【正文】 本題有必要多做幾遍，因?yàn)殡m然是小題，但集中了好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：判定二元函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性（包含了對(duì)多元函數(shù)求極限方法的考察）、分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)、二元函數(shù)的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性無(wú)關(guān)（易與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)部分相混淆）。題目中由極坐標(biāo)方程得到參數(shù)方程這一步對(duì)應(yīng)用極坐標(biāo)和參數(shù)方程有較高的要求，所以理解消化本題有助于鞏固這部分知識(shí)。且同時(shí)考慮到條件中出現(xiàn)的可以形成的形式，就能夠找到突破口。是的全微分243。兩種方法之所以會(huì)有這樣的相通性，是因?yàn)楹途捎蓪?duì)數(shù)恒等式推出，如。不知道出題老師是不是想把看過(guò)的《孫子兵法》都用實(shí)踐檢驗(yàn)一下，但至少我們?cè)谧鲱}多了以后就會(huì)多少看出一些出題人常用的手段來(lái)：有的題乍一看解題思路很簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量很大甚至根本算不出來(lái)——常常是由于我們受了題目形式的誘導(dǎo)，埋頭苦算而忽視了簡(jiǎn)單方法的存在；有的題目將易混淆的知識(shí)點(diǎn)作為考查對(duì)象，會(huì)令我們看錯(cuò)、理解錯(cuò)題意或用錯(cuò)方法；有的題目使簡(jiǎn)單、典型的問(wèn)題以我們從未見(jiàn)過(guò)的形式出現(xiàn)，讓人找不出思路，無(wú)從下手；還有的題考點(diǎn)太偏，題目本身再簡(jiǎn)單也會(huì)令人束手無(wú)策。五. 本題先求曲線L的切線在軸上的截距，并利用條件得出方程，化簡(jiǎn)得到貝努利方程后套用對(duì)應(yīng)的解法步驟求解。其中求時(shí)又用到了“的充要條件是”。 本題考查了向量數(shù)積、矢積運(yùn)算律及混合積的輪換對(duì)稱(chēng)性。題目中有一個(gè)需要弄清楚的地方，就是“服從二維正態(tài)分布而且分別服從正態(tài)分布”。在考研真題中，二階常微分方程部分的重點(diǎn)考查類(lèi)型是可降階的二階方程，經(jīng)常出成填空題，對(duì)于本章中這樣的類(lèi)型則要求不高。更簡(jiǎn)捷的記法是利用下標(biāo)相乘，如a對(duì)應(yīng)的下標(biāo)乘式是，即一個(gè)常數(shù)；b對(duì)應(yīng)，即一個(gè)方陣；c對(duì)應(yīng)，即s維行向量；d對(duì)應(yīng)，即s維列向量。第1問(wèn)求和時(shí)利用了“對(duì)稱(chēng)區(qū)間+奇偶函數(shù)”可以簡(jiǎn)化定積分計(jì)算的技巧，這一點(diǎn)如前面所述在見(jiàn)到、這樣的積分上下限時(shí)就要想到；第3問(wèn)證明與是否相互獨(dú)立時(shí)利用了“兩個(gè)事件同時(shí)成立的概率不等于兩事件概率乘積”來(lái)證明，道理不復(fù)雜，但由于其不是、這樣的形式，而且與的關(guān)系容易弄錯(cuò)，所以真正考查到了“理解”層次。如下一題條件中的，如果可以迅速想到它等價(jià)于不等式，求解就方便多了。相關(guān)的資料大家可以從各種參考書(shū)上獲得，在前面相應(yīng)章節(jié)中我也寫(xiě)了自己積累的一部分。直接利用這樣的矩陣構(gòu)造題目技巧性過(guò)強(qiáng)，早期考研真題中還有，近幾年越來(lái)越少了。、包含內(nèi)容較少、一般只有一兩個(gè)公式的知識(shí)點(diǎn)。4 1993年數(shù)學(xué)一評(píng)題 變上限積分是歷年考研真題都喜歡考的點(diǎn)，在后面還有很多道像本題這樣使用變上限積分做“界面”，同時(shí)考察其他知識(shí)點(diǎn)的題。 概率第五章《數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念》、第六章《參數(shù)估計(jì)》、第七章《假設(shè)檢驗(yàn)》數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分在考研數(shù)學(xué)試卷中占有概率部分1/3的分值，這一部分考點(diǎn)較少，參數(shù)估計(jì)最為重要，其次是樣本與抽樣分布，假設(shè)檢驗(yàn)部分則很少考到。同時(shí)本章的幾個(gè)公式、定理也不好記，推導(dǎo)就更不是什么簡(jiǎn)單任務(wù)了。同時(shí)對(duì)于重要分布如二項(xiàng)、泊松、正態(tài)、均勻、指數(shù)分布必需記得非常牢，因?yàn)榭荚嚂r(shí)會(huì)直接拿這些分布做題干來(lái)考察各章知識(shí)點(diǎn)，萬(wàn)一出現(xiàn)“由于題干中的分布函數(shù)不會(huì)寫(xiě)或?qū)戝e(cuò)而導(dǎo)致整道大題知道怎么做也沒(méi)法做”的情況將是非常可惜的。出題人從這三個(gè)公式意義上的相通性出發(fā)可以很靈活地構(gòu)造題目，在后面的評(píng)題中會(huì)對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)作更具體的討論。填空、選擇?？缄P(guān)于事件概率運(yùn)算的題目，大多圍繞形如、這樣的式子利用各種概率運(yùn)算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。