【正文】 46 ( 2) 取固定點為坐標原點，則轉子的哈米頓算符為 2?21? LIH ? tH 與?無關，屬定態(tài)問題，其本征方程為 ),(),(?21 2???? EYYLI? ( 式中),( ??Y設為 H? 的本征函數(shù)，E為其本征值 ) ),(2),(? 2 ???? I E YYL ? 令 22 ???IE，則有 ),(),(? 22 ????? YYL ?? 此即為角動量 2?L 的本征方程，其本征值為 ) ,2 ,1 ,0( )1( 222 ?????? ???? ?L 其波函數(shù)為球諧函數(shù)???? immmm ePNY )(c os),( ??? ? ∴ 轉子的定態(tài)能量為 2)1(2IE?????? 可見，能量是分立的，且是)12( ??重簡并的。 ( 1 ) 求一圓周電流的磁矩。 附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。方程①、③可相互進行空間反演 )( xx ??而得其對方，由①經xx ??反演，可得③， )()( xcx ?? ??? ④ 由③再經xx ??反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 方程 ( 2 ) 可變?yōu)?)(2)(22222?? xmEdxxd??? 令22 2?mEk ?，得 0)()(22222?? xkdxxd?? 其解為 kxBkxAx c o ss i n)(2 ??? ④ 14 根據(jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù) A ， B ，由連續(xù)性條件，得 )0()0( 12 ?? ?⑤ )()( 32 aa ?? ?⑥ ⑤ 0?? B ⑥ 0s i n ?? kaA ),3 ,2 ,1( 0s i n0????????nnkakaA? ∴xanAx?? s i n)(2? 由歸一化條件 1)(2???dxx? 得 1s i n022??ax dxanA? 由 mnabax dxanxam???? ??2s i ns i n 15 xanaxaA?? s i n2)(22???? 22 2??mEk ? ),3,2,1( 22222????? nnmaEn?可見 E 是量子化的。表示向外傳播的球面波。 解： （ 1 ） 方法 1 ： 諧振子的能量222212qpE ????? 6 可以化為? ?12222222????????????? EqEp 的平面運動，軌道為橢圓，兩半軸分別為22,2???EbEa ??，相空間面積為 ?,2,1,0,2?????? nnhEEabpdq???? 所以，能量?,2,1,0, ?? nnhE ? 方法 2 ：一維諧振子的運動方程為02 ???? qq ?，其解為 ? ??? ?? tAq s i n 速度為 ? ???? ??? tAq c o s，動量為? ?????? ???? tAqp c o s，則相積分為 ? ? ? ? nhTAdttAdttApdqTT??????? ???2)c os1(2c os220220222??????????，?,2,1,0?n ???nhTnhAE ???222 ，?,2,1,0?n 7 （ 2 ）設磁場垂直于電子運動方向，受洛侖茲力作用作勻速圓周運動。1 《 量子力學教程 》 習題解答 2 《 量子力學教程 》 習題解答說明 ? 為了滿足量子力學教學和學生自學的需要，完善精品課程建設，我們編寫了周世勛先生編寫的 《 量子力學教程 》 的課后習題解答。由Rve v B2??，得eBvR?? 再由量子化條件? ?? ?,3,2,1, nnhpd q，以22, eB RRRvp ???????? ?分別表示廣義坐標和相應的廣義動量，所以相積分為 nhe B RRvdpdp ???? ??22022 ????????，?,2,1?n，由此得半徑為eBnR??，?,2,1?n。 11 rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJi k ri k ri k ri k r??????????3020220*2*222 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )2(?????????????????????????? 可見，rJ ?? 與2反向。 對應于nE的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 ???????????axaxaxxeanatxtEinn , ,0 0 ,s i n2),(??? 16 2. 4. 證明（ 2. 6 14 ）式中的歸一化常數(shù)是aA1?? 證：??????????axaxaxanAn ,0 ),(s i n?? 由歸一化，得 aAaxannaAaAdxaxanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(s i n2)(c o s22)](c o s1[21)(s i n1????????????????????????????????????? ∴歸一化常數(shù)aA1?? 17 2. 5 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。 )()( xcx ??? ?? ⑤ ④乘 ⑤，得 )x()x(c)x()x( 2 ??? ????， 可見，12 ?c， 所以 1??c 當1??c時，)x()x( ?? ??，)( x??具有偶宇稱， 當1??c時，)()( xx ?? ???，)( x??具有奇宇稱， 當勢場滿足)()( xUxU ??時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。見附頁。 ( 2 ) 證明氫原子磁矩為 ???????????)( 2)( 2C G ScmeSImeMMz???? 原子磁矩與角動量之比為 ??????????)( 2)( 2C GSceSIeLMzz?? 這個比值稱為回轉磁比率。 47 3. 6 設 t = 0 時，粒子的狀態(tài)為 ]c o s[ s i n)( 212 kxkxAx ??? 求此時粒子的平均動量和平均動能。 定態(tài)波函數(shù)為 ?? imm Ae?, A 為歸一化常數(shù)，由歸一化條件 ????????2121 220220*???????AAdAdmm ∴ 轉子的歸一化波函數(shù)為 ???imme21? 綜上所述，除 m = 0 外，能級是二重簡并的。 ∴ ?????eimimrieJmnmne?????)(s i n222???? ????ermemn???2s i n?? 可見，0?? ?eer JJ 2s i nmnermeJ???????? 42 3. 4 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。 定態(tài) S 方程為 )()()()(2222xExxUxdxd???????? 對各區(qū)域的具體形式為 Ⅰ：)0( )(21112?????? xExU ????? Ⅱ：)0( 222022axEU ??????? ????? Ⅲ：)( 233132bxaEU ??????? ????? 29 Ⅳ：)( 02442xbE ?????? ???? 對于區(qū)域 Ⅰ，??)( xU，粒子不可能到達此區(qū)域，故 0)(1 ?x? 而 . 0)( 22202????? ????EU ① 0)( 23213????? ????EU ② 02424???? ????E ③ 對于束縛態(tài)來說，有0??? EU ∴ 02212 ???? ?? k