【正文】 同時(shí)，感謝四年來(lái)傳授我知識(shí)的老師們，更要感謝我的家人及朋友對(duì)我學(xué)業(yè)上的支持和鼓勵(lì)，感謝所有關(guān)心、幫助過(guò)我的人。 首先感謝指導(dǎo)老師邵霞老師。脈沖響應(yīng)不變法最主要的缺點(diǎn)是由于頻譜的周期延拓而產(chǎn)生的混疊失真。 程序見(jiàn)附錄 II 中 2. 高通濾波器程序，其幅頻相頻特性圖如圖 44 所示： 22 圖 44 數(shù)字高通濾波器幅頻相頻特性曲線圖 3. 設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器，采樣頻率 Fs=1000Hz， fpl=110Hz, fpu=190Hz, fsl=100Hz, fsu=200Hz, rp=3dB, rs=15dB。grid on Xlabel(?頻率 (kHz)?)。 %設(shè)置濾波器參數(shù) [N, wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,?s?)。 Ftype=stop 是，設(shè)計(jì) 3dB 截止頻率為 wc 的高通濾波器。返回長(zhǎng)度為 N 的列向量Ｚ和Ｐ，分別給出Ｎ個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，ｋ表示濾波器增益。 S 平面整個(gè) jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于 Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。將式（ 35）寫成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj ????????? 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè) S 平面和 S1 平面，令 sj ?? ， 11 sj ?? ，則得 TsTsTsTsTsTseeTTsTee eeTs 111111112)2t a n(22 12/2/2/2/????????????? 再將 S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關(guān)系為： 11112??????zzTs （ 36） sTsTsTsTz?????? 222121 （ 37） 式（ 36）與式（ 37）是 S 平面與 Z 平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)16 線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即： 0)( ??? jH a 2sT???? ? (33) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻 率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即： )(1)( TjHTeH aj ??? ??? (34) 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖 32所示。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度優(yōu)于直接型，運(yùn)算累積誤差比級(jí)聯(lián)型小 [7]。從前面對(duì)直接形式的討論知道，如果每個(gè)二階子系統(tǒng)用直接 Ⅱ 型實(shí)現(xiàn)，就可以得到使用存儲(chǔ)最少的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。而二階因式表示共軛零點(diǎn) kh 和 ?kh ，以及共軛極點(diǎn) kd 和 ?kd 。因而在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以節(jié)省存儲(chǔ)單元。由于這部分是對(duì)輸出的延時(shí)，故為反饋網(wǎng)絡(luò)，這部分網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。 級(jí)聯(lián)型：此形式中，把系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)因式分解成二階子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)叫做二階環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示成這些二階環(huán)節(jié)的乘積形式。所以，數(shù)字濾波器的通帶分布如圖 22 所示。莫勒爾利用 FORTRAN 語(yǔ)言編寫的，后來(lái)又利用 C 語(yǔ)言重新編寫并增加了一些新的功能，同時(shí)，里特還開發(fā)了第一個(gè)系統(tǒng)控制工具箱，其中里面的一些代碼至今 仍在使用， C 語(yǔ)言版的 在 IEEE決策與控制會(huì)議正式推出，到 1992年，學(xué)生版的 Matlab 推出； 1993年，Windows 版的 Matlab 推出， 1995 年，推出了 Linux版 [5]。 Matlab 是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)可視化及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言和交互環(huán)境，除了繪制函數(shù)、矩陣運(yùn)算、繪制數(shù)據(jù)圖像等常用功能外， Matlab 還可以用來(lái)創(chuàng)建用戶界面以及能調(diào)用其他的語(yǔ)言 (C、 C++和 FORTRAN 等 )編寫的程序。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過(guò)特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過(guò)程，也 可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。同時(shí)， IIR濾波器是遞歸結(jié)構(gòu)，其相位是非線 性的，并且它的選擇性越好，相位的非線性就越嚴(yán)重。