【正文】 可以發(fā)現(xiàn) ,Q矩陣中 ,增加 11Q 使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短 ,并且使擺桿的角度變化減少。經(jīng) 計(jì)算得 rank( 0Q )=6,可知該系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)。 由實(shí)際數(shù)據(jù)的系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ： 姓名：論文題目 2021 年 26 / 38 uxxxxxxxxxxxx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1000000000100000010000001000654321654321?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 引入全狀態(tài)反饋，如圖 。如閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在一定條件下可以任意配置 :可以使系統(tǒng)具有二次型性能指標(biāo)最優(yōu)化等等。 可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀測(cè)性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測(cè)反映出來(lái)。 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，它的非線性因素很多，如 :各運(yùn)動(dòng)副之間的干摩擦，電機(jī)的飽和特性，模型 簡(jiǎn)化時(shí)忽略的高次項(xiàng)以及其他隨機(jī)干擾。 總上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問(wèn)題，實(shí)際上在于用不大的控制能量來(lái)實(shí)現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)。于是，上述代價(jià)函數(shù)的積分 ???10 221 dtte 便是在古典控制理論中熟悉的用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分。 C－輸出矩陣，是 l n矩陣 。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型。 拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) iq 和 L 表示為： iii fqLqLdtd ??????? 其中， ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的兩 個(gè)廣義坐標(biāo)分別是 1? , 2? , 3? 。因此，確定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，即建立在狀態(tài)空間中的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)基本問(wèn)題，也是現(xiàn)代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提的基礎(chǔ)上，其重要性就像經(jīng)典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣。系統(tǒng)在 n維空間中運(yùn)動(dòng)形成的若干系統(tǒng)點(diǎn)連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點(diǎn)的軌跡。這種方法得出的數(shù)學(xué)模型稱為機(jī)理模型或解 析模型，這種建立模型的方法稱為解析法。我們的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，通過(guò)控制電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)，使旋轉(zhuǎn)平臺(tái)穩(wěn)定在某一位置并保持?jǐn)[桿直立。串聯(lián)倒立擺系統(tǒng)中各擺桿任何 一個(gè)的角度、角速度、角加速度變化都會(huì)對(duì)另外的擺桿角度、角速度、角加速度產(chǎn)生影響；而并聯(lián)倒立擺系統(tǒng)每個(gè)擺桿的狀態(tài)變化不受其他擺桿狀態(tài)變化的影響，只與水平連桿的角速度及角加速度有關(guān)。 （ 6）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 [11]神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，所有定量或定性的信息都等勢(shì)分布貯存于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各種神經(jīng)元，故有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性；也可將 Q 學(xué)習(xí)算法和 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無(wú)模型學(xué)習(xí)控制。常見(jiàn)的利用狀態(tài)反饋的方法有： 1)線性二次型最優(yōu)控制； 2)極點(diǎn)配置 [7]； 3) 狀態(tài)反饋∞ H 控制 [8]； 4)魯棒控制。 倒立擺有很多種，有懸掛式倒立擺、平行倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺；倒立擺的級(jí)數(shù)可以是一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)乃至多級(jí)；倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，還可以是傾斜的；控制電機(jī)可以是單電機(jī)，也可以是多級(jí)電機(jī)。做完這些準(zhǔn)備工作后開(kāi)始建立數(shù)學(xué)模型，列出動(dòng)力學(xué)方程，傳遞函數(shù)，拉格朗日方程等，判斷系統(tǒng)的可觀可控和穩(wěn)定性，然后求解，得到需要的式子。 作者簽名： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保障、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)學(xué)位論文管理部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的 復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)省級(jí)優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。之后設(shè)計(jì)控制器，利用 MATLAB 語(yǔ)句 lqr，得到線性狀態(tài)反饋增益系數(shù)。 目前有關(guān)倒立擺的研究主要集中在亞洲，如中國(guó)的北京師范大學(xué)、北京航空航天大學(xué) [2]、中國(guó)科技大學(xué) [3]；日本的東京工業(yè)大學(xué)、東京電機(jī)大學(xué)、東京大學(xué)；韓國(guó)的釜山大學(xué)、忠南大學(xué)，此外，俄羅斯的圣彼得堡大學(xué)、美國(guó)的東佛羅里達(dá)大學(xué)、俄羅斯科學(xué)院、波蘭的波茲南技術(shù)大學(xué)、意大利的佛羅倫薩大學(xué)也對(duì)這個(gè)領(lǐng)域有持續(xù)的研究。 （ 2） PID 控制。 （ 7）采用遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法 [12]基于倒立擺數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，再利用改進(jìn) 的遺傳算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。 幾種不同類型的倒立 擺系統(tǒng)實(shí)物如下圖 。另外還需要系統(tǒng)對(duì)干擾有一定的魯棒性。另一種是從系統(tǒng)運(yùn)行和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型 (模型結(jié)構(gòu)和參數(shù) )，這種方法稱為系統(tǒng)辯識(shí)。 拉格朗日方程： () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo) ， T —— 系統(tǒng)的動(dòng)能， V —— 系統(tǒng)的勢(shì)能。 現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是將描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的高階微分方程改寫(xiě)成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)直接用一階微分方程組表示，寫(xiě)成矩陣形式，這樣2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 15 / 38 就得到了狀態(tài)空間模型。 