【正文】 b)=,1,1,且B與A相似,則2B=,1,1,且B與A相似,則2B==．設3元實二次型f(x1,x2,x3)=XAX經(jīng)正交變換化成的標準形為f=3y1，則矩陣、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）***．設A=233。1235。41235。1231。3247。1231。0111246。248。1234。1,=234。1234。1200249。2x2+2x3=348．求線性方程組237。8232。=231。235。234。21001111012233。=00***02146249。234。234。30249。01………………………2分 1233。0100234。1111249。11010174。235。0100234。234。234。1234。234。11…………………………………………1分233。1234。1234。0234。5174。235。0所以向量組a1,a2,a3的秩為2………………………………………….2分 極大線性無關組為{a1,a2}或{a1,a3}或{a2,a3}……………………….2分233。235。234。3………………………………………………..2分 13249。3234。1234。235。………………………………………………………….1分 2237。0249。02249。得基礎解系為x1=234。x2=x3234。所以原方程組的通解為h=h*+k1x1,其中k1為任意常數(shù)………………….1分2（1）項式AlE=8l172l=（l1)(l9)所以特征值l1=1,l2=9…………………………………………………..1分233。233。10117249。234。1249。233?！?.1分 235。235。,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分233。且有P1AP=234。235。234。1………………………………………2分 0…….1分P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)=r(A)=3，這說明b1,b2,b3線性無關………………………2分所以，b1,b2,b3必是Ax =0的基礎解系……………………………………….1分***10402100021LL3分 2解：D=002=00012100210002***0215=15LL4分LL3分 =0001=0002解：(1)[A233。234。1234。235。1 174。0233。234。1234。235。12234。235。1方程兩邊同時左乘233。234。3100111249。0=4234。2LL3分 B(EBT[A)]TX=E222。234。234。235。=234。235。1247。1233。235。12234。0234。=0234。230。231。2解：令A=231。0660247。0111247。248。231。247。所以向量組的秩為3。231?！?分231。2l03la0a3l=(2l)3laa3l先求A的特征值，AlE=00=(2l)(l6l+9a)=0……（1）……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標準形f＝y(tǒng)1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5。1……1分 不妨設A=1，則B=1則 A+B=A+B，故A+B=0……3分第三篇：線性代數(shù)試卷(網(wǎng)上1)線 性 代 數(shù) 試 卷(A)一、選擇題（每題3分，共15分）230。若矩陣A=231。232。3，則在A的 n個特征值中,必然______________(A)有n個特征值等于1(B)有n1個特征值等于1(C)有1個特征值等于1(D)沒有1個特征值等于1r(A)=r(B),則______________ ,B為n階方陣，且秩相等，既(A)r(A－B)=0(B)r(A+B)=2r(A)(C)r(A,B)=2r(A)(D)r(A,B)163。a0L0246。247。247。B=231。247。00La247。248。101246。247。而n179。230。231。,B=231。231。232。237。247。247。247。4247。247。247。247。1248。2248。1234237。x1x2+3x3x4=b，問a,b各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解,求a使b1,b2,b3,b4為R的基,并求由基a1,a2,a3,a4到b1,b2,b3,b4的過渡矩陣P,其中四、證明題(每題8分,共16分) a1,a2,a3 是歐氏空間V的標準正交基,證明: 13也是V的標準正交基230。230。231。231。011231。231。a1=231。a3=231。0011231。231。231。231。232。 232。 230。230。231。231。111231。231。b1=231。247。00231。231。231。231。232。 232。b1=(2a1+2a2a3)b2=(2a1a2+2a3)b3=(a12a22a3)1313=XAX是n元實二次型,有n維實列向量X1,X2,使X1AX10，TTX2AX20, 證明:存在n維列實向量X0185。3230。0022401121246。231。247。231。5248。5(2分）247。(a1,a2,a3,a4)=231。231。0231。0桫1280100011101161222247。(2分）247。12011422(2分）16驏2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫3247。(2分）247。所以極大無關組是a1,a2,a3(2分）a4=3a1a24a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時間： 8 分鐘]（共10分）230。1+l232。231。l247。l0246。248。1231。230。231。5(2分）174。230。0232。0247。1(2分）247。0246。247。247。1247。248。4231。1202246。4174。231。247。230。所以l=1對應的特征向量為C12(C1185。1247。1i231。230。231。1247。231。232。247。2i+2247。i+3246。0)(3分）231。1232。1)證明：（b1，b，b）＝（a，a，a）22312231。1231。0231246。3247。0（2分）247。1,而A0，∴A=1(2分）E＋A＝AA＋A=AA＋E=AA＋E=E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT第五篇：近年華南理工大學線性代數(shù)試卷及答案以下是四套近年的統(tǒng)考題，僅供參考．試卷（一）：（共20分）*是6階方陣A的伴隨矩陣，且rank(A)=4,則rank(A*)==231。cosasina246。231。0232。0247。247。的逆是．選擇題（共20分）,B是n 階方陣, 下列等式中恒等的表達式是（）(A)(AB)2=AB；(B)(AB)1=A1B1；(C）A+B=|A|+|B|；(D)(AB)*=B*A*.,則A為正交矩陣的充分必要條件不是()(A)A的列向量構成單位正交基；(B)A的行向量構成單位正交基；(C)A1=AT；(D)detA=177。1231。231。1247。248。0232。247。(8分)設n維向量組a1,a2,L,an和向量組b1,b2,L,bn有關系236。LL239。239。1xx2x+3x=234239。231。230。X231。232。231。0247。247。八.(5分)設A是4階方陣,且A的特征根l1,l2,l3,l4互不相同,證明:(1)方陣A有四個線性無關的特征向量.(2)（二）：一．計算下列各題：（每小題6分，共30分）***176, 180230。248。（3）已知向量組a1=(0,2,3)T,a2=(2,3,3)T,a3=(1,2,t)T線性相關,求t.(4)求向量a=(1,2,4)T在基a1=(1,0,1)T,a2=(0,1,1)T,a3=(1,2,1)T下的坐標.(5)設A=231。, =二.(8分)設231。247。120c03b00a321230。2x1x2+3x3x4+x5=4，239。x1+2bx2+3x3=10, 239。(三):一． 填空題（每小題4分，共20分）230。0232。則PTA2006(E+A)P=________2247。n矩陣,r(A)=rn,M={X|AX=0,X206。1 177。2231。0247。x1+x22x3+x4+x5=2239。1 的通解(用基礎解系與特解表示).五.(12分)用正交變換化下列二次型為標準型, 并寫出正交變換矩陣f(x1,x2,x3)=2x1x2+x2+x32x1x3 (6分)設b185。n的第i列乘k加到第j列相當于把A：A, 左乘一個P(i,j(k))。集合nM={X:AX=B,X206。230。230。231。231。在基a1=231。,a3=231。0247。3247。248。248。2．設A=231。2232。n247。248。231。247。（6分）設A是m行n列矩陣, 如果線性方程組AX=b對于任意m維向量b都有解，、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣f(x1,x2,x3)=2x1+4x1x2+3x24x2x3+4x3..222八、（6分）設矩陣A，B都是正定矩陣，證明矩陣A+B也是正定矩陣.