通過(guò)濾波器時(shí)不受衰減或者很小衰減的頻帶稱為通帶，經(jīng)受的衰減超過(guò)規(guī)定值的頻帶稱為阻帶，位于通帶和阻帶之間的稱為過(guò)渡帶。初期，一般認(rèn)為 IIR 濾波器比 FIR 濾波器具有更 高的運(yùn)算效率，因而都很傾向前者，然而當(dāng)人們提出用快速傅里葉變換（ FFT）實(shí)現(xiàn)卷積運(yùn)算的概念之后，發(fā)現(xiàn)高階FIR 濾波器也可以用很高的運(yùn)算效率來(lái)實(shí)現(xiàn)，這就促使人們對(duì)于高性能的 FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法和濾波器的領(lǐng)域設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了大量的研究，從而使此后的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中頻域方法和時(shí)域方法并駕齊驅(qū)的局面。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已經(jīng)可以用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可以用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。然后文中對(duì) IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)作了一定的介紹。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者簽 名： 指導(dǎo)導(dǎo)師簽名： 簽字日期： 簽字日期： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）版權(quán)使用授權(quán)書 本人完全了解華北水利水電學(xué)院有關(guān)保管、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定。討論了用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的原理及優(yōu)缺點(diǎn)。 數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)（按預(yù)定的算法，將輸入離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置）。然而，這些均屬于數(shù)字濾波器的早期的研究。于是，可根據(jù)通帶的不同，濾波器可分為低通濾波器、高通 濾波器、帶阻濾波器、帶通濾波器等。相反FIR 濾波器卻能得到嚴(yán)格的線性相位，然而由于 FIR 濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，所以需要用較高的階數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)其高選擇性，對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)， FIR 濾波器所要求的階數(shù)要比 IIR 高 5~10倍，因此成本較高，信號(hào)的延遲也較大，但如果要求相同的線性相位，則 IIR 濾波器就必須要加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，同樣的也要增加濾波器網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和復(fù)3 雜性。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。 70 年代末 80 年代初，美國(guó)新墨西哥大學(xué)教授克 里夫 第 2 章 數(shù)字濾波器基礎(chǔ) 數(shù)字濾波器概述 數(shù)字濾波器是一個(gè)離散的 LTI（線性時(shí)不變）系統(tǒng)，離散 LTI 系統(tǒng)模型如圖 21： h ( n )x ( n ) y ( n ) = h ( n ) * x ( n ) 圖 21 離散 LTI 系統(tǒng)模型 注： x(n)、 y(n)分別是系統(tǒng)的輸入輸出序列， h(n)是系統(tǒng)本身的特性 (轉(zhuǎn) 移算子 )。 圖 22 數(shù)字濾波器的通帶分布 系統(tǒng)的描述 模擬系統(tǒng)一般用微分方程描述，離散系統(tǒng)則常用差分方程來(lái)描述。每個(gè)二階環(huán)節(jié)以直接形式出現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。 系統(tǒng)的輸出 y(n)由以上這兩部分組成，其信號(hào)流程圖如圖 23所示。而在硬件實(shí)現(xiàn)，可節(jié)省寄存器，故直接 Ⅱ 型IIR 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)好于直接 Ⅰ 型 IIR 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。當(dāng)在式（ 210）中的所有系數(shù)都為實(shí)數(shù)時(shí)，式（ 212）表示了該系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布。 一個(gè)四階的系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖 25 所示： a 1 1 z 1 b 1 1 a 2 1 z 1 a 1 2 z 1 b 1 2 a 2 2 z 1b2 1 b 2 2Ax ( n ) y ( n ) 圖 25 四階 IIR 數(shù)字系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu) 應(yīng)該特別指出： 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的靈敏度特性優(yōu)于直接型結(jié)構(gòu)。 12 第 3 章 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為： )()(1)(10zXzYzazbzH NkkkMkkk????????? 