【正文】 它的具體操作步驟如下： 首先選擇 m 個(gè)基 mbbb , 21 ??? ，一般的，都是選擇自然界前 m 個(gè)素?cái)?shù)。 X=randn(Number_Data,1)。 下面我們來(lái)做關(guān)于期權(quán)的進(jìn)一步應(yīng)用分析，首先，對(duì)偶變量法要模擬出兩組衍生證券的價(jià)值和，其一當(dāng)然是用蒙特卡洛傳統(tǒng)方法得到，第二種就是改變了抽樣樣本的自身的符號(hào)從而得到的結(jié)果，最終模擬值就是取了兩種方式的平均值。在本文第二章中，我們推導(dǎo)出了 BS 模型公式，用該公式我們得到的期權(quán)價(jià)格為： 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 20 ? ? 2 221 ?????????????? ??? tTtTrKSd ?? 0 4 9 5 3 0 3 ????? tTdd ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 3 5 4 9 0 3 ,0m a x, 21?????????????NeN dNKedSNKSEetSVtTrTQtTr 通過計(jì)算可以看出，兩者之間只差了 ，可見蒙特卡洛算法模擬歐式期權(quán)定價(jià)問題還是很精確的，只要模擬次數(shù)不斷增加，結(jié)果就會(huì)不斷的精確。 sigma=。一般的，期權(quán)定價(jià)蒙特卡洛算法分為以下幾步： （ 1） 在風(fēng)險(xiǎn)中性的測(cè)度前提下，模擬期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，將時(shí)間區(qū)間? ?T,0 分成 n 個(gè)子區(qū)間 Ttttt n????????? 2100 ，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散形式是 ? ? ? ? ? ? iiiii Zttttrijij etStS ????????? ?? ??? 112211 ??， ? ?1,0~ NZi （ ） （ 2） 嘗試計(jì)算下，在這條路徑下的期權(quán)的到期回報(bào)率，并且 可以試圖根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率求得期權(quán)到期回報(bào)的貼現(xiàn) ? ? ? ?KSrTC jTj ??? ,0m a xe xp （ ） （ 3） 重復(fù)前面兩個(gè)步驟，可以得到大量的期權(quán)回報(bào)的貼現(xiàn)值的抽樣 樣本。它的使用范圍偏廣泛，包括歐式看 漲期權(quán)、歐式看 跌期權(quán)、美式看 漲期權(quán)、美式看 跌期權(quán)，只不過，由于它們的終值條件以及邊界條件不盡相同，導(dǎo) 致它們的價(jià)值也各不相同。 不考慮交易費(fèi)用或稅收等交易成本。買家之所以會(huì)買入看漲期權(quán)，主要是因?yàn)橘I家在購(gòu)買前，分析了有關(guān)期貨市場(chǎng)上價(jià)格的變動(dòng)，通過分析，買家會(huì)認(rèn)為期貨市場(chǎng)上該股上漲空間更大一些，所以，買家選擇了持有看漲期權(quán)，之后買家支付了一定金額的權(quán)利金，一旦市場(chǎng)上的價(jià)格如意料中大幅上漲，持有者便低收高賣從中獲利。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是與期權(quán)時(shí)間價(jià)值成反比的。標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率增加意味著期權(quán)的價(jià)格也會(huì)隨之增加，同時(shí)波動(dòng)率的增加也意味著期權(quán)持有者也就是買方獲利會(huì)更多。 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格 S 。 總結(jié)一下，本文以賣權(quán)舉例：首先，由于標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)格低于其執(zhí)行價(jià)格，賣方買進(jìn)標(biāo)的物時(shí)的價(jià)格就會(huì)偏低，因而再賣出時(shí)價(jià)格就是上升，從而獲利，正是這種原因?qū)е铝藢?shí)值賣權(quán)的出現(xiàn)。所謂看漲期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時(shí)間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價(jià)格來(lái)購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)。