【正文】 可以發(fā)現(xiàn) ,Q矩陣中 ,增加 11Q 使穩(wěn)定時間和上升時間變短 ,并且使擺桿的角度變化減少。經 計算得 rank( 0Q )=6,可知該系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)。 由實際數據的系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ： 姓名：論文題目 2021 年 26 / 38 uxxxxxxxxxxxx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1000000000100000010000001000654321654321?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 引入全狀態(tài)反饋，如圖 。如閉環(huán)系統(tǒng)的極點在一定條件下可以任意配置 :可以使系統(tǒng)具有二次型性能指標最優(yōu)化等等。 可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀測性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測反映出來。 二級倒立擺系統(tǒng)是一個比較復雜的系統(tǒng)，它的非線性因素很多，如 :各運動副之間的干摩擦，電機的飽和特性，模型 簡化時忽略的高次項以及其他隨機干擾。 總上所述，具有二次型指標函數的最優(yōu)控制問題，實際上在于用不大的控制能量來實現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個方面實現(xiàn)綜合最優(yōu)。于是，上述代價函數的積分 ???10 221 dtte 便是在古典控制理論中熟悉的用以評價系統(tǒng)性能的誤差平方積分。 C－輸出矩陣，是 l n矩陣 。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務時，使系統(tǒng)的某種性能指標具有最優(yōu)值。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標函數是對象狀態(tài)和控制輸入的二次型。 拉格朗日方程由廣義坐標 iq 和 L 表示為： iii fqLqLdtd ??????? 其中， ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設系統(tǒng)的兩 個廣義坐標分別是 1? , 2? , 3? 。因此，確定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，即建立在狀態(tài)空間中的數學模型是一個基本問題，也是現(xiàn)代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提的基礎上，其重要性就像經典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數一樣。系統(tǒng)在 n維空間中運動形成的若干系統(tǒng)點連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點的軌跡。這種方法得出的數學模型稱為機理模型或解 析模型，這種建立模型的方法稱為解析法。我們的目的是設計一個控制器，通過控制電機的轉動，使旋轉平臺穩(wěn)定在某一位置并保持擺桿直立。串聯(lián)倒立擺系統(tǒng)中各擺桿任何 一個的角度、角速度、角加速度變化都會對另外的擺桿角度、角速度、角加速度產生影響；而并聯(lián)倒立擺系統(tǒng)每個擺桿的狀態(tài)變化不受其他擺桿狀態(tài)變化的影響，只與水平連桿的角速度及角加速度有關。 （ 6）神經網絡控制 [11]神經網絡能夠學習與適應嚴重不確定性系統(tǒng)的動態(tài)特性，任意充分地逼近復雜的非線性關系，所有定量或定性的信息都等勢分布貯存于網絡內的各種神經元，故有很強的魯棒性和容錯性；也可將 Q 學習算法和 BP 神經網絡有效結合，實現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無模型學習控制。常見的利用狀態(tài)反饋的方法有： 1)線性二次型最優(yōu)控制； 2)極點配置 [7]； 3) 狀態(tài)反饋∞ H 控制 [8]； 4)魯棒控制。 倒立擺有很多種，有懸掛式倒立擺、平行倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺；倒立擺的級數可以是一級、二級、三級、四級乃至多級；倒立擺的運動軌道可以是水平的，還可以是傾斜的；控制電機可以是單電機，也可以是多級電機。做完這些準備工作后開始建立數學模型，列出動力學方程，傳遞函數，拉格朗日方程等，判斷系統(tǒng)的可觀可控和穩(wěn)定性，然后求解，得到需要的式子。 作者簽名： 年 月 日 學位論文版權使用授權書 本學位論文作者完全了解學校有關保障、使用學位論文的規(guī)定，同意學校保留并向有關學位論文管理部門或機構送交論文的 復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權省級優(yōu)秀學士學位論文評選機構將本學位論文的全部或部分內容編入有關數據庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。之后設計控制器，利用 MATLAB 語句 lqr，得到線性狀態(tài)反饋增益系數。 目前有關倒立擺的研究主要集中在亞洲，如中國的北京師范大學、北京航空航天大學 [2]、中國科技大學 [3]；日本的東京工業(yè)大學、東京電機大學、東京大學；韓國的釜山大學、忠南大學，此外，俄羅斯的圣彼得堡大學、美國的東佛羅里達大學、俄羅斯科學院、波蘭的波茲南技術大學、意大利的佛羅倫薩大學也對這個領域有持續(xù)的研究。 （ 2） PID 控制。 （ 7）采用遺傳算法與神經網絡相結合的方法 [12]基于倒立擺數學模型設計出神經網絡控制器，再利用改進 的遺傳算法訓練神經網絡的權值，從而實現(xiàn)對倒立擺的控制。 幾種不同類型的倒立 擺系統(tǒng)實物如下圖 。另外還需要系統(tǒng)對干擾有一定的魯棒性。另一種是從系統(tǒng)運行和實驗數據建立系統(tǒng)的模型 (模型結構和參數 )，這種方法稱為系統(tǒng)辯識。 拉格朗日方程： () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標 ， T —— 系統(tǒng)的動能， V —— 系統(tǒng)的勢能。 