假設(shè) M≤N，當(dāng) M＞ N時(shí) ,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè) IIR的子系統(tǒng)和一個(gè) (MN)的 FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。 用雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。 式（ 35）與式（ 36）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。這個(gè)關(guān)系如式（ 38）所示，重寫如下： )2tan(2 ?T?? 上式表明， S 平面上 Ω與 Z 平面的 ω成非線性的正切關(guān)系，如圖 4 所示。 2） [N, Wc]= buttord（ wp， ws， Rp， As） 該 格式用于計(jì)算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù) N 和 3 dB 截止頻率 wc。此時(shí)wc 為二元向量 [wcl, wcu],wcl 和 wcu 分別為帶阻濾波器的通帶 3dB 下截止頻率和上截止頻率。 %計(jì)算濾波器階數(shù) N 和3dB 截止頻率 wc [B,A]=butter(N, wc,?s?)。ylabel(?幅度（ dB） ?)。 程序見(jiàn)附錄 II 中 3. 帶通濾波器程序，其幅頻相頻特性圖如圖 45 所示： 23 圖 45 數(shù)字帶通濾波器幅頻相頻特性曲線圖 4 . 設(shè)計(jì)一個(gè)帶阻濾波器，采樣率為 1000Hz ， fpl=90Hz,fpu=210Hz ，fsl=100Hz,fsu=200Hz， Rp=3dB， Rs=15dB。因而用這種方法設(shè)計(jì)的濾波器只適合于充分限帶的低通或帶通濾波器，而高通和帶阻濾波器不宜采用這種方法來(lái)設(shè)計(jì)。本設(shè)計(jì)是在邵霞老師耐心的指導(dǎo)下多次修改完成的。同時(shí)感謝我的大學(xué)，感謝信息工程學(xué)院。當(dāng)我在 畢業(yè)設(shè)計(jì) 過(guò)程中遇到問(wèn)題和困難時(shí)，是他們給我提出許多關(guān)鍵性的意見(jiàn)和建議，使我對(duì)整個(gè) 畢 業(yè)設(shè)計(jì) 的思路有了總體的把握，并耐心的幫我解決了許多實(shí)際問(wèn)題，使我獲益良多。借此論文之際，向所有幫助、關(guān)心、支持我的老師、朋友同學(xué)，表達(dá)我最真誠(chéng)的謝意。脈沖響應(yīng)不變法的另一個(gè)特點(diǎn)是時(shí)域逼近性能良好，即脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的取樣響應(yīng)能夠較好地模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，這在很多場(chǎng)合是非常需要的。采樣頻率 Fs=1000hz 。 plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk)))。As=30。缺省 ftype 是默認(rèn)設(shè)計(jì)低通濾波器。其調(diào)用格式如下： 1） [Z, P, k]=buttap( N ) 19 該格式用于計(jì)算 N 階巴特沃斯歸一化（ 3 dB 截止頻率 Ωc=1）模擬低通原型濾波器系數(shù)函數(shù)的零，極點(diǎn)和增益 2。這是因?yàn)?S平面與 Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 當(dāng) Ω1由 π/T 經(jīng)過(guò) 0 變化到 π/T 時(shí)， Ω由 ∞經(jīng)過(guò) 0 變化到 +∞，也即映射了整個(gè) jΩ軸。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 13 圖 31 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 由（ 31）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為： ???????k aj T kjHTeH )2(1)( ??? (32) 這就是 說(shuō)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。如果將實(shí)數(shù)極點(diǎn)成對(duì)組合，則可寫成 ?? ? ?? ?? ? ?? ??? ps Nk kk kkNk kk zaza zeezGzH 1 2211 1100 1)( (215) 對(duì)應(yīng)的信號(hào)流程圖如圖 26 所示： G 1z 1G N sz N s a 1 1G 0z 1e 1 1e 0 1 a 2 1z 1e 0 P s a 1 P s a 2 P sz 1z 1e 1 P sx ( n ) y ( n ) 圖 26 N 階 IIR 數(shù)字系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu) 并聯(lián)支路的極點(diǎn)也是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)，而并聯(lián)支路的零點(diǎn)卻不是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)，因此并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)能獨(dú)立的調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)位置，但不能控制零點(diǎn)。同樣，如果具有奇數(shù)個(gè)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng) ka2 也有一個(gè)等于零。在式（ 212）中，一階因式表示實(shí)零點(diǎn) kg 和實(shí)極點(diǎn) kc 。 直接 Ⅱ 型結(jié)構(gòu)的 IIR 系統(tǒng)的表達(dá)式如式（ 211）所示： )()(11)(2110zHzHzazbzH NkkkMkkk ?????????????????????????? （ 211） 9 2a? 1a? 1??