【正文】 第一篇：sos方法證明不等式數(shù)學(xué)競賽講座SOS方法證明不等式（sum of squares）S=AB=Sa(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。0性質(zhì)一：若Sa,Sb,Sc179。0，則S=AB=Sa(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。且滿足（1）Sa+Sb,Sb+Sc,Sc+Sa179。0，（2）若a163。b163。c或a179。b179。c，則Sb179。0, 那么S=AB=S222a(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。0性質(zhì)三：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。且滿足若a163。b163。c或a179。b179。c，則Sa,Sc179。0且Sa+2Sb,Sc+2Sb179。0，那么 S=AB=Sa(bc)2+S2b(ca)+Sc(ab)2179。0性質(zhì)四：若a,b,c206。+，Sa,Sb,Sc206。且滿足若a163。b163。c或a179。b179。c，則S2a,Sb179。0且bSc+c2Sb179。0，那么S=AB=S22a(bc)+Sb(ca)+S2c(ab)179。0性質(zhì)五：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。且滿足（1）Sa+Sb,Sb+Sc,Sc+Sa0，（2）SaSb+SbSc+ScSa179。0那么 S=AB=S222a(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。0性質(zhì)六：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。且滿足（1）若Sa+a2或a179。b179。c（2）存在a0,使得若S22a+aSc+(a+1)Sb179。0；ab179。acbcb179。aab（3）sc+sb179。0或sa+sb179。0 那么sc+a+1ssa+1ab179。0a+asb179。0Sa(bc)2+Sb(ca)2+Sc(ba)2179。0S=AB=(ab)2+(ac)2+(cb)2(1)a+b+cabbcac=2(2a+b)(ab)2+(2b+c)(cb)2+(2c+a)(ac)2333222(2)a+b+cabbcac=3 222(ab)+(ac)+(cb)(3)a3+b3+c33abc=(a+b+c)2(ab)3+(ac)3+(cb)3222222(4)ab+bc+caabbcca=3222(5)a4+b4+c4a3bb3cc3a=(3a2+2ab+b2)(ab)2+(3b2+2cb+c2)(cb)2+(3c2+2ac+a2)(ac)2a+b+c(6)a3b+b3c+c3ab3ac3ba3c=3[(ab)3+(ac)3+(cb)3]1(7)a4+b4+c4a2b2a2c2c2b2=[(ab)2(a+b)2+(cb)2(c+b)2+(ac)2(a+c)2]2三．例題,b,c，求證：（229。ab）(229。19)=(a+b)24,b,c滿足min{a,b,c}179。max{a,b,c}4 2191(ab)求證（229。ab）(229。)=+229。(a+b)2416(a+b)2,b,c，試求最優(yōu)常數(shù)k，使 111ab+bc+ac(a+b+c)(++)+k2179。9+k22abca+b+c,b,c，試求最優(yōu)常數(shù)k，使得229。6．已知正數(shù)a,b,c為三角形三邊，求證 bc3163。 b2+c2+ka25abcacb（3++）179。2（++)+3 bcacba,y,z，求證:x2+y2+z2+xy+xz+yz179。229。（,b,c，且abc=1，求證：11131112++179。(2+2+2)2 22abca+b+cacca+b+c9已知正數(shù)a,b,c且ab+bc+ac=1 求證：229。1+a2b25179。(a+b)22第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強