【正文】 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1x x xx x xDxx x xx? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 4321 0 01 0 0 ( 1 )1 0 01 0 0 0xxx x x x xx?? ? ? ? ? ? ?4x ． 4．計算 n 階行列式1 2 32 1 2 13 2 1 21 2 1nnnD nn n n?? ???LLLL L L L LL． 解 11221121 2 3 1 1 3 4 11 1 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 2 0 0 01 1 1 1 1 1 2 2 2 0nnnnjrrrrrrn ccjnn n n nD???????????? ? ? ???? ? ??LLLLLM M M M M M M M M MLL 1 1 211 0 0 01 2 0 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 21 2 2 01 2 2 2n n nnnn? ? ??? ? ? ? ? ?． 5．計算五階行列式222522 0 0 01 2 0 00 1 2 00 0 1 20 0 0 1 2aaaaD aaa aa?． 解 方法一：一般地，對于此類 n 階行列式，將其按第一行展開，得 2122n n nD D D??????， 則 21 1 2 2 3( ) ( )n n n n n nD D D D D D? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 15 2 2 2 221( ) [ (2 ) 2 ]n n nDD? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?， 有 121 2 2( ) 2n n n nn n n nD D D D? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? 111 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 )n n n n nD n n n? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 55 6Da? ． 方法二：由習題二（ A）的第 5題，得 當 ??? 時，有 11l i m ( 1 ) l i m ( 1 )nn nnnD n n? ? ? ??? ?????????? ? ? ? ??， 所以 55 6Da? ． 6．計算 n 階行列式012210 0 01 0 00 1 00000 0 0 1nnnxaxaxaDxaxa???????LLLM M M M MLL． 解 將行列式按第一行展開，得 10nnD xD a???，則 22 1 0 2 1 0()n n nD x x D a a x D a x a??? ? ? ? ? ? 121 2 1 0nnnx D a x a x a???? ? ? ? ? ? 121 2 1 0()nnnnx x a a x a x a????? ? ? ? ? ? 11 1 0nnnx a x a x a??? ? ? ? ?． 7．已知 132 274 500 3874都能被 13 整除，不計算行列式的值，證明4783500534726231能被 13 整除． 證 4142431000100101 3 2 6 1 3 2 1 3 2 62 7 4 3 2 7 4 2 7 4 35 0 0 5 5 0 0 5 0 0 53 8 7 4 3 8 7 3 8 7 4cccccc????． 由已知，得后行列式的第 4 列具有公因子 13，所以原行列式能被 13 整除． 16 8． 證明 : 2 2 2 24 4 4 41 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d a b a c a d b c b d c d a b c da b c da b c d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 證 構(gòu)造 5 階行列式 2 2 2 2 253 3 3 3 34 4 4 4 41 1 1 1 1a b c d xD a b c d xa b c d xa b c d x?， 則 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． （ 1） 將 5D 按第 5列展開，得 435 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 4 4 4 41 1 1 1 1 1 1 1()a b c d a b c dD x xa b c d a b c da b c d a b c d? ? ? ?． （ 2） 比較（ 1）與（ 2）右邊 3x 的系數(shù)，知結(jié)論成立． 9． 證明：當 ba 4)1( 2 ?? 時，齊次線性方程組????????????????????????0)(,03,02,04321432143214321xbaxaxxxxxxxxxxaxxxx有非零解． 證 方程組的系數(shù)行列式 21 1 11 2 1 1 ( 1 ) 41 1 3 111aD a ba a b? ? ? ???， 當 0D? ，即 ba 4)1( 2 ?? 時，方程組有非零解． 10．應(yīng)用題： （ 1） 1；（ 2） 01???yx ． 習 題 三 （ A） 17 1． 下列矩陣中，哪些是對角矩陣、三角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣． 