目前國(guó)內(nèi)的外匯期權(quán)交易幾乎都是采用的歐式期權(quán)合同方式。就期權(quán)的本質(zhì)而言，它其實(shí)指的是在未來(lái)的一定的時(shí)期內(nèi)可以隨意自由進(jìn)行買賣 的權(quán)利，是買方向期權(quán)賣方支付一定數(shù)量的金額（權(quán)利金）后，擁有的 在未來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)（特指美式期權(quán)）或未來(lái)的某一特定日期（特指歐式期權(quán)），以事先規(guī)定好的價(jià)格（履約價(jià)格）向期權(quán)賣方購(gòu)買或出售一定數(shù)量的特定標(biāo)的物的權(quán)利，但是并不負(fù)有期權(quán)必須買進(jìn)或賣出的義務(wù)。除此之外，其收斂速度與待解決的問題的維數(shù)是不相關(guān)的。設(shè)隨機(jī)變量 ? 的方差 ? ? ??? 2??D ，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布的上 2/? 分位數(shù) 2/Z? ，有 ????? ??? ?????????? ???????? ??? ?? 12e x p21p 2/ 2/22/ dttnZZZn （ ） 這表明，置信水平 ?1 所對(duì)應(yīng)的漸進(jìn)置信區(qū)間可以表示為nZ ?? ? ?? 2/n。 事實(shí)上，在使用蒙特卡洛算法模擬時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量，其中最基本和最重要的隨機(jī)變量便是在區(qū)間 ]1,0[ 上的產(chǎn)生的均勻分布的隨 機(jī)變量。 end end mean(Num) ans = 蒙特卡洛算法的基本原理 蒙特卡洛算法大致可表述為：（ 1）建立一個(gè)與求解問題相關(guān)的概率模型，使得所需求得的解的值或者它的函數(shù)能夠表示為所建模型的數(shù)學(xué)期望。由于蒙特天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 5 卡洛算法的誕生，在 19 世紀(jì)，人們便是用這個(gè)方法演變出的投針試驗(yàn)估算出了圓周率 ? 。 中心極限定理是研究隨機(jī)變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并應(yīng)用正態(tài)分布的良好性 質(zhì)解決實(shí)際問題。 利用蒙特卡洛算法生成歐式期權(quán)定價(jià)公式，進(jìn)而得到基于蒙特卡洛算法下的歐式 期權(quán)價(jià)格。同濟(jì)大學(xué)的姜禮尚教授等人對(duì)美式期權(quán)的二叉樹法的收斂性問題也做出了研究，同時(shí)，他對(duì)于多個(gè)資產(chǎn)的美式期權(quán)定價(jià)問題也都有相應(yīng)的研究。牟曠凝 [4]則是探討了擬蒙特卡洛方法相較原始蒙特卡洛方法應(yīng)用于金融期權(quán)定價(jià)問題的優(yōu)勢(shì)?，F(xiàn)如今，在金融史上最具歷史性意義的金融期權(quán)的定價(jià)模型最初是由布萊克 (Fisher Black)及斯科爾斯 (Myron Scholes) 在 1973年發(fā)表于美國(guó)的著名政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志上的一篇文章中提到的，文章名稱為期權(quán)定價(jià)與公司債務(wù)。金融衍生產(chǎn)品，顧名思義，它是金融產(chǎn)業(yè)的派生物，是一種金融工具。本文針對(duì)基于蒙特卡洛算法下的歐式期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行研究，在研究上共分為五章。眾所周知，期權(quán)又被稱為選擇權(quán)，是在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種衍生性 金融工具。第五章為 結(jié)論，是對(duì)本文的研究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。本文主要用到的是早在 19 世紀(jì)就已被提出的蒙特卡洛法，蒙特卡洛法即為利用計(jì)算機(jī)生成大量隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而模擬標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，得出相應(yīng)的期權(quán)收益，并將此收益依照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)，再得到多次貼現(xiàn)后的平均值，最終得出期權(quán)估計(jì)值的方法。