[理學(xué)]第十一章動(dòng)量矩定理-免費(fèi)閱讀
【正文】 解：滾子做平面運(yùn)動(dòng)。 B P B? T39。不計(jì)摩擦及繩子自重。 m? ? ? ? ?? ? ?M v r v r r vC i i i i imm ?? ? ? ???r v r v()C C C i imm? ? ???r v M v( ) ( )O C C i imm?? ?M v M v r C ? M NF Ca gm F x 【 例 117】 半徑為 r，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓輪沿水平直線做純滾動(dòng)，如圖所示。該定理在形式上與質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)的 動(dòng)量矩定理完全相同。 z39。 m? ? ? ? ? ? ?? ? ?L r v v r v r v由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有 i i Cm 39。r()C C i i i i im 39。 39。 上式也可以寫為 221d ()dnz z iiJMt???? ? F即 1()nz z iiJM???? ? F 【 例 115】 均質(zhì)直桿 AB和 OD,長(zhǎng)度都是 l，質(zhì)量均為 m，垂直地固接成丁字形 ,且 D為 AB的中點(diǎn)，如圖所示。設(shè)某瞬時(shí)滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速 度為 ω，則重物上升的速度為 v=d ω/2?？杀硎鰹椋嘿|(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn) O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和 (外力對(duì)點(diǎn) O的主矩 )。 (1) 長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m的均質(zhì)直桿 均質(zhì)直桿對(duì)過端點(diǎn) O的 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 22013lzmJ x d x m ll? ? ?? x dx l x z O im r O ? O d ? 均質(zhì)直桿對(duì)過中點(diǎn) O的 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2222112llzmJ x d x m ll?? ? ??221mrrmJniiO ?? ?? (2) 半徑為 r，質(zhì)量為 m的均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 (3) 半徑為 R，質(zhì)量為 m的均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2202 π dπROρJmR? ????322 021d2Rm mRR ????? 回轉(zhuǎn)半徑 在工程實(shí)際中有時(shí)也把轉(zhuǎn)動(dòng)慣量寫成剛體的總質(zhì)量 m與當(dāng)量長(zhǎng)度 ρz的平方的乘積形式，即 2zzmJ ??上式中， ρ z為剛體對(duì)于 z軸的回轉(zhuǎn)半徑，又稱慣性半徑。 由投影關(guān)系可知 ( ) [ ( ) ]z O zM m m?v M v 即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于某點(diǎn) O 的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的 z 軸上的投影時(shí)等于該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于該軸的動(dòng)量矩。由式可以看出，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn) O的動(dòng)量矩是矢量。 結(jié)論：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。求鐘擺對(duì)于通過懸掛點(diǎn) O的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 e1( ) 0n Oii??? MFe( ) 0zim ?? F M m2g xF F m1g O 【 例 112】 如圖所示提升裝置中，已知滾筒直徑 d，它對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，有 ed ()d OOLMt ? ? F而質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn) O 的動(dòng)量矩為 1 1 1 2 2 2OOL J m v r m v r?? ? ?2211 1 2 21()OvJ m r m rr? ? ?質(zhì)點(diǎn)系所有外力對(duì) O點(diǎn)的矩的代數(shù)和為 e 1 1 2 2()OM m gr m gr??? F由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，有 221111222211 )( grmgrmrarmrmJO ????這樣，重物 A向下運(yùn)動(dòng)的加速度為 222211122111)(rmrmJgrrmrmaO ???? R OF g1m gm r 1 r2 O 1a A g2m B 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用有主動(dòng)力 F F … 、 Fn和軸承的約束反力 FN1和 FN2，如圖所示。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有 ?由平行移軸定理，有 2222121712131 mlmlmlmlJO ???? 通過計(jì)算，可知質(zhì)心 C到轉(zhuǎn)軸 O的距離為 OC=3l/4。
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