【正文】 如前所述，因為算符 是通過經(jīng)典力學(xué)中的 哈密頓函數(shù) H=T+V 代換而來的，所以這種算符又稱為 Hamilton算符 ，通常以 ?H 表示，于是 （ 22） 又可寫為 ?H ? ? ? ? （ 23） 的作用效果 2 2 ()2 Vrm? ? ?薛定諤方程的普遍形式為 ?diHdt? ??當(dāng)體系 Hamilton ?H?H ??? ? ??()Vr 中運動的特殊情況， 22? ()2H V rm? ? ? ?（ 24） 不顯含時間 t時， （ 8） 可以 分離變量。 令特解為 ( , ) ( ) ( )r t r f t??? （ 17） 代入 （ 8） 式，分離變量后，得 221 [ ( ) ] ( )( ) 2()i d f V r rf t d t mr ??? ? ? ? ? ?其中 E是即不依賴于 t，也不依賴于 的常量，這樣 rdfifdt ??（ 18） 的解為 ? ?( ) e x p /f t C i t? ? ?其中 C為任意常數(shù)。, 39。r r t r r?? ? ?0( , ) ( , 。)G r t r t 的 物理意義 如下： 設(shè)初始時刻 t’ 粒子處于空間點 ，按 （ 14） 式， 。)rt?22m???39。對于自由粒子 ( ） 這個傳播子由 （ 15） 式 明顯給出，可以證明 ( , 。) ( 39。 39。這樣，體系的初始狀態(tài) ( , 0 )r?完全決定了以后任何時刻 t的狀態(tài) ( , )rt? 。 ? ?,?xt? ?xb b d p??解 :(1)動量的幾率幅 ?? ?221222xb ib x ib xip xxbb e ep e d xi?????????? ?( ) ( / )12 1( ) [ ]4xxi b x p x i b x p xb e e d xi?? ? ??? ?22( ) ( )221 1 1[]4 ( ) ( )xxbbi b p x i b p xxx bbbeei i b p i b p?????? ? ???????1222212( ) ( 2 ) s i n4 ( )xxp bbib b p?????該態(tài)中粒子動量可能測得值為 ?(2)求出動量幾率密度最大的動量值 xp? ? ? ? ?222 2 2() 2 10 {sin }[ ( ) ]x xx x xdp pdd p d p b b p? ????222 2 44c o s s i n 0()x x xxp p pb b b b p???? ? ??22 22[ ( ) ] c o s s in 0x x xxp p b pbpbb???? ? ?有解為 xpb???(3)發(fā)現(xiàn)粒子 在區(qū)間中的幾率； xb b d p??3222c os( ) ( )2xx bxbpi bbpbp??????2 1()xxb dp dpb? ?(4) 22121( , ) ( )( 2 )xxpi p i tmxxx t p e d p?? ??? ?例題 m的粒子在勢場 V（ r）中運動（書中 P25，第 1題） （ a）證明粒子的能量平均值為 (b)證明能量守恒公式 3E d r?? ?2**2 Vm? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 能 量 密 度 ）0st?? ? ? ? ??2**2s m t t?? ??????? ? ? ? ??????? （ 能 流 密 度 ）（ a）證明粒子的能量平均值為 ? ? * E H d r?? ?? ?證 明 ：2* 2 32V d rm????? ? ? ??????2* 2 * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ??????2* * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ? ??????3dr?? ?3E d r?? ?2**2 Vm? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 能 量 密 度 ）注意： ? ?* * * 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?* 3 * d s 0dr? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???0r ?? ? ?束 縛 態(tài) ： 時2* 2 * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ??????2* * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ? ??????* 3 * 2 3ddrr? ? ? ???? ? ? ? ? ???(b)證明能量守恒公式（ 是矢量算符） 2 * ***.2b V Vt m t t t t? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???（ ）2 * *2 * 2 *2s m t t t t? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?* 2 2**22s V Vt t m t m? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?**iit t t t? ? ? ???? ? ? ???? ? ?????? ? ? ??? ??0?0st?? ? ? ? ???? 