一般的數(shù)學(xué)考研參考書(shū)是按高數(shù)、線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習(xí)完高數(shù)和線代以后有可能時(shí)間所剩無(wú)多；而且因?yàn)榍皟刹糠址謩e占60%和20的分值，復(fù)習(xí)完以后多少會(huì)有點(diǎn)滿(mǎn)足心理；這些因素都可能影響到概率的復(fù)習(xí)。而考察線性相關(guān)和線性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話(huà)。包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件，充要條件1是階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件2是的任意重特征根對(duì)應(yīng)有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充分條件1是有個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1. 特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法。如果向量組可由向量組線性表示，則有。對(duì)于一般矩陣則有：243。向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余n1個(gè)向量線性表出；線性無(wú)關(guān)243。以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識(shí)點(diǎn)，更是為了有效應(yīng)對(duì)考試題。當(dāng)時(shí)，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時(shí)有非零解，且有nr個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。線性相關(guān)的定義為：設(shè)為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)使得等式成立，則稱(chēng)向量組線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則稱(chēng)向量組線性無(wú)關(guān)。復(fù)習(xí)這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。正是因?yàn)榫哂羞@樣的特點(diǎn)，線代與高數(shù)、概率相比，從難易程度上講正是一門(mén)“學(xué)得不好就顯得特別的難，一旦學(xué)好以后就會(huì)變得特別容易”的科目，所以實(shí)際上把時(shí)間花在線代復(fù)習(xí)上很劃算；即使你現(xiàn)在認(rèn)為自己的線代水平還不好，那么也不應(yīng)該有放棄線代的打算，因?yàn)?，在一門(mén)“已經(jīng)學(xué)得差不多”的課上繼續(xù)投入時(shí)間的效果肯定要比投入等量時(shí)間在一門(mén)“學(xué)得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說(shuō)，試圖把一門(mén)滿(mǎn)分是100分、現(xiàn)在水平是80分的課提高到85分，一般要比把一門(mén)滿(mǎn)分100現(xiàn)在只能拿40分的課提高10分、20分還要難得多。這樣做的目的就在于——當(dāng)看到題目的條件和結(jié)論、推測(cè)出其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)時(shí)立刻就能想到與之有關(guān)聯(lián)的其他知識(shí)點(diǎn)隊(duì)列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。在做二重積分的題時(shí)常用的是更換積分次序的方法與幾個(gè)變換技巧，這一點(diǎn)在后面評(píng)題時(shí)會(huì)有針對(duì)性的討論。相似一元函數(shù)的極值極值定義：函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義且對(duì)于其中異于該點(diǎn)的任一點(diǎn)恒有或，則稱(chēng)為的極小/大值，方程的解稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)。二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)性判斷條件為：存在且等于相似一元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)性判斷條件為且等于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義相似一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的全微分：簡(jiǎn)化定義為：對(duì)于函數(shù)，若其在點(diǎn)處的增量可表示為，其中為的高階無(wú)窮小，則函數(shù)在處可微，全微分為，一般有相似一元函數(shù)的全微分：簡(jiǎn)化定義為：若函數(shù)在點(diǎn)處的增量可表示為，其中是的高階無(wú)窮小，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，即，一般有二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù) 可導(dǎo) 可微不同二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù) 可導(dǎo) 可微多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)設(shè)，且都可導(dǎo)，則對(duì)的全導(dǎo)數(shù)不同一元函數(shù)沒(méi)有“全導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念，但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)其實(shí)可以從“一元復(fù)合函數(shù)”的角度理解。