【正文】 32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復(fù)運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a2k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+1證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。s2mθ例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。當(dāng)求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。1+a2b25179。2（++)+3 bcacba,y,z，求證:x2+y2+z2+xy+xz+yz179。(a+b)2416(a+b)2,b,c，試求最優(yōu)常數(shù)k，使 111ab+bc+ac(a+b+c)(++)+k2179。19)=(a+b)24,b,c滿足min{a,b,c}179。0a+asb179。acbcb179。且滿足（1）若Sa+a2或a179。0性質(zhì)五：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。b179。+，Sa,Sb,Sc206。c，則Sa,Sc179。且滿足若a163。b179。且滿足（1）Sa+Sb,Sb+Sc,Sc+Sa179。第一篇：sos方法證明不等式數(shù)學(xué)競賽講座SOS方法證明不等式（sum of squares）S=AB=Sa(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。c或a179。0性質(zhì)三：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。b179。0性質(zhì)四：若a,b,c206。c或a179。0，那么S=AB=S22a(bc)+Sb(ca)+S2c(ab)179。0性質(zhì)六：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。0；ab179。0 那么sc+a+1ssa+1ab179。ab）(229。)=+229。 b2+c2+ka25abcacb（3++）179。(2+2+2)2 22abca+b+cacca+b+c9已知正數(shù)a,b,c且ab+bc+ac=1 求證：229?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。s2m2θ+cos2θcosθ例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+121倍數(shù)添項若不等式中含有奇數(shù)項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。2ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因為x,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。證明。0\當(dāng)x206。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。an都是正實數(shù),則：111aa+12+188。+ann22an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.） 已知ab,求證a+證：a+1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥33(ab)b=3(ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要結(jié)論,使解題簡捷①對實數(shù)a,b,c,d有a2+b2≥2ab=ab+ba。1113++abc1a1b1c所以 a+b+c179。6證：由4a+19163。0（8）分解為幾個不等式的和或積[2] 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc證： Qb2+c2179。Qa,b,c不全相等,所以上述三式中,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc（注：這里把不等式的各項分別考慮,然后利用不等式的性質(zhì)和推論,證得所求不等式.） 設(shè)a是銳角,求證：(1+11)(1+) 證： Qa是銳角,\0sina1,0cosa1,0sin2a163。g(x)x174。 2221+x11+x21+x310 證：因為12111911x=時有163。3= 222101+x11+x21+x310故（1）換元法這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代第8頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計) 已知x2+y2163。1但由01a)a≤230。248。180。180。180。188。180。180。R，x+1當(dāng)y185。1，可設(shè)x=rcosq,y=rsinq(0163。n163。252.證法一：(比較法)Qa,b206。252220。220。0239。230。.所以(a+2)+(b+2)179。2234。235。＝右：根據(jù)不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式230。247。5246。t+247。2248。當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設(shè)y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3a)2=2a22a+13，所以2a22a+13y=0，因為a206。252.252.下面，：設(shè)A179。N+.證明：由二項式定理可知n(A+B)=2