【正文】 .1 建立數(shù)學(xué)模型 ..........................................................................................................................1 方程 .................................................................................................................3 狀態(tài)空間模型 ................................................................................................................3 環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立 .......................................................................3 線性二次型最優(yōu)控制器（ LQR）的設(shè)計(jì) ............................................................................3 線性二次型最優(yōu)控制理論 ...........................................................................................3 系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 ............................................................................................3 LQR 調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì) .......................................................................................................3 第三章 simulink 仿真模型和倒立擺自 動(dòng)起擺 ...............................................................................3 simulink 的簡(jiǎn)介 ...................................................................................................................3 Simulink 仿真模型的建立步驟 ........................................................................................3 第四章 倒立擺的自動(dòng)起擺和 scope 仿真圖 ....................................................................................3 擺起的能量控制策略 ..................................................................................................3 仿真實(shí)驗(yàn)圖 ..................................................................................................................3 結(jié)束語(yǔ) ...................................................................................................................................................3 致 謝 ....................................................................................................................................................4 參考文獻(xiàn) ................................................................................................................................................5 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 7 / 38 第一章 緒論 研究現(xiàn)狀及意義 倒立擺的發(fā)展歷史和 現(xiàn)狀 早在 20 世紀(jì) 60 年代，人們就開始研究倒立擺系統(tǒng)。 倒立擺有很多種，有懸掛式倒立擺、平行倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺；倒立擺的級(jí)數(shù)可以是一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)乃至多級(jí)；倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，還可以是傾斜的；控制電機(jī)可以是單電機(jī)，也可以是多級(jí)電機(jī)。 關(guān)于倒立擺系統(tǒng)的研究主要分為兩個(gè)方面，一方面是設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的自動(dòng)擺起，另一方面是設(shè)計(jì)控制器使得倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定于垂直倒立位置。常見的利用狀態(tài)反饋的方法有： 1)線性二次型最優(yōu)控制； 2)極點(diǎn)配置 [7]； 3) 狀態(tài)反饋∞ H 控制 [8]； 4)魯棒控制。這種控制不需要系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，而是根據(jù)人的經(jīng)驗(yàn)、邏輯判斷和感受，通過語(yǔ)言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語(yǔ)言控制規(guī)則器中，解決非線性問題和不確定性問題。 （ 6）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 [11]神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，所有定量或定性的信息都等勢(shì)分布貯存于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各種神經(jīng)元，故有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性；也可將 Q 學(xué)習(xí)算法和 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無模型學(xué)習(xí)控制。 本文的研究?jī)?nèi)容及其組織結(jié)構(gòu) 倒立擺簡(jiǎn)介 倒立擺系統(tǒng)的最初研究開始于二十世紀(jì)五十年代，麻省理工大學(xué)電機(jī)工程系設(shè)計(jì) 出單級(jí)倒立擺系統(tǒng)這個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備。串聯(lián)倒立擺系統(tǒng)中各擺桿任何 一個(gè)的角度、角速度、角加速度變化都會(huì)對(duì)另外的擺桿角度、角速度、角加速度產(chǎn)生影響；而并聯(lián)倒立擺系統(tǒng)每個(gè)擺桿的狀態(tài)變化不受其他擺桿狀態(tài)變化的影響，只與水平連桿的角速度及角加速度有關(guān)。