高中數(shù)學131柱體、錐體、臺體的表面積與體積教案新人教a版必修2-免費閱讀
【正文】 = π m2， 又∵圓柱形刷子以每秒 5周勻速滾動， ∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為 m2， 因此油漆工完成任務(wù)所需的時間 t= ?? 22 ?mm ≈ . 點評： 本題雖然是實際問題，但是通過仔細分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問題 .解決此題的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經(jīng)過的面積就相當于把圓柱的側(cè)面展開的面積，即滾動一周所經(jīng)過的面積等于圓柱的側(cè)面積 .從而使問題迎刃而解 . 2.（ 2021山東濱州一模，文 14）已知三棱錐 O— ABC中， OA、 OB、 OC兩兩垂直， OC=1,OA=x，OB=y，且 x+y=4，則三棱錐體積的最大值是 ___________. 分析： 由題意得三棱錐的體積是 61)4(612131 ????? xxxy (x2)2+32 ，由于 x＞ 0，則當 x=2時，三棱錐的體積取最大值 32 . 答案：32 例 3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 g/cm3）六角螺帽（圖 8）共重 kg,已知底面是正六邊形，邊長為 12 mm,內(nèi)孔直徑為 10 mm,高為 10 mm，問這堆螺帽大約有多少個 ?（π取 ） 圖 8 活動： 讓學生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 .六角帽表示的幾何體是一個組合體，在一個六棱柱中間挖去一個圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積 . 解： 六 角 螺 帽 的 體 積 是 六 棱 柱 體 積 與 圓 柱 體 積 的 差 ， 即V= 43 12 2610 ( 210 )210≈2 956(mm 3)=(cm3). 所以螺帽的個數(shù)為 1 000247。 +S)h, 其中 S′ ， S分別為上 、下底面面積， h為圓臺（棱臺）高 . 注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶 . ②柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體 .因此柱體、錐體可以看作 “ 特殊 ” 的臺體 .當 S′=0 時，臺體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式 。當 S′=S 時，臺體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的 “ 特殊 ” 形式 . 柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系 ,如圖 5： 圖 5 （三）應(yīng)用示例 思路 1 例 1 已知棱長為 a，各面均為等邊三角形的四面體 S— ABC（圖 6），求它的表面積 . 圖 6 活動： 回顧幾何體的表面積含義和求法 . 分析： 由于四面體 S— ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的 4倍 . 解： 先求△ SBC的面積，過點 S作 SD⊥ BC，交 BC于點 D. 因為 BC=a,SD= aaaBDSB23)2( 2222 ????, 所以 S△ SBC=21BC()≈252( 個 ). 答：這堆螺帽大約有 252個 . 點評： 本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用 . 變式訓練 如圖 9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為 2 分米， 4 分米，高為 5 分米，現(xiàn)以每秒 3立方分米的速度往容器里面注水，當水面的高度為 3分米時，求所用的時間 .（精確到 ） 圖 9 解： 如圖 10，設(shè)水面的半徑為 r，則 EH=r2分米， BG=2分米， 圖 10 在△ ABG中，∵ EH∥ BG， ∴ BGEHAGAH? .∵ AH=2分米 , ∴ 2252 ??r .∴ r=514 分米 . ∴當水面的高度為 3分米時，容器中水的體積為 V 水 = ?31 (31 SSSS ?? h(S′,S 分別為上、下底面積， h為臺體的高 ). 你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作 “ 特殊 ” 的臺體？其體積公式是否可以看作臺體體積公式的 “ 特殊 ” 形式？ 活動： ①讓學生思考和討論交流長方體、正方體和圓柱的體積公式 . ②讓學生類比圓柱、圓錐和圓臺的表面積的關(guān)系？ 討論結(jié) 果： ①棱長為 a的正方體的體積 V=a3=a2a=Sh； 長方體的長、寬和高分別為 a,b,c，其體積為 V=abc=(ab)c=Sh； 底面半徑為 r高為 h的圓柱的體積是 V=π r2h=Sh， 可以類比，一般的柱體的體積也是 V=Sh，其中 S是底面面積， h為柱體的高 . 圓錐的體積公式是 V= Sh31(S為底面面積， h為高 )，它是同底等高的圓柱的體積的31. 棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的31,即棱錐的體積 V= Sh31 (S為底面面積， h為高 ). 由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的 31 . 由于圓臺（棱臺）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺（棱臺）的體積公式 V=31 (S′+ SS39。SD= 2432321 aaa ?? . 因此，四面體 S— ABC的表面積 S=4 22 343 aa ? . 點評： 本題主要考查多面體的表面積的求法 . 變式訓練 、底面半徑均分別相等 .若圓柱的底面半徑為 r，圓柱側(cè)面積為 S，求圓錐的側(cè)面積 . 解： 設(shè)圓錐的母線長為 l，因為圓柱的側(cè)面積為 S，圓柱的底面半徑為 r，即 S 圓柱側(cè) =S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長為 rS?2 ，由題意得圓錐的高為 rS?2 ，又圓錐的底面半徑為 r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長 l= 22 )2( rS
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