【正文】 我很自豪有這樣一位老師，她值得我感激和尊敬。一念至此，竟有些恍惚，所謂白駒過隙、百代過客云云，想來便是這般惆悵了。 CMCM 97A 題 97 年全國大學(xué)生數(shù)模競賽 A 題 “零件的參數(shù)設(shè)計 ”，可以歸結(jié)為非線性規(guī)劃模型，由于目標(biāo)函數(shù)很復(fù)雜，且又是一個多維函數(shù)，因此求解比較困難，為應(yīng)用模擬退火法進行求解，將 7 個自變量的取值范圍進行離散化，取步長為 ， 這樣 ， 所有 7 個變量取值就組成了一個極為龐大的離散空間 , 而這個問題變成組合優(yōu)化模型。則 T 為 G 的最小生成樹。 思路：從“邊”著手選最小生成樹。令 S(i＋ 1)＝ Si＋ {v(i+1)}。 18 最短軌道問題 背景：給定連接若干城市的鐵路網(wǎng)，尋求從指定城市 v0 到各城 v 去的最短道路。樹是最簡單而最重要的一類圖。 2． 頂點集為 V，邊集為 E 的圖 G 通常記為 G=（ V， E）。17 許多難題由于歸結(jié)為圖論問題被巧妙地解決。 15 n 個變量的線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為： Max ?s ??nj jjxc1 (1) ..ts ?? ?nj ijij bxa1 mi ?,3,2,1? (2) jx ≥0 ( ib 是 0? 的常數(shù) ) （ 3） 線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式：簡記“ LP”問題 可 通過以下手段將線性規(guī)劃問題的一般形式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式： 目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化 若問題的目標(biāo)函數(shù)是求其極小值，即求： Min z=c1 x1 +c2 x2 +? + xn 則可轉(zhuǎn)化為求極大值問題，即求： max z? =z=( c1 x1 +c2 x2 +? + xn ) 約束條件轉(zhuǎn)換 如果某一約束條件是線性不等式 ?? ?nj ijij bxa1 或（ ?? ?nj ijij bxa1 ）， 則通過引入松弛變量 x 1?i ? 0，將它轉(zhuǎn)化為 ?? ? ??nj iinjij bxxa1 （或 ?? ? ??nj iinjij bxxa1 ，其中的 x 1?i 也稱為剩余變量） x 1?i ? 0 反之，若有必要，也可等式約 束 ?? ?nj ijij bxa1 等價的轉(zhuǎn)化為兩個不等式約束，即 ?? ?nj ijij bxa1 或 ?? ?nj ijij bxa1 變量的轉(zhuǎn)換 若某個變量的約束條件為 x i ? 1l （或 x i ? 1l ）則可令 jy jx? jl? （或 jy jj xl ?? ）， j y 變?yōu)榉秦撟兞? 若某個變量 ix 無非負限制（稱為自由變量），則可令 ????????????0, jjjjjxxxxx 代入原問題，將自由變量替換掉。當(dāng)限制條件多，背景比較復(fù)雜時，可以采用圖示或表格形式列出所有的已知數(shù)據(jù)和信息，從而避免“遺漏”或“重復(fù)”所造成的錯誤。 14 線性 規(guī)劃的一般理論 一般的優(yōu)化問題是指用“最好”的方式，使用或分配有限的資源即勞動力、原材料、機器、資金等，使得費用最小或利潤最大。 然而，對擬合的結(jié)果還應(yīng)給予合理的評價。21e x p. ..2 1 ????? . 取似然函數(shù) L 最大來估計參數(shù) C，應(yīng)使 ? ?? ? min。若不存在測量誤差，則這些數(shù)據(jù)點都準(zhǔn)確落在理論曲線上。均為 1 次多項式且滿足 0l （ x） =1 且 1l (x)=0。 4 數(shù)據(jù)差值與擬合方法 在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，常常有這樣的問題：由實驗或測量得到變量間的一批離散樣點，要求由此建立變量之間的函數(shù)關(guān)系或得到樣點之外的數(shù)據(jù)。 Malthus 人口模型所說的人口并不一定限于人，可以是認可一個生物群體，只要滿足類似的性質(zhì)即可。描述離散型變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為離散型模型。如上述問題中考察時間微元 t? ，從而建立的反應(yīng)溶液濃度隨時間變化的模型。它是針對液體溶液變化建立的，但它對氣體和固體濃度變化同樣適用。當(dāng) m 分別取 12 和 365 時，就是前兩種情況下的計算公式。（ 1+6001 ） 4 x3 =100+10022lv =6n mv2 = xmv63 于是單位時間行人行走所作的功為 P= E勢 + E動 =lMgxv8+ xmv63 這是一個數(shù)學(xué)模型，問題轉(zhuǎn)化為欲求： x為多大時， P最小。對于一些機理簡單的問題，常常應(yīng)用靜態(tài)、線性或邏輯的方法即可建立模型，使用初等數(shù)學(xué)方法 或簡單的微積分知識即可求解，此類模型稱之為初等數(shù)學(xué)模型。 畢業(yè)論文（設(shè)計）作者（簽名）： 年 月 日 I 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽常用建模方法探討 摘 要 [請單擊此處，然后輸入中文摘要內(nèi)容 ] 關(guān)鍵 詞 ： 數(shù)學(xué)建模競賽 初等方法 建模方法 微分方程 圖論 線性規(guī)劃 II Commonly used modeling method of the National Mathematical Contest in Modeling Chai yunfei Directed by Professor Yanfeng ABSTRACT [在此處輸入英文摘要內(nèi)容 ] KEY WORDS： mathematical contest elementary method modeling method differential equations graph theory linear programming1 目 錄 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽常用建模方法探討 ..............................I 前 言 ..............................................................1 1 初等數(shù)學(xué)建模方法 ..................................................2 走路問題 ....................................................2 銀行復(fù)利問題 ................................................3 2 微分方程建模方法 ..................................................5 微分方程建模原理和方法 ......................................5 人才分配問題模型 ............................................7 3 差分和代數(shù)建模方法 ................................................8 Malthus 人口模型 .............................................8 線性差分方程的解法 ..........................................9 4 數(shù)據(jù)差值與擬合方法 ...............................................10 拉格朗日插值法 .............................................10 最小二乘法 .................................................12 5 線性規(guī)劃建模方法 .................................................13 線性規(guī)劃的一般理論 .........................................14 合理下料問題 ...............................................16 6 圖論建模方法 .....................................................16 圖論的基本概念和簡單的圖論模型 .............................17 最短軌道問題 ...............................................18 求最小生成樹 ...............................................18 模擬退火法原 理 .............................................19 應(yīng)用舉例 ...................................................19 參考文獻 ...........................................................20 附 錄 .............................................................22 致 謝 .............................................................23 1 前 言 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于 1992