現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡單地說就是將描述系統(tǒng)運動的高階微分方程改寫成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運動直接用一階微分方程組表示，寫成矩陣形式，這樣2021 年 中國地質大學學士學位論文 15 / 38 就得到了狀態(tài)空間模型。 首先計算系統(tǒng)的動能： 54321 mmmmm TTTTTT ????? 其中連桿動能， 2mT 為擺桿 1 動能， 3mT 為擺桿 2 動能， 4mT 為質量塊 1 動能， 5mT2021 年 中國地質大學學士學位論文 17 / 38 為質量塊 2 動能。二次型問題就是在線性姓名：論文題目 2021 年 22 / 38 系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標函數達到最小。根據系統(tǒng)不同的用途，可以提出各種不同的性能指標。 若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義 : ? ? ? ? ? ?tytyte r ?? 為系統(tǒng)的誤差向量，是 1 1矩陣。 (2).被積函數中的第二項 ? ? ? ?tRUtUT 是用來衡量控制作用強弱的代價函數項。 因為在倒立擺系統(tǒng)中 C=I，及 ? ?ty r =0，則有 ? ? ? ? ? ?tetXtY ??? ，并且倒立擺的控制是 ??ft時線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調節(jié)問題，所以指標函數可以等價為 : ? ?dtRUUQXXJ TT?? ??0 采用反饋控制 : kXu ?? 其中， P為滿足方程的唯一正定對稱解： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT b)加權矩陣的選取 盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實際應用中仍然存在不少問題，一個最關鍵的問題就是二次型性能指標中加權矩陣和的選取。由于這些非線性因素的影響，使得以線性模型為基礎的仿真與實際動態(tài)響應有很大差別，甚至使系統(tǒng)不能穩(wěn)定，因而，利用二次型最優(yōu)控制使的系統(tǒng)穩(wěn)定的關鍵是尋找一個使系統(tǒng)穩(wěn)定的加權矩陣 ,。系統(tǒng)的可控性與可觀測性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的識別能力兩個方面反映系統(tǒng)本身的內在特性，往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，對系統(tǒng)的設計是至關重要的。這里應用最優(yōu)控制中的定常線性調節(jié)器理論，選取合適的、通過 MATLABY語句 lqr， 得到線性狀態(tài)反饋增益系數。圖中， R是加在水平桿上的階躍輸入，六個狀態(tài)量分別代表水平桿、擺桿的夾角、角速度，輸出包括水平桿和擺桿角度。綜上所述，線性定常系統(tǒng)為不穩(wěn)定的能控、能觀系統(tǒng)，可加外控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定 . 第二步 ,找出確定反饋控制規(guī)律的向量 K。這里取100,100,200 332211 ??? Q ，則： K=[ ] 響應曲線如圖 : 2021 年 中國地質大學學士學位論文 29 / 38 圖 改進 LQR 控制器的階躍響應 如果在增大 332211 Q ， ， 系統(tǒng)的響應還會改善 .但在保證 332211 Q ， 足夠小的情況下 ,系統(tǒng)響應已經滿足要求了。下面縮短穩(wěn)定時間和上升時間。 MATLAB 中 , 用 obsv(A, C) 來 求 系 統(tǒng) 的 能 觀 陣? ?TnCACACQ 10 ?? ?。為了獲得良好的瞬態(tài)和靜態(tài)性能， 且考慮到系統(tǒng)的實際要求，這里采用無限長時間調節(jié)器。采用狀態(tài)反饋可以使系統(tǒng)獲得一系列極為有實際價值的性質。這兩個概念 是卡爾曼在 20世紀 60年代提出的，是現(xiàn)代控制理論中的兩個基本概念。在選取時則選654 , qqq 為零。它表示在給定終端時刻 ft 到來時，系統(tǒng)實際輸出 ??ty 接近期望輸出 ??tyr 的程度。如誤差為標量函數 e(t)，則?? ??tQeteT 項變成 ??te2 。 B－控制矩陣，是 n r矩陣 。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。 線性二次型最優(yōu)控制設計是基于狀態(tài)空間技術來 設計一個優(yōu)化的動態(tài)控制器。 二級倒立擺系統(tǒng) 的 數學模型 是一個理想模型，需要滿足下面的條件 : 1)每一級 擺桿都是剛體 . 2)在實驗過程中同步帶長度保持不變 . 3)驅動力與放大器輸入成正比并無延遲的直接施加于 旋轉平臺 . 4)實驗過程中的庫侖摩擦、動摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過程中可忽略不計 . 在忽略了空氣流動，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成兩個勻質桿和質量塊組成的系統(tǒng)，如圖 : 姓名：論文題目 2021 年 16 / 38 圖 環(huán)形二級串聯(lián)倒立擺數學模型 1m ：水平桿的質量 2m ：擺桿 1 的質量 3m ：擺桿 2 的質量 4m ：質量塊 1 的質量 5m ：質量塊 2 的質量 1l ：水平桿長度 2l ：擺桿 1 轉動中心到桿質心的距離 0. 08m 3l ：擺桿 2 轉動中心到桿質心的距離 0. 1975m 1? ：連桿與水平 x 軸的夾角（圖示順時針為正） 2? ：擺桿 1與垂直向上方向的夾角（圖示順時針為正） 3? ：擺桿 2與垂直向上方向的夾角（圖示順時針為正） 利用拉格朗日方程推導環(huán)形倒立擺動力學方程 拉格朗日方程為： ? ? ? ? ? ?qqVqqTqqL ??? , ?? 其中， L 為拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標， T 為系統(tǒng)的動能， V 為系統(tǒng)的勢能。 狀態(tài)空間模 型 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎上發(fā)展起來的。對于任一系統(tǒng)可由 n維空間中的一點來表征。 建立數學模型有兩種方法 :一種是從基本物理定律，即利用各個專門學科領域提出來的物質和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結構數據推導出模型。環(huán)形倒立擺系統(tǒng)以角度編碼器采集的