價(jià)格就越高。為了便于讀者更好的理解，本文把上述幾種期權(quán)影響因素制作成表 23，如下： 表 23 各類(lèi)因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響 影響因素 看漲期權(quán) 看跌期權(quán) 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格 上升 下降 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率 上升 下降 到期執(zhí)行價(jià)格 上升 下降 距到期日的剩余時(shí)間 上升 下降 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 上升 下降 從以上分析不難看出，期權(quán)最初的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)到期的執(zhí)行價(jià)格這兩天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 12 個(gè)因素對(duì)于決定期權(quán)價(jià)格是尤為重要的，它們主要決定了某種期權(quán)究竟是何種類(lèi)型的，實(shí)值、兩平或者是虛值。 期權(quán)的定價(jià)模型 歐式期權(quán)定價(jià)模型介紹 歐式期權(quán)在文章 節(jié)中已經(jīng)介紹過(guò)了， 歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日 之前不能行使該項(xiàng)權(quán)利，期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)合約中唯一一個(gè)隨市場(chǎng)供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買(mǎi)賣(mài)雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的 核心問(wèn)題。 在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。 歐式看跌期權(quán)終、邊值條件為 ? ? ? ?TSKTSV ?? ,0m a x, （ ） ? ???? ???? SSKTSV 0 0, （ ） 風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型 如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) dWrdtSdS ??? （ ） 即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率 ? 取為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 。由于（ ）式， m 條路徑的收益均值為 ??? mi jmean CmC 11 ， m 條路徑的方差為 ? ??? ??? mi me a nj CCmC 1 2v a r 11 ，由此可得到 95%的置信區(qū)間為 ?????? ?? mCCmCCm e a nm e a n v a rv a r ,。 for i=1:50 s(:,i+1)=s(:,i)+s(:,i)*r*deltaT+sigma*deltaT^*(s(:,i).*rx(:,i))。那要如何減少方差呢，我們會(huì)介紹以下幾種