早在1997年中，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予 ，我國(guó)就已經(jīng)開始掀起了關(guān)于金融衍生工具的研究熱潮，自此開 始，我國(guó)也不斷地有專著，譯著和與金融衍生物話題相關(guān)的論文問世。蒙特卡洛模擬算法在學(xué)術(shù)界上來(lái)說(shuō)正式誕生是在 1949年，由 。 第二章主要介紹與本文相關(guān)的理論知識(shí)基礎(chǔ)。主要是對(duì)本文的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)。 蒙特卡洛算法誕生于 17 世紀(jì)，當(dāng)時(shí)的人們很聰明的知道利用某種事件的發(fā)生頻率來(lái)決定事件發(fā)生概率。 Num=zeros(length(X),1)。假設(shè) N 取到無(wú)限大，根據(jù)大數(shù)定律， NA? 將會(huì)幾乎取代 A 的值，最終作為 A 的近似值存在。從嚴(yán)格意義上來(lái)講，這種隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生并不是隨機(jī)的，而是根據(jù)確定的遞推公式獲得的，所以被稱之為偽隨機(jī)數(shù)，然而雖然它不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，但也并不會(huì)影響到估算結(jié)果。為比較其誤差，我們可以假設(shè)獲得 i? 的一個(gè)抽樣所需的機(jī)時(shí)為 1t ，那么在時(shí)間 T 內(nèi)生成的抽樣數(shù) ii tT/n ? ，若使2211n n?? ? ，則需使 2211 tt ?? ? 。 當(dāng)然，無(wú)論什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不會(huì)存在例外。目前市面上的期權(quán)種類主要有三種，分別是：歐式期權(quán)、美式期權(quán)、亞式期權(quán)三類。 由此可見，歐式期權(quán)本少利大，但在獲利的時(shí)間上不具靈活性；相反的，美式期權(quán)雖然靈活，但付費(fèi)十分昂貴。 實(shí)值期權(quán)，顧名思義，指的就是具有真實(shí)價(jià)格的期權(quán)，也就是說(shuō)期權(quán)的持有人對(duì)于期權(quán)是立即執(zhí)行的，由于持有者的立即執(zhí)行，致使期權(quán)價(jià)值獲利大于零，故將其稱為實(shí)值期權(quán)。 為了更方便于大家的參閱，本文將實(shí)值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)制成了表 格 22，其中 S 代表標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)， K 則代表期權(quán)最終執(zhí)行價(jià)格。一般的，在一種期權(quán)交易的開始，交易市場(chǎng)都會(huì)按照特定的價(jià)格間距，給出幾組不同的價(jià)格，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)情況適時(shí)加價(jià)，至于對(duì)于每種期權(quán)到底有多少種價(jià)格，這就取決該項(xiàng)期標(biāo)的資產(chǎn)交易中的波動(dòng)情況了。 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 期權(quán)的交易原理 首先，買方看準(zhǔn)市場(chǎng)，買入已事先約定好標(biāo)的物價(jià)格的看漲期權(quán)，然后支付少量的權(quán)利金，至此便享有了買入期貨的權(quán)利。當(dāng)然，隨著學(xué)術(shù)上的不斷推廣，接下來(lái)又相繼產(chǎn)生了多種期權(quán)定價(jià)方法，如最小二項(xiàng)式定價(jià)方法、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法以及鞅定價(jià)方法等等，但在這些方法中， BS 期權(quán)定價(jià)模型是期權(quán)定價(jià)問題的核心和基礎(chǔ)。 股票波動(dòng)率相對(duì)穩(wěn)定。蒙特卡洛算法就是一種基于風(fēng)險(xiǎn)中性原理的期權(quán)數(shù)值定價(jià)方法。 r=。我們?nèi)〉氖悄M后得到的期權(quán)平均價(jià)格為 。 對(duì)偶變量法 提到縮減方差技術(shù)，對(duì)偶變量法也是其中之一，它利用的是變量間的負(fù)相關(guān)性，例如說(shuō)對(duì)于積分 ? ?dyyfY ?? 