【正文】 證：易知，于是故，對任意的，存在，使當(dāng)時有，因而，從而當(dāng)，若，由此知即林德貝爾格條件滿足，所以對成立中心極限定理，結(jié)論得證。令，因?yàn)楹艽?，由中心極限定理有由分布表知當(dāng)時即能滿足上述不等式，于是知。因?yàn)?，故有，結(jié)論得證。證：這時也為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且，由辛欽大數(shù)定律知，又服從分布，當(dāng)然弱收斂于分布，結(jié)論得證。證：這時也是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定理，即有，令，則是直線上的連續(xù)函數(shù)，結(jié)論成立。，隨機(jī)變量序列依概率收斂于，證明.證：記的分布函數(shù)分別為，對任給的，取足夠大，使是的連續(xù)點(diǎn)且因?yàn)?，故存在，?dāng)時有令，因?yàn)?，故存在，?dāng)時有而其中，當(dāng)時有因而，由的任意性知，結(jié)論為真。 證明隨機(jī)變量序列依概率收斂于隨機(jī)變量的充要條件為：證：充分性，令，則，故是的單調(diào)上升函數(shù)，因而，于是有 對任意的成立，充分性得證。 設(shè)隨機(jī)變量序列，分別依概率收斂于隨機(jī)變量與，證明：（1）；（2）。 （3）不是，因?yàn)椴怀闪? （4）不是，因?yàn)?。故與的特征函數(shù)皆為，所以的特征函數(shù)等于、的特征函數(shù)的乘積。 設(shè)為個獨(dú)立同柯西分布的隨機(jī)變量，證明與有相同的分布。（5），所以是幾何分布的特征函數(shù)。 設(shè)為具有數(shù)學(xué)期望的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，隨機(jī)變量只取正整數(shù)值，且與獨(dú)立，證明：證： 求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù)：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數(shù)為（3）分布，其密度函數(shù)為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3） 若是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）（為正整數(shù)）證：（1）若是隨機(jī)變量的特征函數(shù)，則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（2）若與獨(dú)立同分布，其特征函數(shù)為。解：=，試證：。 設(shè)為正的且獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的，有。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。解：在時，在時。 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，分別具有密度函數(shù)（其中），求+的分布密度。若（1）與分布服從及上的均勻分布，且；（2）與分別服從及上的均勻分布。 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從分布，求的分布密度。又因關(guān)于或關(guān)于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關(guān)。當(dāng)時。反之，若條件（1），（2）滿足，則為二維分布的密度函數(shù)。 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。 證：（1）設(shè)，若，由于，所以，若，則。解：當(dāng)0時所以 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率（即用電量除以一萬度），它具有分布密度為若該城市每天的供電量僅有80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解： 因此，若該城市每天的供電量為80萬度，,若每天的供電量為90萬度。 設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為求常數(shù)及密度函數(shù)。解：（1）當(dāng)時，且=1，所以可以是某個隨機(jī)變量的分布密度； （2）因?yàn)?2，所以不是隨機(jī)變量的分布密度； （3）當(dāng)時，所以 不是隨機(jī)變量的分布密度。解 。 對一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到第件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。解 設(shè)則的分布列為：于是，設(shè)匹配數(shù)為，則，因而。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學(xué)++。解 設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），而相互獨(dú)立，所以為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，因而。若，則 將（2）式減去（1）式，得：，于是。解 ， ，； ，； 。解 設(shè)為時間內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù)，則 時，所以；時，因而。解。設(shè)此時取出了個白球，求的分布列。(2) 。求他用完一盒時另一盒中還有根火柴（）的概率。解 一方面，另一方面，即中至少有一個等于0，所以 、現(xiàn)在任意挑選五個人，求下列事件的概率(1)兩個人為型，其它三個人分別為其它三種血型；(2)三個人為型，兩個人為型；(3)沒有一人為。則由貝葉斯公式： 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定時間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。(2) 在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(1) ==30%(2) (3) ++=++=73%(4) (5) (6) 某班有個學(xué)生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解 用表示“第張考簽沒有被抽到”， 。則事件“該點(diǎn)命中的中點(diǎn)”的概率等于零，但不是不可能事件。因此所求概率為 在線段上任取三點(diǎn)，求：(1) 位于之間的概率。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有個球的概率為，(2)恰好有個盒的概率為，(3)指定的個盒中正好有個球的概率為，解 略。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。所取三條線段能構(gòu)成一個三角形，這三條線段必須是7或9或多或9。(4)(5)(6) 證明 （1）—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第10—12頁（）式和()式的證法。(4)當(dāng)全系女生都在三年級并且三年級學(xué)生都是女生時`。(1)10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。(2)在什么條件下成立？(3)什么時候關(guān)系式是正確的？(4) 什么時候成立？解 (1)事件表示該是三年級男生，但不是運(yùn)動員。 (3) 。 有五條線段，長度分別為9。解 任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于個不同位置，當(dāng)它處于和紅“車”同行或同列的個位置之一時正好相互“吃掉”。(2)當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是9之一時，其四次方的末位數(shù)是1，所以答案為(3)一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個樣本點(diǎn)。用表示“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。設(shè)兩船停靠泊位的時間分別為1小時與兩小時，求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率。所以[]（） 己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。 對于任意的隨機(jī)事件、證明：證明 在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。解 用分別表示男孩和女孩。解 用表示“母雞生個蛋”， 表示“母雞恰有個下一代”，則 某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率。證明 （1）= （2） （3）= 試舉例說明由不能推出一定成立。至少需要6門高射炮，同時發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛機(jī)。 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：，求(1)。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。 兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中時為止，,，求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的分布列。查普哇松分布的數(shù)值表，得。解 。但是，因而不相互獨(dú)立。 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為，求的分布列。 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、…、10克，現(xiàn)有三組砝碼： （甲組）1，2，2，5，10（克） （乙組）1，2，3，4，10（克） （丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少？解 設(shè)、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數(shù)，則有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2