d) 空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)別與聯(lián)系。對(duì)于線線夾角和面面夾角則無(wú)此問(wèn)題。同時(shí)，知識(shí)點(diǎn)前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。這些經(jīng)驗(yàn)在做一定量的題目后就會(huì)得到。像這樣從“形似”上掌握不費(fèi)腦子，但要冒記混淆的危險(xiǎn)，但此處恰好都是比較順的搭配：、習(xí)慣上說(shuō)“正余弦”，先正后余；而的展開(kāi)式對(duì)應(yīng)的是奇數(shù)項(xiàng)，的展開(kāi)式對(duì)應(yīng)的是偶數(shù)項(xiàng)，習(xí)慣上也是說(shuō)“奇偶性”，先奇后偶。公式如下：1. （1，1）2. （1，1）3.4. 5. 6. 這六個(gè)公式可以分為兩個(gè)部分，前3個(gè)相互關(guān)聯(lián)，后3個(gè)相互關(guān)聯(lián)。冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題是重點(diǎn)內(nèi)容，也是每年都有的必考題。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子： 1. 已知級(jí)數(shù)收斂，判斷級(jí)數(shù)的斂散性。本例中“用內(nèi)表面的表面積乘以薄球厚度得到核心式”、“將內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特色。2. 的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個(gè)薄餅型形體，可得微元法核心式 。所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凸的；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凹的。對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)：1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。對(duì)于可分離變量型方程，就是變形為=，再積分求解；對(duì)于齊次方程則做變量替換，則化為，原方程就可化為關(guān)于的可分離變量方程，變形積分即可解；對(duì)于一階線性方程第一步先求的通解，然后將變形得到的積分，第二步將通解中的C變?yōu)镃(x)代入原方程解出C(x)后代入即可得解；對(duì)于貝努利方程，先做變量代換代入可得到關(guān)于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因?yàn)槠溆袟l件，而且解題時(shí)直接套用通解公式.所以，對(duì)于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。 高數(shù)第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，陳文燈復(fù)習(xí)指南對(duì)一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類(lèi)型與解法對(duì)應(yīng)的表格。故對(duì)于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點(diǎn)應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到想到介值定理時(shí)就能同時(shí)想起結(jié)論“存在一個(gè)使得”、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類(lèi)似“存在一個(gè)使得”的形式時(shí)也能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子；而見(jiàn)到式子也如同見(jiàn)到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多，時(shí)常還會(huì)收到“豁然開(kāi)朗”的效果。針對(duì)以上分析，解證明題時(shí)其一要靈活，在一條思路走不通時(shí)必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再?gòu)念^開(kāi)始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問(wèn)題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取信息。 高數(shù)第五章《中值定理的證明技巧》由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應(yīng)對(duì)方法。 高數(shù)第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎(chǔ)性知識(shí)，一方面有單獨(dú)出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運(yùn)用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對(duì)于對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利用變量替換x=u和利用性質(zhì) 、。如對(duì)于模型中的(AB) C，如果不知道或弄錯(cuò)則一定無(wú)法得出結(jié)論。