【正文】 全國版 57 所以 g(x)在 (1， 0)上是減函數(shù)， 在 (0， +∞)上是增函數(shù)， 故當(dāng) x＞ 1時(shí)， g(x)≥g(0)=0， 即 故 綜上知， 1l n ( 1 ) ( 1 ) 01x x?? ? ，11 l n( 1 ) .1xx???11 l n ( 1 ) .1xxx? ? ??立足教育 開創(chuàng)未來 全國版 55 已知函數(shù) f(x)=ln(x+1)x，若 x＞ 1，證明 : ≤ln(x+1)≤x. 證明： 令 f ′(x)=0，得 x=0. 當(dāng) x∈ (1， 0)時(shí)， f ′(x)＞ 0。 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 47 求證：三條拋物線 y ＝ cx2＋ 2 ax ＋ b ， y＝ ax2＋ 2 bx ＋ c ， y ＝ bx2＋ 2 cx ＋ a ( a 、 b 、 c 為非零實(shí)數(shù) ) 中至少有一條與 x 軸有交點(diǎn)． 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 39 若 n∈ N，且 n≥2，求證： 證明： 當(dāng) n≥2時(shí) , 即 所以 又 故原不等式成立 . 2 2 21 1 1 1 1 1 .2 1 2 3? ? ? ? ??nn2( 1 ) ( 1 ) ,n n n n n? ? ?21 1 1 1 1 .1 1???n n n n n2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) .2 3 2 3 3 4 1 2 1? ? ? ? ? ? ? ???n n n n2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) 1 1 .2 3 2 2 3 1? ? ? ? ? ? ? ? ?n n n n立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) b ＋ c2 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 28 因?yàn)?b＞ a＞ 0， f(a)=f(b)，所以 0＜ a＜ 1＜ b， 且 即 即 a+b=2ab. 因?yàn)?a＞ 0， b＞ 0， a≠b， 所以 a+b＞ 2 ，從而 2ab＞ 2 ＞ 0， 所以 ＞ 1，即 ab＞ 1. 11 1 1 ,ab?11 2,ab??ababab立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 全國版 23 已知 a ， b ， c 為正實(shí)數(shù)， a ＋ b ＋ c ＝ 1.求證： a2＋ b2＋ c2≥13. 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 15 已知 a、 b∈ R+，求證： 證明： 因?yàn)?a、 b∈ R+， 所以 1 2 2 .abab? ? ?2a b ab??112? ? ? ?a b a ba b a b12 2 2 2? ? ?abab立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 7 三 、 分析法 分析法是從尋求結(jié)論成立的充分條件入手 ， 逐步尋求所需條件成立的充分條件 ，直至所需的條件已知正確時(shí)為止 ， 明顯地表現(xiàn)出 “ 執(zhí)果索因 ” . 四 、 反證法 假設(shè)所證不等式不成立 ， 結(jié)合已知條件和不等式的基本性質(zhì)推出一個(gè)矛盾的結(jié)論 ， 從而得出所證不等式成立 . 立足教育 開創(chuàng)未來 全國版 5 若 b＞ 0,欲證 a＞ b,只需證 ＞ 1。 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 欲證 a＜ b,只需證 ＜ ： 作商 → 變形 → 判斷 (大于或小于 1). 二、綜合法 綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā) ,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式 (由因?qū)Ч?). 在證明時(shí) ,還常要用到以下證題依據(jù)： abab立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 10 解： 可設(shè) a=1， b=2，則 322ab? ? ，2423ababab???， ，22 1 4 52 . 5 .2 2 2ab ?? ? ? ?立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 18 點(diǎn)評： 比較法分差值比較法與商值比較法兩種 ， 用比較法證不等式的關(guān)鍵在于作差 (商 )后的變形 ， 注意因式分解 、通分 、 配方等變形的運(yùn)用 ， 變形的方向就是有利于式子與 0(或 1)的比較 . 立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 26 方法 3 ：設(shè) a ＝13＋ α ， b ＝13＋ β ， c ＝13＋ γ . 因?yàn)?a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，所以 α ＋ β ＋ γ ＝ 0. 所以 a2＋ b2＋ c2＝ (13＋ α )2＋ (13＋ β )2＋ (13＋ γ )2 ＝13＋23( α ＋ β ＋ γ ) ＋ α2＋ β2＋ γ2 ＝13＋ α2＋ β2＋ γ2≥13. 所以 a2＋ b2＋ c2≥13. 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 31 題型 4 用分析法證不等式 1. 已知 a＞ b＞ 0,求證： 證明： 欲證 成立， 只需證 22( ) ( ).8 2 8a b a b a babab???22( ) ( )8 2 8a b a b a babab???22( ) ( ) 2 ,44a b a ba b a bab? ? ?立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) c ＋ a2 abc 成立． 立足教育 開創(chuàng)未來 全國版 37 2. 設(shè) n∈ N*，求證： 證明： 題型 5 用放縮法證不等式 1 1 12 ( 1 1 ) 1 2 .23? ? ?