【正文】 1. 求微分方程y162。242。0時, 有可分離變量的微分方程:如果一個一階微分方程能寫成g(y)dy=f(x)dx(或?qū)懗蓎162。=0,是. 222。=(1+x)(1+y2).(5)y162。第二步兩端積分:g(y)dy=f(x)dx, 設(shè)積分后得G(y)=F(x)+C。y242。eC1仍是任意常數(shù), 把它記作C, 便得所給方程的通解y=Cex.例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比. 已知t=0時鈾的含量為M0, 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律.解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數(shù)2dM.dtdM=lM,dtdM0.dt由于鈾的衰變速度與其含量成正比, 故得微分方程其中l(wèi)(l0)是常數(shù), l前的曲面號表示當t增加時M單調(diào)減少. 即由題意, 初始條件為 M|t=0=M0.將方程分離變量得兩邊積分, 得dM=ldt.MdM=(l)dt,242。m, 兩邊積分, 得ln(mgkv)=1kt+C,m1kC1ktmgem+Ce即v=(C=),kkmg將初始條件v|t=0=0代入通解得C=,kktmg(1em).于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為v=kdy=1+x+y2+xy2的通解.例4 求微分方程dx解 方程可化為dy=(1+x)(1+y2),dx分離變量得1dy=(1+x)dx,1+y21dy=(1+x)dx, 即1x2+x+C.arctany=242。yyx==222。dxxydxyx22(4)(2x+y4)dx+(x+y1)dy=(5)(2xshdy2x+y4=.dxx+y1yyy+3ych)dx3xchdy=0是齊次方程.xxxyy2xsh+3ychdyxx222。x. 兩端積分, 得高等數(shù)學教案求出積分后, 再用y代替u, 便得所給齊次方程的通解.xdydy=xy.dxdx例1 解方程y2+x2解原方程可寫成y2()dyy==x,2ydxxyx1x2因此原方程是齊次方程. 令y=ux, 于是原方程變?yōu)?duu=u+x,dxu1y=u, 則 xdy=u+xdu,dxdx即xdu=u.dxu1分離變量, 得(1)du=1udx.x兩邊積分, 得uln|u|+C=ln|x|,或?qū)懗蒷n|xu|=u+C.以y代上式中的u, 便得所給方程的通解 xln|y|=y+C.x例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡, 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L: y=y(x)(y0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點. 在L上任取一點M(x, y), 作L的切線交x軸于A. 點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線. 由光學及幾何原理可以證明OA=OM,因為OA=APOP=PMcotaOP=yx,y162。v+v2+1=y22yv=1,C2C以yv=x代入上式, 得y2=2C(x+C).2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線, 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為y2+z2=2C(x+C). 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程.例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O, 設(shè)鴨子的游速為b(ba), 且鴨子游動方向始終朝著點O, 已知OA=h, 求鴨子游過的跡線的方程.解 取O為坐標原點, 河岸朝順水方向為x軸, y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時刻t鴨子位于點P(x, y), 則鴨子運動速度v=(vx, vy)=(dx, dy), 故有dx=vx.dyvydtdt高等數(shù)學教案另一方面, v=a+b=(a, 0)+b(x, y), v=(abx, by).x2+y2x2+y2x2+y2x2+y2因此dx=vx=a(x)2+1+x, 即dx=a(x)2+1+x.dybyydyvybyydx=a(x)2+1+x.dybyy問題歸結(jié)為解齊次方程令yx=u, 即x=yu, 得 ydu=au2+1,dyb分離變量, 得du=ady,u2+1by兩邊積分, 得 arshu=(lny+lnC), bax1[(Cy)1b(Cy)1+b].將u=代入上式并整理, 得x=y2C以x|y=h=0代入上式, 得C=aa1, 故鴨子游過的軌跡方程為haay1by1+bh()], 0163。x=1[(Cy)a(Cy)a] yy2bbbbya222。1y=0是齊次線性方程. dxdxx2如果Q(x)186。=3x2+5x , 是非齊次線性方程.(3)y162。242。=Q(x),u162。P(x)dx,u(x)=Q(x)e242。dx+C], 242。dx. 242。P(t)dtdtdtEP(t)dt[242。msinw te242。y=xy5, 是伯努利方程. dxdxxy1(3)y162。7. 5可降階的高階微分方程高等數(shù)學教案一、y(n)=f(x)型的微分方程解法: 積分n 次y(n1)=f(x)dx+C1, 242。162。=e2xsinx+C1,y162。=e2x+cosx+2C1x+C2,y=e2x+sinx+C1x2+C2x+C3,這就是所給方程的通解.例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿Ox軸作直線運動. 設(shè)力F僅是時間t的函數(shù):F=F(t). 在開始時刻t=0時F(0)=F0, 隨著時間t的增大, 此力F均勻地減小, 直到t=T時, F(T)=0. 如果開始時質(zhì)點位于原點, 且初速度為零, 求這質(zhì)點的運動規(guī)律.解 設(shè)x=x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點運動的微分方程為m12141812121418d2x=F(t).2dt由題設(shè), 力F(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時, F(0)=F0, 所以F(t)=F0kt。162。=f(x, p).設(shè)p162。 滿足初始條件y|x=0=1, y162。)型的. 設(shè)y162。eC).由條件y162。=f(y, y162。=原方程化為 dpdpdydp==p.dxdydxdydp=f(y,p).dydp=f(y,p)的通解為y162。y162。=p代入方程, 得ypdp2p=0.dy在y185。c).再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為ln|y|=Cx+lnc1,或y=C1eCx(C1=177。162。162。+P(x)y162。,高等數(shù)學教案[C1y1+C2y2]162。+C2 y2162。+P(x)y162。+Q(x)y1=0及y2162。162。+P(x)y1162。+Q(x)y2]=0+0=0.這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y162。I 時有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+ + knyn(x)186。+P(x)y162。162。0,只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(165。+y=0的線性無關(guān)解.高等數(shù)學教案方程的通解為y=C1cos x+C2sin x.例4 驗證y1=x與y2=ex是方程(x1)y162。