【正文】 , ,1 3 1 1 2 1 11244A A A???? ? ????????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???， 所以 1A??10 0 0 020 3 2 0 00 1 1 0 0150 0 088110 0 044??????????????????． 21． 設(shè)矩陣1 1 0 00 1 0 00 0 1 20 0 2 1A????? ????，利用分塊矩陣計算 4A ． 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊： 121 1 0 00 1 0 0( , )0 0 1 20 0 2 1A diag A A??????????， 27 則 4 4 412( , )A diag A A? ．又 44121 4 4 1 4 0,0 1 4 0 4 1AA? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?，所以 41 4 0 00 1 0 00 0 4 1 4 00 0 4 0 4 1A?????????． 22． 設(shè)矩陣2 5 0 01 3 0 00 0 2 10 0 12 2A????? ????，利用分塊矩陣計算 2020A ． 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊： 122 5 0 01 3 0 0( , )0 0 2 10 0 12 2A diag A A??????????， 則 12 1 ( 8 ) 8A A A? ? ? ? ? ? ?，所以 20202 0 1 2 2 0 1 28AA??． 23． （ 1） 設(shè) OBACO???????，且 m 階矩陣 B 和 n 階矩陣 C 均可逆，試證明 111OCA BO?????? ????． （ 2） 設(shè)矩陣1210 0 00 0 00 0 00 0 0nnaaAaa??????????LLM M M MLL，其中 12, , , na a aL 為非零常數(shù)，求 1A? ． 證 （ 1）因為 1111O B E OO C B B O EC O O EB O O C C????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，所以 A 可逆，且 111OCA BO?????? ????． （ 2）將矩陣進(jìn)行如下分塊： 28 1210 0 00 0 000 0 00 0 0nnaaOBAa COa??????????? ???????? ， 則 111OCA BO?????? ????．又 1 1 1 1 1 11 2 1( , , , ) , ( )nnB d i a g a a a C a? ? ? ? ? ????，所以 1A???????????????????????0000000000001112111nnaaaa????????． 24．利 用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆；如可逆，求其逆矩陣． （ 1） 1 3 03 1 24 3 3????????． 解 ? ?3 1 31 0 05 1 0 1 01 3 0 1 0 01 3 13 1 2 0 1 0 0 1 05 1 0 1 04 3 3 0 0 1 130 0 0 122rAE????????? ? ??? ? ?? ???????． 因為310510150 0 0E??????????????，所以 A 不可逆． （ 2） 1 2 22 1 22 2 1????????． 29 解 ? ?1 2 21 0 09 9 91 2 2 1 0 02 1 22 1 2 0 1 0 0 1 09 9 92 2 1 0 0 1 2 2 10 0 19 9 9rAE????????? ? ??? ?????????， 所以 A 可逆，且11 2 29 9 92 1 29 9 92 2 19 9 9A ????????????????． （ 3）3 2 0 10 2 2 11 2 3 20 1 2 1??????? ? ?????． 解 ? ?3 2 0 1 1 0 0 00 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 00 1 2 1 0 0 0 1AE??????? ? ? ??? 1 0 0 0 1 1 2 40 1 0 0 0 1 0 10 0 1 0 1 1 3 60 0 0 1 2 1 6 1 0r?????? ???? ??????， 所以 A 可逆，且 11 1 2 40 1 0 11 1 3 62 1 6 1 0A ????????? ????????． （ 4）1 1 1 11 1 1 111111111A??????? ??????????． 解 ? ?1 1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 1 0 01 1 1 1 0 0 1 01 1 1 1 0 0 0 1AE??????? ???????? 30 111 0 0 0 0 022110 1 0 0 0 022110 0 1 1 0 0220 0 0 0 0 0 1 1r??????????????， 所以 A 不可逆． 25．利 用矩陣的初等行變換解下列矩陣方程： （ 1） 1 2 3 1 3 03 2 4 1 0 2 72 1 0 1 0 7 8X??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?． 