它的控制對(duì)象是旋轉(zhuǎn)平臺(tái)和一節(jié)或兩節(jié)擺桿，目的是讓一節(jié)或兩節(jié)擺桿保持豎直的平衡狀態(tài)。我們的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，通過控制電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)，使旋轉(zhuǎn)平臺(tái)穩(wěn)定在某一位置并保持?jǐn)[桿直立。 ：本文主要研究用線性二次型最優(yōu)控制方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性控制。這種方法得出的數(shù)學(xué)模型稱為機(jī)理模型或解 析模型，這種建立模型的方法稱為解析法。 Lagrange 方程 拉格朗日提出了用能量的方法推導(dǎo)物 理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，引入了廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)在 n維空間中運(yùn)動(dòng)形成的若干系統(tǒng)點(diǎn)連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點(diǎn)的軌跡。 2:理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。因此，確定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，即建立在狀態(tài)空間中的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)基本問題，也是現(xiàn)代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提的基礎(chǔ)上，其重要性就像經(jīng)典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣。 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ??? kDukCxky kBukAxkx 1 式中， yxu , 輸入向量、狀態(tài)向量、輸出向量， K 表示采樣點(diǎn)。 拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) iq 和 L 表示為： iii fqLqLdtd ??????? 其中， ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的兩 個(gè)廣義坐標(biāo)分別是 1? , 2? , 3? 。 線性最優(yōu)控制問題包括線性調(diào)節(jié)器和線性伺服系統(tǒng)兩類問題。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型。 應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡(jiǎn)單、確定系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)問題。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。 U(t)－控制向量，是 :n l矩陣 。 C－輸出矩陣，是 l n矩陣 。其中各項(xiàng)所表示的物理意義簡(jiǎn)述如下 : (l).被積函數(shù)中的第一項(xiàng) ?? ??tQeteT 是在控制過程中由于誤差的存在而出現(xiàn)的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。于是，上述代價(jià)函數(shù)的積分 ???10 221 dtte 便是在古典控制理論中熟悉的用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分。這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增加加權(quán)矩陣 Q的各個(gè)元素 。 總上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實(shí)際上在于用不大的控制能量來實(shí)現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)。當(dāng) R相對(duì)很大，意味著控制費(fèi)用增加，使得控制能量較小，反饋減弱，當(dāng) R相對(duì)較小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，它的非線性因素很多，如 :各運(yùn)動(dòng)副之間的干摩擦，電機(jī)的飽和特性，模型 簡(jiǎn)化時(shí)忽略的高次項(xiàng)以及其他隨機(jī)干擾。 2）閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)最好能有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的摩擦非線性，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)過大，以免系統(tǒng)的頻帶過寬，使得系統(tǒng)對(duì)噪聲過于敏感，以致于不能正常工作。 可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀測(cè)性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測(cè)反映出來。 可觀測(cè)性研究狀態(tài)和輸出量的關(guān)系，即通過對(duì)輸出量在有限時(shí)間內(nèi)的量測(cè)，把系統(tǒng)的狀態(tài)識(shí)別出來。如閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在一定條件下可以任意配置 :可以使系統(tǒng)具有二次型性能指標(biāo)最優(yōu)化等等。調(diào)節(jié)器又分為有限時(shí)間調(diào)節(jié)器和無限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器。 由實(shí)際數(shù)據(jù)的系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ： 姓名：論文題目 2021 年 26 / 38 uxxxxxxxxxxxx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1000000000100000010000001000654321654321?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 引入全狀態(tài)反饋，如圖 。用 MATLAB 程序 eig(A)可以求出開環(huán)極點(diǎn)為（ ， ， ， ， 0， 0） ,可以看出 ,有二個(gè)極點(diǎn)， S平面 ,這說明開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。經(jīng) 計(jì)算得 rank( 0Q )=6,可知該系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)。最簡(jiǎn)單的情況是假設(shè) 1?R , CCQ ??? 。 可以發(fā)現(xiàn) ,Q矩陣中 ,增加 11Q 使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短 ,并且使擺桿的角度變化減少。 姓名：論文題目 2021 年 30 / 38 圖 消除穩(wěn)態(tài)誤差后的 階躍響應(yīng) 第三章 simulink仿真模型 和 倒立擺自動(dòng)起擺 的簡(jiǎn)介 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 31 / 38 MATLAB是一個(gè)高級(jí)的數(shù)學(xué)分析和計(jì)算仿真軟件， simulink是