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問(wèn)題中有很典型的表現(xiàn)。這就像在記英語(yǔ)單詞時(shí)，看到英語(yǔ)能想到漢語(yǔ)與看到漢語(yǔ)能想到英語(yǔ)的掌握程度是不同的一樣，對(duì)于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個(gè)詞的認(rèn)識(shí)其實(shí)是在做題的過(guò)程中才慢慢清晰的。先討論一下一階方程部分。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對(duì)比記憶：若、是齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為若齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系有(nr)個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則齊次方程組的通解為非齊次方程的通解為，其中是非齊次方程的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解非齊次方程組Ax=b的一個(gè)通解等于Ax=b的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個(gè)特解，則對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為若、是方程組Ax=b的兩個(gè)特解，則()是其對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的解由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較難辦的章節(jié)，因?yàn)檫@一章如果有難點(diǎn)的話(huà)也僅在于“如何準(zhǔn)確無(wú)誤地記憶各種方程類(lèi)型及對(duì)應(yīng)解法”，也可以說(shuō)本章難就難在記憶量大上。3. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件： 區(qū)間I上的，則在I上是凸的；若在I上的，則在I上是凹的；，則當(dāng)時(shí)為極大值，當(dāng)時(shí)為極小值。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 ,其中是薄桶的高，是薄桶展開(kāi)變成薄板后的底面積，就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。方法是取球體中的一個(gè)薄球形形體，其內(nèi)徑為 厚度為 ，對(duì)于這個(gè)薄球的體積有 ，其中是薄球表面積，是厚度。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨(dú)立的章節(jié)，在考試時(shí)會(huì)出大題，而且章內(nèi)包含的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列滿(mǎn)足，判斷級(jí)數(shù)的斂散性。另外，“求和與展開(kāi)”的簡(jiǎn)單之處還在于：達(dá)到熟練做題程度以后會(huì)發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。后3個(gè)式子的，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開(kāi)式形式上的相似性。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)）、四則運(yùn)算（用于展開(kāi)、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開(kāi)、求和）。如圖，若要求進(jìn)行奇開(kāi)拓就是展開(kāi)成奇函數(shù)，此時(shí)得到的級(jí)數(shù)中只有正弦級(jí)數(shù)，圖像為；若要求進(jìn)行偶開(kāi)拓就是要展開(kāi)成偶函數(shù)，此時(shí)得到的展開(kāi)式中只有余弦級(jí)數(shù)，圖像為。數(shù)積定義式為，故有，這個(gè)式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。同樣，直線方程各形式之間也有類(lèi)似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式和標(biāo)準(zhǔn)式之間可以相互轉(zhuǎn)化。本章主要內(nèi)容可以整理成一個(gè)大表格：二元函數(shù)的定義（略）相似一元函數(shù)的定義（略）二元函數(shù)的連續(xù)性及極限：二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)以任何方向、任何路徑趨向時(shí)均有（、）。這是需要通過(guò)足量做題來(lái)熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)，在后面的評(píng)題中會(huì)就題論題作更充分的論述。（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。出現(xiàn)這種情況當(dāng)然與出題專(zhuān)家水平高有關(guān)，但內(nèi)在原因還是在于線性代數(shù)這門(mén)課“知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系性強(qiáng)”的特點(diǎn)。A的列向量組線性無(wú)關(guān)243。由歷年考研真題可見(jiàn)，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結(jié)構(gòu)特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。