【正文】 2 .x x x??11x221 1 11 01 1 1 xxxx x x? ? ? ?11.1xx??立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 15 已知 a、 b∈ R+，求證： 證明： 因?yàn)?a、 b∈ R+， 所以 1 2 2 .abab? ? ?2a b ab??112? ? ? ?a b a ba b a b12 2 2 2? ? ?abab立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 19 已知函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a、 b∈ R)，當(dāng)實(shí)數(shù) p、q滿足 p+q=1時(shí)，試證明： pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)對(duì)于任意實(shí)數(shù) x、 y都成立的充要條件是 0≤p≤1. 證明： pf(x)+qf(y)f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)(px+qy)2a(px+qy)b =p(1p)x22pqxy+q(1q)y2 =pqx22pqxy+pqy2=pq(xy)2. 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 23 已知 a ， b ， c 為正實(shí)數(shù)， a ＋ b ＋ c ＝ 1.求證： a2＋ b2＋ c2≥13. 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 27 已知函數(shù) f(x)=|1 |，若 b＞ a＞ 0，且f(a)=f(b)，證明： ab＞ 1. 證明： 由已知，當(dāng) x≥1時(shí)， f(x)=1 。 全國(guó)版 28 因?yàn)?b＞ a＞ 0， f(a)=f(b)，所以 0＜ a＜ 1＜ b， 且 即 即 a+b=2ab. 因?yàn)?a＞ 0， b＞ 0， a≠b， 所以 a+b＞ 2 ，從而 2ab＞ 2 ＞ 0， 所以 ＞ 1，即 ab＞ 1. 11 1 1 ,ab?11 2,ab??ababab立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 32 只需證 只需證 即證 只需證 即證 只需證 2 2 2( ) ( ) ( ) ,22a b a babab??,22a b a babab?? 1,22a b a bab????1 2 1 ,baab? ? ? ?1baab?? 1.baab??立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) b ＋ c2 全國(guó)版 36 因?yàn)閍 ＋ b2≥ ab 0 ，b ＋ c2≥ bc 0 ，c ＋ a2≥ ca 0 ， 所以a ＋ b2 理科數(shù)學(xué) 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 39 若 n∈ N，且 n≥2，求證： 證明： 當(dāng) n≥2時(shí) , 即 所以 又 故原不等式成立 . 2 2 21 1 1 1 1 1 .2 1 2 3? ? ? ? ??nn2( 1 ) ( 1 ) ,n n n n n? ? ?21 1 1 1 1 .1 1???n n n n n2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) .2 3 2 3 3 4 1 2 1? ? ? ? ? ? ? ???n n n n2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) 1 1 .2 3 2 2 3 1? ? ? ? ? ? ? ? ?n n n n立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 43 第六章 不等式 第 講 （第三課時(shí)） 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 47 求證：三條拋物線 y ＝ cx2＋ 2 ax ＋ b ， y＝ ax2＋ 2 bx ＋ c ， y ＝ bx2＋ 2 cx ＋ a ( a 、 b 、 c 為非零實(shí)數(shù) ) 中至少有一條與 x 軸有交點(diǎn)． 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 51 已知 1≤x2+y2≤2，求證： ≤x2xy+y2≤3. 證明 :設(shè) x=rcosθ,y=rsinθ,且 1≤r≤2,θ∈ R, 則 由 1≤sin2θ≤1，得 ≤1 sin2θ≤ . 又 1≤r2≤2，所以 ≤r2(1 sin2θ)≤3， 即 ≤x2xy+y2≤3. 2 2 2 2 2 2 2222 c os c os sin sin1 sin 2 ( 1 sin 2 )22x x y y r r rrrr? ? ? ???? ? ??? ，12123212 1212立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 55 已知函數(shù) f(x)=ln(x+1)x，若 x＞ 1，證明 : ≤ln(x+1)≤x. 證明： 令 f ′(x)=0，得 x=0. 當(dāng) x∈ (1， 0)時(shí)， f ′(x)＞ 0。 全國(guó)版 56 所以 f(x)在區(qū)間 (1， 0)上是增函數(shù)， 在區(qū)間 (0， +∞)上是減函數(shù) . 所以當(dāng) x＞ 1時(shí)， f(x)≤f(0)=0， 即 ln(x+1)x≤0，故 ln(x+1)≤x. 令 則 令 g′(x)=0，得 x=0. 當(dāng) x∈ (1， 0)時(shí)， g′(x)＜ 0。 全國(guó)版 57 所以 g(x)在 (1， 0)上是減函數(shù)， 在 (0， +∞)上是增函數(shù)， 故當(dāng) x＞ 1時(shí)， g(x)≥g(0)=0， 即 故 綜上知， 1l n ( 1 ) ( 1 ) 01x x?? ? ，11 l n( 1 ) .1xx???11 l n ( 1 ) .1xxx? ? ??立足教育 開創(chuàng)未來 183