10，利用原始蒙特卡洛算法就可以得到如下關(guān)于 Y的兩個(gè)估計(jì)值： ? ? ???? ??Ni iNi ia YNufNY 1111 （ ） ? ? ???? ???Ni iNi ib YNufNY 139。 擬蒙特卡洛算法 在本文第二章中就有介紹經(jīng)典的蒙特卡洛算法在取隨機(jī)數(shù)時(shí)，大多是采用Excel 軟件 rand 函數(shù)和數(shù)學(xué)工具 Matlab 中的 randn 函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，這些函數(shù)里面給出的隨機(jī)數(shù)雖然滿足于大部分的隨機(jī)要求，但是這些 生成的隨機(jī)數(shù)字仍然會(huì)存在一些無(wú)法忽略的較大偏差，有可能隨機(jī)性較強(qiáng)，數(shù)字分布的并不均勻，因此為了避免這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，我們有必要對(duì)蒙特卡洛算法進(jìn)行改進(jìn)，我們引入一個(gè)新的概念叫做低偏差序列，該序列的作用主要就是可以使得生成的隨機(jī)數(shù)均勻化，隨機(jī)數(shù)的均勻的程度越高，產(chǎn)生的偏差也就會(huì)越小，對(duì)于經(jīng)典蒙特卡洛算法改進(jìn)的效果就越是明顯。MarkerSize39。我們都知道累計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 密 度函數(shù)的積分。r.39。不難看出，前者本質(zhì)上就是增大了對(duì)估計(jì)值更有用的隨機(jī)抽樣出現(xiàn)的概率，這樣做的目的確保了估計(jì)值模擬效率的提高。 控制變量法 我們現(xiàn)在假設(shè)一隨機(jī)變量 Y 的數(shù)學(xué)期望 ??YE 的蒙特卡洛算法模擬出的估計(jì)量為 Y ，令 ? ?YE 的另一隨機(jī)變量的控制估計(jì)法變量為 CVY ，令 ? ?xCV XbYY ???? ，b 為任意一常數(shù)， X 為任一隨機(jī)變量，且 ? ?XEx ?? ， x? 為任意常數(shù)，同上， ? ?CVYE的蒙特卡洛算法估計(jì)量表示為 ? ?xCV XbYY ???? ，又 ? ? ? ?YEYE CV ? ，可知 ??YE 的無(wú)偏估計(jì)量為 CVY ，我們有 ? ? ? ?? ? 222 2 XYXXYYxCV bbXbYVa rYVa r ?????? ?????? （ ） 當(dāng) YXXYX bb ???? 222 ? 時(shí)，新產(chǎn)生的控制估計(jì)變量 CVY 的方差是小于原始隨機(jī)變量Y 的方差的，當(dāng) ? ?XYXYXV ar YXC ovb ? ???? )( ,* 時(shí)，產(chǎn)生的控制估計(jì)變量 CVY 的方差最小，最小方差為 ? ?? ?21 XYYVar ?? 。 end plot(0:1/50:1,s) 使用蒙特卡洛算法模擬出來(lái)的路徑如下圖所示 ： 圖 31 A股蒙特卡洛算法路徑模擬圖 通過數(shù)學(xué)工具 Matlab，得到計(jì)算機(jī)計(jì)算出的歐式期權(quán)價(jià)格為 元。 為了使上面闡述的理論更清楚些，我們舉個(gè)簡(jiǎn)單例子說(shuō)明。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到 dWdtrSd ?? ????????? ?? 2ln2 （ ） ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?????????? ???????????? ??? tTtTrNWWtTrSS tTtr 222 ,2~2lnln ???? （ ） ? ? ? ????????? ??????????? ?? tTtT WWtTrSS ??2e x p 2 （ ） 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，假設(shè) ? ?2,~ ??? N ， ?? e? ，則 ? 的密度函數(shù)為 ? ? ? ???????????????? ???0002lne x p2 1 22xxxxxp ? ???? （ ） 根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn) TS 的密度函數(shù)如下 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 15 ? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????00022lne x p21222xxtTtTrSxxtT