各種圓定理總結-免費閱讀
【正文】 4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。 ∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。 四點共圓證明四點共圓的基本方法 證明四點共圓有下述一些基本方法： 方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓． 方法2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓． （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。 這定值稱為點P到這圓的冪。PB（切割線定理推論） 問題3 過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PA ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA若圓半徑為r，則PCPD。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中點。 （4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個幾何定理。 我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 例如直升機降落在A點，我們從A點出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發(fā)點A。（S△CDF：S△ADF） =1 此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶： 在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。：AA39。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三： 過ABC三點向三邊引垂線AA39。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是λμν=1。BC+ABBC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。①＋②得 AC(BP＋DP)=ABBD＝ABBD = AB 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB因此 三角形的九點圓與旁切圓外切托勒密定理定理圖定理的內容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。WFeuerbach，1800—1834）于1822年提出。 原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。CD+AD 在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。CD + BCCD＋ADCD＋AD ：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓、 推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。CD=AC（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=1） 塞瓦定理推論 △ABD內任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 ，對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關系易證。BB39。 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 證明四： 連接BF。于是L、M、N三點共線的充要條件是λμν=1。 另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。 值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。 證明 證明一： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角） 且∠PDE=∠PCE ?、?而∠ACP+∠PCE=180176。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPD=(POr)PB=PCPB為定值（圓冪定理）。 在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。） 方法3 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓． 方法4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據托勒密定理的逆定理) 方法5 證被證共圓
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