高中數(shù)學 131 柱體、錐體、臺體的表面積與體積教案 新人教a版必修2(文件)
【正文】 h=Sh， 可以類比，一般的柱體的體積也是 V=Sh，其中 S是底面面積， h為柱體的高 . 圓錐的體積公式是 V= Sh31(S為底面面積， h為高 )，它是同底等高的圓柱的體積的31. 棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的31,即棱錐的體積 V= Sh31 (S為底面面積， h為高 ). 由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的 31 . 由于圓臺（棱臺）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺（棱臺）的體積公式 V=31 (S′+ SS39。r G、 F又分別為 AD、 AA1的中點，所以 AF=AG= a21 .所以△ AGF 的面積為 281212121 aaa ??? .又因 AH 是三棱錐的高， H 又是 AB 的中點，所以AH= a21 .所以鋸掉的部分的體積為 32 481812131 aaa ??? . 又因 481481 33 ??aa ,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的 481 . 6.（ 2021 山東臨沂高三期末考試，理 13）已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為 S，則圓錐的底面面積是 ____________. 分析： 如圖 21，設(shè)圓錐底面半徑為 r，母線長為 l，由題意得???????,2,2 2rlSl??? 解得 r=?2S，所以圓錐的底面積為π r2= 22 SS ?? ?? . 圖 21 答案：2S 22，一個正三棱柱容器，底面邊長為 a，高為 2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖 23，這時水面恰好為中截面，則圖 22 中容器內(nèi)水面的高度是_________. 圖 22 圖 23 分析： 圖 22中容器內(nèi)水面的高度為 h，水的體積為 V，則 V=S△ 23中水組成了一個直四棱柱，其底面積為ABCS?43，高度為 2a ，則 V=ABCS?43()≈252( 個 ). 答：這堆螺帽大約有 252個 . 點評： 本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用 . 變式訓練 如圖 9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為 2 分米， 4 分米，高為 5 分米，現(xiàn)以每秒 3立方分米的速度往容器里面注水，當水面的高度為 3分米時，求所用的時間 .（精確到 ） 圖 9 解： 如圖 10，設(shè)水面的半徑為 r，則 EH=r2分米， BG=2分米， 圖 10 在△ ABG中，∵ EH∥ BG， ∴ BGEHAGAH? .∵ AH=2分米 , ∴ 2252 ??r .∴ r=514 分米 . ∴當水面的高度為 3分米時，容器中水的體積為 V 水 = ?31 2h ］∶［ 2)3(3 r? 當 S′=S 時，臺體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的 “ 特殊 ” 形式 . 柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系 ,如圖 5： 圖 5 （三）應(yīng)用示例 思路 1 例 1 已知棱長為 a，各面均為等邊三角形的四面體 S— ABC（圖 6），求它的表面積 . 圖 6 活動： 回顧幾何體的表面積含義和求法 . 分析： 由于四面體 S— ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的 4倍 . 解： 先求△ SBC的面積，過點 S作 SD⊥ BC，交 BC于點 D. 因為 BC=a,SD= aaaBDSB23)2( 2222 ????, 所以 S△ SBC=21BC 柱體、錐體、臺體的表面積與體積 一、教材分析 本節(jié)一開始的 “ 思考 ” 從學生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系，目的有兩個：其一，復習表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積 . 接著，教科書安排了一個 “ 探究 ” ，要求學生類比正方體、長方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺的表面積問題，并通過例 1 進一步加深學生的認識 .教學中可以引導學生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四 邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺的展形圖是由梯形組成的平面圖形 .這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問題 . 教科書通過 “ 思考 ” 提出 “ 如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？ ”的問題 .教學中可引導學生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可以展開成為一個矩形，圓錐的側(cè)面可以展開成為一個扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺表面積問題的 “ 探究 ” ，也可以按照這樣的思路進行教學 .值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺都有統(tǒng)一的表面積 公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中 的邊長之間的關(guān)系，教學中應(yīng)當引導學生認真分析，在分別學習了圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式后，可以引導學生用運動、變化的觀點分析它們之間的關(guān)系 .由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺；圓錐可 看成上底面半徑為零的圓臺 ，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺的特例 .這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺的表面積公式之下 . 關(guān)于體積的教學
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