[理學(xué)]第十一章動量矩定理-在線瀏覽
2025-03-08 15:13本頁面
【正文】 剛體對 z軸的轉(zhuǎn)動慣量，它表明了剛繞定軸 z 轉(zhuǎn)動時的慣性大小。 (1) 長為 l，質(zhì)量為 m的均質(zhì)直桿 均質(zhì)直桿對過端點(diǎn) O的 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 22013lzmJ x d x m ll? ? ?? x dx l x z O im r O ? O d ? 均質(zhì)直桿對過中點(diǎn) O的 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 2222112llzmJ x d x m ll?? ? ??221mrrmJniiO ?? ?? (2) 半徑為 r，質(zhì)量為 m的均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 (3) 半徑為 R，質(zhì)量為 m的均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 2202 π dπROρJmR? ????322 021d2Rm mRR ????? 回轉(zhuǎn)半徑 在工程實(shí)際中有時也把轉(zhuǎn)動慣量寫成剛體的總質(zhì)量 m與當(dāng)量長度 ρz的平方的乘積形式，即 2zzmJ ??上式中， ρ z為剛體對于 z軸的回轉(zhuǎn)半徑，又稱慣性半徑。 平行移軸公式 21 mdJJ Czz ?? 剛體對于任一軸 z1的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對與此軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 JzC，加上剛體的質(zhì)量與 z1軸到質(zhì)心軸 zC的距離 d平方的乘積。已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為 m1和 m2，桿長為 l，圓盤直徑為 d。 解：分別計算桿和圓盤對于水平軸 O的轉(zhuǎn)動慣量 2113OJ m l?桿22 2COdJ J m l? ? ???????盤 222 38m d l ld? ? ??????? 2 2 2121338OJ m l m d l l d? ? ? ???????鐘擺對于通過懸掛點(diǎn) O的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量為 動量矩定理 質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理 r m v ()OMF ()OmMv x y z O F M 如圖所示的質(zhì)點(diǎn) M，其動量為 mv，則質(zhì)點(diǎn) M對點(diǎn) O的 動量矩用矢積可表示為 ()O mm??M v r v上式兩邊分別對時間求導(dǎo)數(shù)，可得 d ( ) =d O mmt ? ? ?M v v v r F即 d ( ) ( )d OOmt ? ? ?M v r F M F 上式稱為質(zhì)點(diǎn)動量矩定理，即質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對同一點(diǎn)的矩?？杀硎鰹椋嘿|(zhì)點(diǎn)系對于某定點(diǎn) O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和 (外力對點(diǎn) O的主矩 )。即如果 ，則 LO=常矢量。這個結(jié)論稱為動量矩守恒定律。求重物上升的加速度。設(shè)某瞬時滾筒轉(zhuǎn)動的角速 度為 ω，則重物上升的速度為 v=d ω/2。重物 A、 B的質(zhì)量分別為 m m2。 解：取整體為研究對象，其受力分析和運(yùn)動分析如圖所示。剛體對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 Jz，角速度為 ω，剛體繞固定軸 z 轉(zhuǎn)動時剛體的動量矩為 ?zz JL ? z 1F ? nF 2F N2F N1F O 如果不計軸承中摩擦，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對 z 軸的動量矩定理，有 1d ( ) ( )dnz z iiJMt ???? ? F 上式稱為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程。 上式也可以寫為 221d ()dnz z iiJMt???? ? F即 1()nz z iiJM???? ? F 【 例 115】 均質(zhì)直桿 AB和 OD,長度都是 l，質(zhì)量均為 m，垂直地固接成丁字形 ,且 D為 AB的中點(diǎn)，如圖所示。求桿轉(zhuǎn)過 角時的角速度和角加速度。當(dāng)桿 OD與水平直線的夾角為 時 ,丁字桿轉(zhuǎn)動的角速度為ω，如圖所示。故有 ?? c os23c os432)( m gllmgM O ???? F將以上兩式代入剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得 ?? c os231217 2 m glml ??解得桿的角加速度為 ??? c os1718 lg?? ?? A OxF OyF O ? ? gm2 D B C d d dd d dt? ? ???????由于 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程可寫為
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