162。xy2162。162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f(x)的一個特解, Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解, 那么y=Y(x)+y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解.證明提示: [Y(x)+y*(x)]162。162。+P(x)y* 162。162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f1(x)與y162。162。+P(x)y1*162。+Q(x)y2*]=f1(x)+f2(x).作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）167。+qy=0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù).如果yy2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我們看看,能否適當選取r, 使y=erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程y162。162。162。162。2y162。+y=0滿足初始條件y|x=0=y162。162。, D2y=y162。162。k重實根r對應(yīng)于k項: erx(C1+C2x+ +Ck xk1)。162。2i.因此所給微分方程的通解為高等數(shù)學教案y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解, 其中b0.解這里的特征方程為r4+b 4=0.它的根為r1,2=b2b(1177。162。(x)+(2l+p)Q162。162。(x)+(2l+p)Q162。+qy =f(x)有形如y*=xk Qm(x)elx 的特解, 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.例1 求微分方程y162。162。3b0=3, 3b0=3, 2b03b1=1. 2b3b=1238。+6y=xe2x的通解.解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x, l=2).與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y162。1313236。162。+6y*=[(b0x2+b1x)e2x]162。162。+py162。+qy=P(x)e(liw)的特解,其中k按l177。+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解為y*=xkQm(x)e(l+iw)x+xkQm(x)e(liw)x=xkelx[Qm(x)(coswx+isinwx)+Qm(x)(coswxisinwx)=xk elx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx].綜上所述, 我們有如下結(jié)論:如果f(x)=elx [Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx], 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 12121212高等數(shù)學教案y162。162。=acos2x2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,=(2cx+a+2d)cos2x+(2ax2b+c)sin2x,y*162。+ y*=(3ax3b+4c)cos2x+(3cx4a3d)sin2x. 134.91349高等數(shù)學教案236。238。2n1 An(n206。174。）。對于nN的一切xn，恒有xnae成立，則limxn=，就稱是發(fā)散的。*4利用定義不能直接求極限。n1 證：e0，要使1+1+n1+ne1111=取N=[1],則當nN時,有1+e, 1+n1+ne1 ∴l(xiāng)im(1+)=1n174。 1)給定e02)要使xnae,解出N=N(e)3)取N，即N$.4)當nN時，有xnae5)下結(jié)論。165。165。n1=0。（2）收斂數(shù)列的有界性定理2 如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。如xn=(1)n+1,即1,1,1,1,L,(1)n+1,L∴數(shù)列有界是收斂的必要條件，非充分條件。*小結(jié)：本節(jié)介紹了數(shù)列極限的定義，理解利用定義證明數(shù)列的極限，知道收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。教學難點 有界性，初等函數(shù)的判斷。為學生進一步學習數(shù)學打下一定的基礎(chǔ)，還要為學習專業(yè)的后繼課程準備必要的數(shù)學基礎(chǔ)。A一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。B且A185。B ：A200。B ：A199。A且x207。B=B199。(B200。(B199。C)200。C=(A200。B)c=AcIBc(A199。B}區(qū)間和鄰域開區(qū)間(a,b)閉區(qū)間[a,b] 半開半閉區(qū)間(a,b]o[a,b)有限、無限區(qū)間鄰域：U(a)U(a,d)={xadpxpa+d}a 鄰域的中心d鄰域的半徑去心鄰域U(a,d)左、右鄰域二、映射定義設(shè)X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f：X174。D自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用f、g、j函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、：１)ｙ＝２2)ｙ＝x236。1xp0238。1+x0163。2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在xx2點比較函數(shù)值f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(x)關(guān)系決定)圖形特點(關(guān)于原點、Y軸對稱)4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x+l)=f(x))反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)：函數(shù)f:D174。(注意：構(gòu)成條件)函數(shù)的運算和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算)初等函數(shù)：1)冪函數(shù)：y=x2)指數(shù)函數(shù)：y=a3)對數(shù)函數(shù) y=loga(x)4)三角函數(shù)y=sin(x),y5)反三角函數(shù)ax=cos(x),y=tan(x),y=cot(x)y=arcsin(x)，y=arccox)s(y=arctan(x)y=arccot(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)6)雙曲函數(shù)ex+exexex==shxchx22shxexexthx==xchxe+ex注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。這個游戲好玩嗎？其實，這個軟件的編程并不難，只要了解程序的組成，我們也可以做出來。變量的定義：是指沒有固定的值，可以改變的數(shù)，它可以保存供后續(xù)腳本使用的信息。學生：以小組為單位，探究實現(xiàn)記分功能的方法。我們看看效果。比一比，看誰的點數(shù)多。學生的動作是：讓rand1變個數(shù)，然后發(fā)出擲骰子的命令。（教師巡視指導，學生探究