首先計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： 54321 mmmmm TTTTTT ????? 其中連桿動(dòng)能， 2mT 為擺桿 1 動(dòng)能， 3mT 為擺桿 2 動(dòng)能， 4mT 為質(zhì)量塊 1 動(dòng)能， 5mT2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 17 / 38 為質(zhì)量塊 2 動(dòng)能。二次型問(wèn)題就是在線性姓名：論文題目 2021 年 22 / 38 系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可以提出各種不同的性能指標(biāo)。 若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義 : ? ? ? ? ? ?tytyte r ?? 為系統(tǒng)的誤差向量，是 1 1矩陣。 (2).被積函數(shù)中的第二項(xiàng) ? ? ? ?tRUtUT 是用來(lái)衡量控制作用強(qiáng)弱的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。 因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中 C=I，及 ? ?ty r =0，則有 ? ? ? ? ? ?tetXtY ??? ，并且倒立擺的控制是 ??ft時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問(wèn)題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為 : ? ?dtRUUQXXJ TT?? ??0 采用反饋控制 : kXu ?? 其中， P為滿足方程的唯一正定對(duì)稱解： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT b)加權(quán)矩陣的選取 盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實(shí)際應(yīng)用中仍然存在不少問(wèn)題，一個(gè)最關(guān)鍵的問(wèn)題就是二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣和的選取。由于這些非線性因素的影響，使得以線性模型為基礎(chǔ)的仿真與實(shí)際動(dòng)態(tài)響應(yīng)有很大差別，甚至使系統(tǒng)不能穩(wěn)定，因而，利用二次型最優(yōu)控制使的系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵是尋找一個(gè)使系統(tǒng)穩(wěn)定的加權(quán)矩陣 ,。系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的識(shí)別能力兩個(gè)方面反映系統(tǒng)本身的內(nèi)在特性，往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是至關(guān)重要的。這里應(yīng)用最優(yōu)控制中的定常線性調(diào)節(jié)器理論，選取合適的、通過(guò) MATLABY語(yǔ)句 lqr， 得到線性狀態(tài)反饋增益系數(shù)。圖中， R是加在水平桿上的階躍輸入，六個(gè)狀態(tài)量分別代表水平桿、擺桿的夾角、角速度，輸出包括水平桿和擺桿角度。綜上所述，線性定常系統(tǒng)為不穩(wěn)定的能控、能觀系統(tǒng)，可加外控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定 . 第二步 ,找出確定反饋控制規(guī)律的向量 K。這里取100,100,200 332211 ??? Q ，則： K=[ ] 響應(yīng)曲線如圖 : 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 29 / 38 圖 改進(jìn) LQR 控制器的階躍響應(yīng) 如果在增大 332211 Q ， ， 系統(tǒng)的響應(yīng)還會(huì)改善 .但在保證 332211 Q ， 足夠小的情況下 ,系統(tǒng)響應(yīng)已經(jīng)滿足要求了。下面縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間。 MATLAB 中 , 用 obsv(A, C) 來(lái) 求 系 統(tǒng) 的 能 觀 陣? ?TnCACACQ 10 ?? ?。為了獲得良好的瞬態(tài)和靜態(tài)性能， 且考慮到系統(tǒng)的實(shí)際要求，這里采用無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器。采用狀態(tài)反饋可以使系統(tǒng)獲得一系列極為有實(shí)際價(jià)值的性質(zhì)。這兩個(gè)概念 是卡爾曼在 20世紀(jì) 60年代提出的，是現(xiàn)代控制理論中的兩個(gè)基本概念。在選取時(shí)則選654 , qqq 為零。它表示在給定終端時(shí)刻 ft 到來(lái)時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出 ??ty 接近期望輸出 ??tyr 的程度。如誤差為標(biāo)量函數(shù) e(t)，則?? ??tQeteT 項(xiàng)變成 ??te2 。 B－控制矩陣，是 n r矩陣 。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。 線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于狀態(tài)空間技術(shù)來(lái) 設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器。 二級(jí)倒立擺系統(tǒng) 的 數(shù)學(xué)模型 是一個(gè)理想模型，需要滿足下面的條件 : 1)每一級(jí) 擺桿都是剛體 . 2)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中同步帶長(zhǎng)度保持不變 . 3)驅(qū)動(dòng)力與放大器輸入成正比并無(wú)延遲的直接施加于 旋轉(zhuǎn)平臺(tái) . 4)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的庫(kù)侖摩擦、動(dòng)摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過(guò)程中可忽略不計(jì) . 在忽略了空氣流動(dòng)，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成兩個(gè)勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)，如圖 : 姓名：論文題目 2021 年 16 / 38 圖 環(huán)形二級(jí)串聯(lián)倒立擺數(shù)學(xué)模型 1m ：水平桿的質(zhì)量 2m ：擺桿 1 的質(zhì)量 3m ：擺桿 2 的質(zhì)量 4m ：質(zhì)量塊 1 的質(zhì)量 5m ：質(zhì)量塊 2 的質(zhì)量 1l ：水平桿長(zhǎng)度 2l ：擺桿 1 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心的距離 0. 08m 3l ：擺桿 2 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心的距離 0. 1975m 1? ：連桿與水平 x 軸的夾角（圖示順時(shí)針為正） 2? ：擺桿 1與垂直向上方向的夾角（圖示順時(shí)針為正） 3? ：擺桿 2與垂直向上方向的夾角（圖示順時(shí)針為正） 利用拉格朗日方程推導(dǎo)環(huán)形倒立擺動(dòng)力學(xué)方程 拉格朗日方程為： ? ? ? ? ? ?qqVqqTqqL ??? , ?? 其中， L 為拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T 為系統(tǒng)的動(dòng)能， V 為系統(tǒng)的勢(shì)能。 狀態(tài)空間模 型 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。對(duì)于任一系統(tǒng)可由 n維空間中的一點(diǎn)來(lái)表征。 建立數(shù)學(xué)模型有兩種方法 :一種是從基本物理定律，即利用各個(gè)專門(mén)學(xué)科領(lǐng)域提出來(lái)的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型。環(huán)形倒立擺系統(tǒng)以角度編碼器采集的