初值問題，傳播子 由于 薛定諤方程 只含有 時間的一次微商 ，只要在初始時刻（ t=0）的狀態(tài) 給定了，則以后任何時刻 t的狀態(tài) 原則上就完全確定了。從該式可看出：左邊表示單位時間內(nèi)體積 V中找到粒子的總幾率（或粒子數(shù)）的增量， ] 右邊是矢量 在體積 V的邊界 面 S上內(nèi)法線方向上投影的面積分，代表單位時間內(nèi)通過封閉曲面 S流入 V的幾率（或粒子數(shù)），所以 具有幾率流密度的意義。 我們也可重復(fù)上面的討論，在 前一種 情形 ( , )V V r t?便是經(jīng)典的含時系統(tǒng)，對應(yīng)成為量子含時系統(tǒng)時，由于 V中含有時間參數(shù)，量子系統(tǒng)的 Hamilton量 ? ? ()H H t?， 含時，成為含時量子系統(tǒng)，表明粒子 ? 薛定諤方程的討論 ? 定域的幾率守恒 前面我們曾經(jīng)提出一個問題：一旦將波函數(shù)歸一化后，能否保證永遠(yuǎn)如此。不難證明 3 / 21 ( ) e xp[ ( ) ]( 2 )ii r t dt ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 2 23 / 21 ( ) e xp[ ( ) ]( 2 )i r t d??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??所以 2223 / 21[ ] ( ) ( ) e x p [ ( ) ] 02 ( 2 ) 2ii r t dt m m????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?回憶上述推導(dǎo)過程，可看出， 它也滿足對應(yīng)原理的要求。 ? 在量子力學(xué)中，體系的運動狀態(tài)由波函數(shù) 描述。在動量表象中，坐標(biāo)也必須用算符表示，容易證明，在動量表象中的坐標(biāo)算符是 ( , )rt?( , )pt??? ,pxx i r ip?? ? ??(33) * ( , ) ( ) ( , )xx c p t i c p t d pp????* ( , )( ) ( , )pr c p t i c p t d p???平均值是 或者 (35) (34) 并且可推廣到的函數(shù) 情形 : ()Fr?( ) ( )pF r F i??* ?( ) ( , ) ( ) ( , )pF r c p t F i c p t???* ?( , ) ( , )A r t A r t d r??? ?一般來說，粒子的任何一個力學(xué)量 A的平均 值均可在坐標(biāo)及動量表象中分別表示為 (37) (36) (38) 及 及 即為力學(xué)量 A在坐標(biāo)和動量表 象中的算符。321[ ( , ) ]( 2 )1[ ( , ) ]( 2 )ipriprp d p e r t d rp e r t d r????????????()*31( , ) ( , ) [ ]( 2 )ip r rd r r t d r r t p e d p????????? ? ? ?( , )rt?()*3***1( , ) ( , ) [ ( ) ]( 2 )( , ) ( , ) ( ) ( )( , ) ( ) [ ( , ) ( ) ]( , ) ( ) ( , )ip r rdr r t dr r t i e dpdr d r r t r t i r rdr r t i dr r t r rdr r t i r t???? ? ?? ? ????????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ????? (16) 利用了 ()31()( 2 )ip r rr r e d p???????? ? 這樣我們就找到了一個用波函數(shù) 直接計算動量平均值的公式 ，即只需以微分算符 作用在 之上，然后乘以 ，再對全空間積分就可以了。顯然， 的平均值 不能簡單的寫成 pp??2( , )r t p d r??????(13) ? 因為 只表示粒子在 中的幾率，而不代表在 中找到粒子的幾率。在這種意義下，一般認(rèn)為，波函數(shù)描寫了粒子的運動狀態(tài)。當(dāng)然，在我們還沒有對量度各種不確定度的量 △ x,△ p，等等采用一種精確的定義之前，這是不可避免的。 表示： p(6) (5） 在一維情況下， (3)式和 (4)式寫為 1 / 21 / 21( , ) ( , ) e x p [ ]( 2 )1( , ) ( , ) e x p [ ]( 2 )ix t p t p x d pip t x t p x d x??????????????????(7) 時，量子力學(xué)將回到經(jīng)典力學(xué)，或者說 量子效應(yīng) 可以忽略。 pp 都可以看成是各種不同動量 的平面波的疊加。 ?2?2?注意： ?自由粒子波函數(shù)一般用 平面波函數(shù) 表示即： ? ?? ?? ?1 / 21 e x p /2x ip x???? ?? ?? ?3 / 21 e x p /2r i p r???（一維） （三維） ? ? ? ? ? ?, , , , , ,x y z x y z x y z dx dy dz? ? ?? ? ???其次，在整個空間找到粒子的幾率之和為 1 例題 1：設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求在 范圍內(nèi)找到粒子的幾率（或概率）書 P8 ? ?,x y z? ? ?,x x d x?