【正文】 ⑶ 將 Rt△ ABC向左平移 cm4 ，求四邊形 DHCF的面積 . 【答案】 （ 1）證明 ：∵△ ABC≌△ DEF，∴ AC=DF,∠ ACB=∠ DFE，∴ AC∥ DF， ∴四邊形 ACFD是平行四邊形； （ 2）在 Rt△ ABC中，由勾股定理得 AC=10cm，要使四邊形 ACFD為菱形，則 AC=CF， ∴可將 Rt△ ABC向左平移 10cm或向右平移 10cm； （ 3）在 Rt△ ABC中， 63ta n 84ABA C B BC? ? ? ?． ∴當(dāng) Rt△ ABC向左平移 cm4 時， EC=BCBE=84=4（ cm）， 在 Rt△ HEC中， 3ta n 4 34H E E C A C B? ? ? ? ?． ∴四邊形 DHCF的面積為： 118 6 4 3 1 822? ? ? ? ? ?cm2． 41. （ 2020湖北荊州， 19， 7分）（本題滿分 7分）如圖， P是矩形 ABCD下方一點，將△ PCD繞 P點順時針旋轉(zhuǎn) 60176。 證明：設(shè) CK,DE 相交于 M 點，∵四邊形 ABCD 和四邊形 DEFG 都是正方形，∴ AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥ DG。．∴ EF∥ CA ∴∠ AEF =∠ EAC ∵ AF = CE = AE ∴∠ F =∠ AEF =∠ EAC =∠ ECA 又 ∵ AE = EA ∴△ AEC≌△ EAF，∴ EF = CA，∴四邊形 ACEF是平行四邊形 ． （ 2）當(dāng)∠ B=30176。 , ∠M=144176?！唷?ABG=∠ EAP. ∵ EP⊥ AG，∴∠ AGB=∠ EPA=90176。 ， 因此，點 G， B， F在同一條直線上． ∵∠ EAF= ?m21 ∴∠ 2+∠ 3=∠ BAD∠ EAF= ????? mmm2121 ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 1+∠ 3= ?m21． 即 ∠ GAF=∠ EAF 又 AG=AE， AF=AF ∴△ GAF≌△ EAF． ∴ GF=EF， 又 ∵ GF=BG+BF=DE+BF ∴ DE+BF=EF． ⑶ 當(dāng) ∠ B與 ∠ D互補時，可使得 DE+BF=EF． 35. （ 2020江蘇鹽城， 27， 12分） 情境觀察 321GEFDCBA（ 第 25 題 ）②解得圖 EFDCBA（ 第 25 題 ）③ 將 矩形 ABCD 紙片 沿對角線 AC 剪開，得到 △ ABC 和 △ A′ C′D ，如圖 1 所示 .將△ A′ C′D 的頂點 A′ 與點 A重合，并 繞點 A按 逆時針 方向 旋轉(zhuǎn) ，使點 D、 A(A′ )、 B在同一條直線上，如圖 2所示． 觀察圖 2可知：與 BC相等的線段是 ▲ ，∠ CAC′ = ▲ 176。 ∴∠ 2+∠ 3=∠ BAD∠ EAF=90176。 10分 方法二： 假設(shè)△ ADP∽△ BFP，則PFBFPDPB?. 8 分 ∴ aAPADPD2522 ???， aBFPBPF4522 ??? ∴55?? PFBFPDPB ∴∠ APD＋∠ EPB＝ 90176。 AB＝ AD，∴∠ ADP＋∠ APD＝ 90176。． 31. （ 2020廣東肇慶， 20， 7分）如圖，在正方形 ABCD中， E為對角線 AC上一點，連接 EB、ED． （ 1）求證：△ BEC≌△ DEC； （ 2）延長 BE交 AD于點 F，若∠ DEB ＝ 140?，求∠ AFE的度數(shù)． 【答案】解：（ 1）證明：∵四邊形 ABCD 是正方形 ∴ CD＝ CB， ∵ AC是正方形的對角線 ∴∠ DCA＝ ∠ BCA 又 CE ＝ CE ∴△ BEC≌△ DEC (2）∵∠ DEB ＝ 140? 由△ BEC≌△ DEC可得∠ DEC ＝ ∠ BEC＝ 140??2＝ 70?， ∴∠ AEF ＝ ∠ BEC＝ 70?， 又∵ AC是正方形的對角線， ∠ DAB＝ 90? ∴∠ DAC ＝ ∠ BAC＝ 90??2＝ 45?， 在△ AEF中，∠ AFE＝ 180?— 70?— 45?＝ 65? 