【正文】 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 所以，用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少。 從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗(yàn)次數(shù)為，則，利用上題的結(jié)論，+=1+ 從一個裝有個白球、個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。 函數(shù)是否可以作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果（1）（2）0，在其它場合適當(dāng)定義；（3），在其它場合適當(dāng)定義。取，又令這時顯然，與對應(yīng)的隨機(jī)變量不是取有限個或可列個值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。（1）；（2）（3）解：（1）； （2），所以A=。 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時），（小時）(1) 求電池壽命在250小時以上的概率； （2）求。 （2）時 =， 時， =， 所以對、左連續(xù)。解： 設(shè)的密度函數(shù)為求與中至少有一個小于的概率。（3） 證明：若隨機(jī)變數(shù)只取一個值，則與任意的隨機(jī)變數(shù)獨(dú)立。問與是否獨(dú)立？是否不相關(guān)？解：。由的密度函數(shù)，得的密度函數(shù)為 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從分布，求的分布密度。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對任意的都成立。 = =，其它 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。故令，則所以服從分布。解： 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求及。解：。 若對連續(xù)型隨機(jī)變量，有，證明有。 解：。（2），所以是三點(diǎn)分布的特征函數(shù)。 設(shè)是一個特征函數(shù)。 設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨(dú)立。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。證：對任意的，取充分大，使有對上述取定的，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，故可取它的分點(diǎn)：，使有，再令，則有 （1）這時存在，使得當(dāng)時有 （2）成立，對任意的，必存在某個，使得，由（2）知當(dāng)時有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，結(jié)論得證。證：不妨設(shè)對任意的，當(dāng)時有，因而。(1)知，結(jié)論得證。 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為令，證明。 設(shè)隨機(jī)變量序列按分布收斂于隨機(jī)變量，又隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)，則按分布收斂于。證：不妨設(shè)。解：令因?yàn)榕虐媾c校對是兩個獨(dú)立的工序，因而是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對后錯誤不多于15個的概率。 設(shè)隨機(jī)變量服從分布，其分布密度為證：當(dāng)時，的分布函數(shù)弱收斂于分布。 利用中心極限定理證明：證：設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，共同分布為的Poisson分布，故，由林德貝爾格勒維中心極限定理知由Poisson分布的可加性知服從參數(shù)為的Poisson分布，因而，但，所以成立，結(jié)論得證。 用特征函數(shù)的方法證明“二項(xiàng)分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。 如果要估計(jì)拋擲一枚圖釘時尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率的差小于，問至少應(yīng)該做多少次試驗(yàn)？解：令據(jù)題意選取試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)滿足，因?yàn)楸容^大，由中心極限定理有故應(yīng)取，即，但圖釘?shù)撞恐?，尖頭輕，由直觀判斷有，因而，故可取。證：為同分布隨機(jī)變量序列，且，因而，又當(dāng)時，與獨(dú)立，結(jié)論得證。，且存在，數(shù)學(xué)期望為零，證明。 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其中為常數(shù)，令，證明。證：先證明按分布收斂于。對任給的取足夠大，使有成立，對取定的，存在，當(dāng)時有成立這時有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結(jié)論成立。 設(shè)分布函數(shù)如下定義：問是分布函數(shù)嗎？解：不是。證：由的特征函數(shù)推得，與的特征函數(shù)分別為與，故。解：分布，；，的特征函數(shù)。 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。 證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應(yīng)的分布函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。在時，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時，故 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為其中。 設(shè)是非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，證明：對，有。解： =，故。由于所以對一切的，都有，故與相互獨(dú)立。解：由得，所以在時，在時，所以 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。 = =，其它。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：設(shè)球的直徑為，則其體積為。證：由于，所以。（1）（2）（3）解：（1） （2）時， 時， 所以。3．25 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。 可見，對非降。不等式（1）的解為：或。 已知隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（2） 求。 設(shè)與都是分布函數(shù)，又是兩個常數(shù)，且。從而。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。從而。解 設(shè)，則的分布列為，因而。解， +4+4=27：，求及。 已知隨機(jī)變量的分布列為，求與的分布列。 證明因?yàn)樗韵嗷オ?dú)立。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于2．14 ，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個產(chǎn)品，其中有個次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當(dāng)于，查普哇松分布數(shù)值表，得。 設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進(jìn)貨時應(yīng)進(jìn)多少件此種商品。解 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。解 ，所以。（3）,所以它不是隨機(jī)變量的分布列。則。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解 用表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”，表示“朋友乘汽車來”，表示“朋友乘飛機(jī)來”，表示“朋友遲到了”。解 設(shè)表示“第個人摸到”， 。用表示事件“排列中”即第個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項(xiàng)中。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，則樣本空間{，…，}，并且， ，…，甲取勝的概率為+++…乙取勝的概率為+++… 設(shè)事件及的概率分別為、及，求，解 由得 ， 設(shè)、為兩個隨機(jī)事件，證明：(1) 。解 分別用表示三角形的一個頂點(diǎn)與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然所求概率為。解 截取，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)落入之內(nèi)時的面積之比大于，因此所求概率為。解 (1)6根草的情形。 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。如果字母的各種排列是隨機(jī)的（等可能的），問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解 顯然樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN”包含個樣本點(diǎn)。所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或?yàn)?13中的兩個，或?yàn)?2中的一個和113中的一個組合，所以事件“所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包含個樣本點(diǎn)。解 (1) 。則{，}(ⅰ) {，} (ⅱ) {，} 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示被選學(xué)生是三年級學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動員。解 (1)記9個合格品分別為 ，記不合格為次，則(2)記2個白球分別為，3個黑球分別為，4個紅球分別為。用表示下列事件：(1