解 ? ?1 2 3 1 3 0 1 0 0 6 4 53 2 4 10 2 7 0 1 0 2 1 22 1 0 10 7 8 0 0 1 3 3 3r EX??? ? ? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， 所以 6 4 52 1 2333X???????． （ 2） 5 3 1 8 3 01 3 2 5 9 05 2 1 2 15 0X?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?． 解 將方程兩邊轉(zhuǎn)置，得 5 1 5 8 5 23 3 2 3 9 1 51 2 1 0 0 0TX? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?．由 ? ?5 1 5 1 0 0 1 0 0 1 4 73 3 2 0 1 0 0 1 0 2 5 81 2 1 0 0 1 0 0 1 3 6 9r TEX?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， 得 1 2 34567 8 9X???????． 26． 求下列矩陣的秩： （ 1）????????????????034123122651 ． 31 解 1 5 6 2 1 5 6 22 1 3 2 0 9 9 21 4 3 0 0 0 0 0rA? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?，所以 ( ) 2RA? ． （ 2） 2 1 3 2 44 2 5 1 72 1 1 8 2??????????． 解 2 1 3 2 4 2 1 3 2 44 2 5 1 7 0 0 1 5 1 ( ) 22 1 1 8 2 0 0 0 0 0rA R A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?． （ 3）??????????????????5341112332122131． 解 1 3 1 2 1 3 1 22 1 2 3 0 7 4 7 ( ) 23 2 1 1 0 0 0 01 4 3 5 0 0 0 0rA R A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?． （ 4）3 1 3 2 55 3 2 3 41 3 5 0 77 5 1 4 1??????? ? ??????． 解 3 1 3 2 5 1 3 5 0 75 3 2 3 4 0 4 9 1 1 3 ( ) 31 3 5 0 7 0 0 0 0 17 5 1 4 1 0 0 0 0 0rA R A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ?． 27． 設(shè)矩陣 1 2 12 5 11 1 6 1 0A????????????，且 3)( ?AR ，求 ? 的值． 解 1 2 1 1 1 6 102 5 1 0 1 5 101 1 6 10 0 0 3 3 ( 3 )rA???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?． 由 3)( ?AR ，得 3?? ． 32 28． 設(shè)矩陣???????????????32321321kkkA ，問 k 取何值時，使得 （ 1） ( ) 1RA? ； （ 2） ( ) 2RA? ； （ 3） 3)( ?AR ． 解 1 2 3 1 2 31 2 3 0 2( 1 ) 3 ( 1 )2 3 0 0 3 ( 1 ) ( 2)rkkA k k kk k k??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，有 當(dāng) 1k? 且 2k?? 時， 3)( ?AR ；當(dāng) 1k? 時， ( ) 1RA? ；當(dāng) 2k?? 時， ( ) 2RA? ． 29． 設(shè) A 是 43? 矩陣，且 A 的秩為 2 ，而 1 0 11 1 11 2 3B??????? ? ???，求 ()RAB ． 解 20B?? ，則 ( ) ( ) 2R AB R A??． 30．設(shè) A 為 n 階矩陣，滿足 2 56A A E O? ? ?，證 明： ( 2 ) ( 3 )R A E R A E n? ? ? ?． 證 由 2 56A A E O? ? ?，得 ( 2 )( 3 )A E A E O? ? ?，所以 ( 2 ) ( 3 )R A E R A E n? ? ? ?. 又 ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( )R A E R A E R A E R A E R E n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ( 2 ) ( 3 )R A E R A E n? ? ? ?. 31．設(shè)三階矩陣 1 1 02 1 21 2 2A????? ? ? ?????，試求 ()RA與 *()RA ． 解 1 1 0 1 1 02 1 2 0 1 2 ( ) 21 2 2 0 0 0rA R A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?． 因為 *( ) 2 3 1 ( ) 1R A R A? ? ? ? ?． 32．求解下列線性方程組： （ 1） 1 2 31 2 31 2 34 0,2 9 6 0,3 5 2 0 .x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ??