高三數(shù)學(xué)基本不等式-免費閱讀
【正文】 3 b. 即 3＝ 3a＋ b， ∴ a＋ b＝ 1. 此時 故選 B. 3 1a ＋1b 14 3 3 1a＋1b＝a ＋ ba＋a ＋ bb＝ 2 ＋??????ba＋ab≥ 2 ＋ 2 ＝ 4( 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝12 時取等號 ) ， 【 答案 】 B 2． (2020年重慶高考 )已知 a0， b0，則 的最小值是 ( ) A． 2 B． 2 C． 4 D． 5 1a ＋1b ＋ 2 ab 2 【 解析 】 ∵a 0 ， b 0 ， ∴1a＋1b≥2ab， 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時取等號， ∴1a＋1b＋ 2 ab ≥2ab＋ 2 ab ≥22ab ( 8 － 3x ) 8x ＋2y ∴ y ＝ 3x ( 8 － 3x ) ≤3x ＋ ( 8 － 3x )2＝82＝ 4 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 3x ＝ 8 － 3x ，即 x ＝43時，取等號 ． ∴ 當(dāng) x ＝43時， y ＝ 3x ( 8 － 3x ) 的最大值是 4. ( 2 ) ∵ x 0 ， y0 ，且 x ＋ y ＝ 1 ， ∴8x＋2y＝??????8x＋2y(x ＋ y) ＝ 10 ＋8yx＋2xy≥ 10 ＋ 28yx4x＝ 4 ， 等號成立的條件是 x ＝ 2 ， ②2 ( x2＋ 3 )x2＋ 2＝ 2??????x2＋ 2 ＋ 1x2＋ 2 ＝ 2??????x2＋ 2 ＋1x2＋ 2≥4 ，但等號不成立， ③ex＋ 4e－ x＝ ex＋4ex≥4 ，等號成立的條件是 x ＝ ln2 ， ④ 當(dāng) s i n x 0 時， s i n x ＋4s i n x≥4 ，但等號不成立； 當(dāng) s i n x 0 時， s i n x ＋4s i n x 4 . 【 答案 】 ①③ 求下列各題的最值． 利用基本不等式求最值 (1)已知 x0， y0， lgx＋ lgy＝ 1，求 z＝ 的最小值． (2)x0，求 f(x)＝ ＋ 3x的最小值． (3)x3，求 f(x)＝ ＋ x的最大值． (4)x∈R ，求 f(x)＝ sin2 x＋ 1＋ 的最小值． 【 思路點撥 】 (1)lgx＋ lgy＝ 1得 xy＝ 10，故可用基本不等式． (2)由 x0， 3x ＝ 36是常數(shù)，故可直接利用基本不等式． (3)因 2xy＝ 1 8 . 當(dāng)且僅當(dāng)8yx＝2xy，即 x ＝ 2y 時等號成立， ∴ 當(dāng) x ＝23， y ＝13時，8x＋2y有最小值 18. 證明不等式 (1)已知 a0， b0， a＋ b＝ 1，求證： ≥ 4. (2)證明： a4＋ b4＋ c4＋ d4≥4abcd. 【 思路點撥 】 (1)利用 a＋ b＝ 1將要證不等式中的 1代換，即可得證． (2)利用 a2＋ b2≥2ab 兩兩結(jié)合即可求證．但需兩次利用不等式，注意等號成立的條件． 【 自主探究 】 (1)方法一： ∵ a0， b0， a＋ b＝ 1， 1a ＋1b ∴1a＋1b＝a ＋ ba＋a ＋ bb＝ 2 ＋ba＋ab≥ 2 ＋ 2ba2 ab ＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ 1 且2ab＝ 2 ab 時成立，能取等號，故 1a＋1b＋ 2 ab 的最小值為 4
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