1203A ???????，1 0 0 00 1 0 00 0 1 0B???????， 1 0 04 2 0053C???????， 3 0 00 3 00 0 3D???????． 解 D 是 數(shù)量矩陣，也是對角矩陣； A 、 C 是三角矩陣； B 都不是． 2． 設(shè)矩陣 1 1 2 1 2 31 1 1 , 1 2 22 1 1 0 3 1AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?． （ 1）計算 2AB? ； （ 2） 若 X 滿足 32A X B?? ，求 X ． 解 （ 1） 3 4 72 1 0 04 1 1AB????????； （ 2） 1 1 02 3 5 7 76 9 5X B A?????? ? ? ? ?????． 3． 設(shè)有 3階方陣 1 1 12 2 23 3 3a c dA a c da c d???????， 1 1 12 2 23 3 3b c dB b c db c d???????，且 1A? ， 2?B ，求 2AB? ． 解 1 1 1 12 2 2 23 3 3 32 3 32 2 3 32 3 3a b c dA B a b c da b c d?? ? ?? 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 23 3 3 3 3 39( 2 ) 9( 2 ) 45a c d b c da c d b c d A Ba c d b c d??? ? ? ? ? ? ???． 4． 計算下列矩陣的乘積： （ 1） ???????? ?????????? ?? 16 6964 32． 解 原式 090 18?????????． （ 2） 1 3 1 10 4 2 27 0 1 1?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?． 18 解 原式 866???????????． （ 3） ? ? 13 2 1 23??????????． 解 原式 10? ． （ 4） ? ?12 3 2 13??????????． 解 原式 3 2 16429 6 3???????． （ 5）1 00200 20 1 0 0 1 00 0 3 1003????????????????????． 解 原式 3E? ． （ 6） ? ? 11 12 13 11 2 3 12 22 23 213 23 33 3a a a xx x x a a a xa a a x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?． 解 原式 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 32 2 2a x a x a x a x x a x x a x x? ? ? ? ? ?． 5． 已知矩陣 1 0 30 2 10 0 1A???????， 1 0 00 2 1301B???????．求： （ 1） AB 與 BA ； （ 2） ))(( BABA ?? 與 22 BA? . 解 （ 1） 10 0 33 4 33 0 1AB???????， 1 0 30 4 33 0 10BA???????； 19 （ 2） 906( ) ( ) 6 0 06 0 9A B A B?????? ? ? ????， 22 0 0 63 0 0600AB????? ????． 6． 求與矩陣 1 ( 0)01aAa????????可交換的所有矩陣． 解 設(shè)與 A 可交換的矩陣 1234xxB xx???????．由 AB BA? ，得 1 3 1 142 4 1 2 2 23 3 34 3 4 4 4, , 0 ,.x a x x xxx a x a x x x xx x xx a x x x x?? ?? ?? ?? ? ? ????????? ? ??? 令 24,x c x b??，得0bcB b???????，其中 cb, 為任意常數(shù)． 7．利用歸納法， 計算下列矩陣的 k 次冪，其中 k 為正整數(shù)： （ 1） cos sinsin cos?????????． 解 令 co s sinsin co sA ?????? ????，有 23c o s 2 s i n 2 c o s 3 s i n 3,s i n 2 c o s 2 s i n 3 c o s 3AA? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 則 c o s s ins in c o sk kkA ?????? ????． （ 2） 1201??????． 解 令 1201A ???????，有 2 3 41 4 1 6 1 8, , ,0 1 0 1 0 1A A A? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，則 1201k kA ???????． （ 3） 1 1 00 1 10 0 1??????． 20 解 令 1 1 00 1 10 0 1A???????，有 2 3 4 51 2 1 1 3 3 1 4 6 1 5 100 1 2 , 0 1 3 , 0 1 4 , 0 1 5 ,0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1A A A A? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 則21010 0 1kkkCAk???????． 8． 已知矩陣 ? ?1 2 3? ? ， 11123? ???????，令 ??TA? ，求 nA ，其中 n 為正整數(shù)． 解 1 1 1( ) ( ) ( ) 3 ( )n T T n T n T n TA ? ? ? ? ? ? ? ?