32. （ 2020廣東肇慶， 22， 8分）如圖，矩形 ABCD的對角線相交于點 O， DE∥ AC， CE∥ BD． （ 1）求證：四邊形 OCED是菱形； （ 2）若∠ ACB＝ 30?，菱形 OCED的面積為 38 ，求 AC的長． 【答案】解：（ 1）證明：∵ DE∥ OC ， CE∥ OD，∴四邊形 OCED是平行四邊形． ∵四邊形 ABCD是矩形 ∴ AO＝ OC＝ BO＝ OD ∴四邊形 OCED是菱形． A B C D E O A B C D E F （ 2）∵∠ ACB＝ 30176。 DE=CE． ∵∠ ADC=∠ BCD=90176。求證： BE=CF 【答案】 證明： ∵ 四邊形 ABCD為矩形 ∴ OA=OB=OC=OD AB=CD ∵ AE=DF ∴ OE=OF 在 ΔBOE 與 ΔCOF 中， ??????????OFOEC OFB OEOCOB ∴ ΔBOE ≌ ΔCOF(SAS) ∴ BE=CF 29. （ 2020湖南衡陽， 26， 10分）如圖，在矩形 ABCD中， AD=4， AB=m(m＞ 4)，點 P是 AB邊上的任意一點（不與 A、 B重合），連結(jié) PD，過點 P作 PQ⊥ PD，交直線 BC于點 Q． (1)當(dāng) m=10時，是否存在點 P使得點 Q與點 C重合？若存在，求出此時 AP的長；若不存在，說明理由； (2)連結(jié) AC，若 PQ∥ AC,求線段 BQ 的長（用含 m的代數(shù)式表示） (3)若△ PQD為等腰三角形，求以 P、 Q、 C、 D為頂點的四邊形的面積 S與 m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 m的取值范圍． 【 解 】 (1) 假設(shè)當(dāng) m=10時，存在點 P使得點 Q與點 C重合（如下圖）， ∵ PQ⊥ PD∴∠ DPC=90176。 ∴∠ FEN＝∠ GEM， ∴ Rt△ FEN∽ Rt△ GEM, ????????????????（ 10分） ∴ EGEF ＝ EMEN ＝ ab ．????????????????（ 11分） 27. （ 2020上海， 23， 12分）如圖，在梯形 ABCD中， AD//BC， AB＝ DC，過點 D作 DE⊥ BC，垂足為 E，并延長 DE至 F，使 EF＝ DE．聯(lián)結(jié) BF、 CF、 AC． （ 1）求證：四邊形 ABFC是平行四邊形； （ 2）如果 DE2＝ BE ，?????????????????????（ 5分） ∴ DC∥ AB, ∵ AD∥ BC， ∴四邊形 ABCD為平行四邊形，?????????????????（ 6分） 又由（ 1）知 AC＝ AD， ∴ AB＝ AD， ∴四邊形 ABCD是菱形．????????????????????（ 7分） 26. （ 2020 山東臨沂， 25， 11 分 )如圖 1，獎三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角頂點 E 與正方形 ABCD 的頂點 A 重合，三角板的一邊交 CD 于點 F，另一邊交 CB 的延長線于點 G． （ 1）求證： EF＝ EG； （ 2）如圖 2，移動三角板，使頂點 E始終在正方形 ABCD的對角線 AC上，其他條件不變 ． （ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請說明理由； （ 3）如圖 3，將（ 2）中的“正方形 ABCD”改為“矩形 ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點 B，其他條件不變，若 AB＝ a,BC＝ b，求 EGEF 的值 ． 圖 1 圖 2 圖 3 （ 1）證明：∵∠ GEB＋∠ BEF＝ 90176。＋ 60176。EAM 又∵∠ 39。的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （ 2） 當(dāng)α＝ 30176。 19. （ 2020山東濟寧， 17， 5分）如圖，在平行四邊形 ABCD中，對角線 AC、 BD相交于點O，過點 O作直線 EF⊥ BD，分別交 AD、 BC于點 E和點 F，求證：四邊形 BEDF是菱形． 【答案】證明： ∵ 四邊形 ABCD是菱形， ∴ AD∥ BC， OB=OD， ????????????????1 分 ∴∠ EDO=∠ FBO， ∠ OED=∠ OFB， ??????????2 分 ∴ △OED≌△OFB ， ∴ DE=BF， ?????????????????????3 分 又 ∵ DE∥ BF， ∴ 四邊形 BEDF是平行四邊形， ??????????? ?4 分 OFE DCBA第 17 題 ∵ EF⊥ BD， ∴ 四邊形 BEDF是菱形． ???????????????5 分 20． （ 2020山東聊城， 25， 12分）如圖，在矩形 ABCD中， AB＝ 12cm， BC＝ 8cm，點 E、 F、 G分別從點 A、 B、 C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點 E、 G的速度均為2cm/s，點 F的速度為 4cm/s，當(dāng)點 F追上點 G（即點 F與點 G重合）時，三個點隨之停止移動．設(shè)移動開始后第 t秒時， △ EFG的面積為 S（ cm2）． （ 1）當(dāng) t＝ 1秒時， S的值是多少？ （ 2）寫出 S和 t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量 t的取值范圍． （ 3）若點 F在矩形的邊 BC上移動，當(dāng) t為何值時，以點 E、 B、 F為頂點的三角形與以F、 C、 G為頂點的三角形相似？請說明理由． 【答案】（ 1）如圖甲，當(dāng) t＝ 1秒時， AE＝ 2， EB＝ 10， BF＝ 4， FC＝ 4， CG＝ 2，由 S＝ S梯形 EGCG－ SEBF－ SFCG＝ 21 (10＋ 2)8 － 21 104 － 21 42 ＝ 24 (2)如圖（甲），當(dāng) 0≤t≤2 時，點 E、 F、 G分別在 AB、 BC、 CD上移動，此時 AE＝ 2t，EB＝ 12－ 2t， BF＝ 4t， FC＝ 8－ 4t， S＝ 8t2－ 32t＋ 48（ 0≤t≤2 ） （ 3）如圖乙，當(dāng) 點 F追上點 G時， 4t＝ 2t＝ 8，解得 t＝ 4，當(dāng) 2＜ t≤4 時， CF＝ 4t－ 8，CG＝ 2t， FG＝ CG－ CF＝ 8－ 2t，即 S＝－ 8t＋ 32(2＜ t≤4) ， (3)如圖（甲），當(dāng)點 F在矩形的邊 BC上移動時， 0≤t≤2 ，在 EFF和 FCG中， B＝ C＝ 90，① 若 CGBFFCEB? ，即 tttt 2448 212 ??? ，解得 t＝ 32 ，又 t＝ 32 滿足 0≤t≤2 ，所以當(dāng) t＝ 32 時△ EBF∽△ GCF② 若 CFBFGCEB? ，即 ttt t 48 42 212 ??? ，解得 t＝ 23 ，又 t＝ 23 滿足 0≤t≤2 ，所以當(dāng) t＝ 23 時 △ EBF∽△ GCF，綜上知，當(dāng) t＝ 32 或 23 時，以點 E、 B、 F為頂點的三角形與以 F、 C、 G為頂點的三角形相似 21. （ 2020山東濰坊， 18， 8分）已知正方形 ABCD的邊長為 a，兩條對角線 AC、 BD相交于點 O， P是射線 AB上任意一點，過 P點分別做直線 AC、 BD的垂線 PE、 PF，垂足為 E、F. （ 1）如圖 1，當(dāng) P點在線段 AB 上時，求 PE+PF的值； （ 2）如圖 2，當(dāng) P點在線段 AB 的延長線上時，求 PE－ PF的值 . 【解】（ 1）∵四邊形 ABCD為正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PF⊥ BD，∴ PF//AC，同理 PE//BD. ∴四邊形 PFOE為矩形，故 PE=OF. 又∵∠ PBF=45176。時，求點 P的坐標(biāo) 。 ∵ AD=8cm， AB=6cm，∴ BD=10cm，∴ OD=5cm. 當(dāng)四邊形 PBQD是菱形時， PQ⊥ BD，∴ ∠ POD=∠ A，又 ∠ ODP=∠ ADB， ∴△ ODP∽△ ADB， A B C