【正文】 1(+)2ab1a+b1ab，y=，z=，則A、x≥yz B、x≥zy C、y≥xz D、yz≥x設a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3abb B、abab+ab C、（二）填空題設a0，b0，a≠b，則aabb與abba的大小關系是__________?！?f(1)=a+b+c，f(1)=ab+c ∴ b=12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)|+|f(1)|]≤12(1+1)≤1 ∴ |b|=（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調性求g(x)=ax+b的值域。?177?！纠?】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：（1）|c|≤1，|b|≤1；（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。在ab0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx+3+8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)，采用常規(guī)方法難以著手。239。(a+b)4a即要證237。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。換元有下列三種途徑：途徑1：用均值換元法消元： 令 x=2a2+m，y=aa22m22則 x+y=(+m)+(m)=2m+222aa22≥a22途徑2：代入消元法： y=ax，0a2)2+a22≥a22中天教育咨詢電話：04768705333第2頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考途徑3：三角換元法消元：令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]2p2013年數(shù)學VIP講義則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ]=a[12(sin2θ)]=a(12212212sin2θ)≥a22注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y?！纠?】 x，y為正實數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥2a22。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達到目的。左=12(2a4+2b224+2c)=22412[(a24+b)+(b22244+c)+(c2244+a)]24≥12(2ab+2bc+2ca)=ab+bc+ca2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。bca=bc=ab+(ab)(ac)a0bcacaAB=a+d(b+c)=a+ =ab c(ab)a【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。因A、B的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。【例2】 已知0【例3】 設A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。由ad=bc得：d=bca1+ab+bc+caa+b+c+abc≥1。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。（2）同學們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。a2b+c+b+c4≥a，b2a+c+a+c4≥b，c2a+b+a+b4≥a 相向相加后即可。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉化為一元函數(shù)，再用單調性求解。12所證不等式的形式較復雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。239。4b(a+b)236。2ba+b238。由此也說明，實數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎。a2177。從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=1時，|f(1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(1)化作已知量，去表示待求量。中天教育咨詢電話：04768705333第4頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考2013年數(shù)學VIP講義設a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12+1b1a≤+141b B、≤1 D、141a≤+1a+1b≤≤1b≥1已知a，b，c均大于1，且logacn1若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n2）的大小關系是________________。1a)(b+1b)2541a+1b+1ca82013年數(shù)學VIP講義12(a+b)2+14(a+b)≥aa+ba。ab=0a=b。注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。2ab，a+b179?；静襟E：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法單純地應用分析法證題并不多見，常常是在分析的過程中，又綜合條件、定理、常識等因素進行探索，把分析與綜合結合起來，形成分析綜合法。如： 已知x2+y2=a2，可設x=acosq,y=asinq； 已知x2+y2163。其它方法 最值法：恒成立恒成立構造法：通過構造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；第三篇：不等式證明167。ab，：（1）ab219。ab,c0222。ac（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）ab,cd222。a(a0)219。x163。a2219。|a177。+b+c32．a,b,c0，求證：abc179。2c2a2bbccaab+4．設a1,a2,L,an206。0,求證：a+b179。2bc,c2+a2179。（2）基本不等式有各種變式如(，≡8(mod37),∴888833332222≡8(mod37).222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|3+77773333≡(8+7)(mod37),而:原方程變形為3x(3y+7)x+3y7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(nm).∵l為質數(shù),且n+m＞nm＞0,∴n+m=l,nm==n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)≠q,不妨設p＞(4mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程例題答案：：Qab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc=a(b2+c22bc)+b(a2+c22ac)+c(a2+b22ab)=a(bc)2+b(ca)2+c(ab)2179。2ab，2b2+c2179。c,則ab,bc,ac206。因aabb179。aabbcc，4式相乘即得證.（4）設a179。lgb179。algc+blgb+，一般地有排序不等式（排序原理）： 設有兩個有序數(shù)組a1163。b2163。a1bn+a1bn1+L+anb1（逆序和）其中j1,j2,L,jn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=（其證明略），,b,c206。ab+bc+ca。a2+b2+c2：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，179。a2+b2+c2（逆序和）兩式相加再除以2，179。c及，222不妨設a179。c,：不等式右邊各項ai1=a；可理解為兩數(shù)之積，,b2,L,bn是a1,a2,L,an的重新排列，滿足b1b2Lbn，又1111L.,b2,Lbn是互不相同的正整數(shù)，++L+179。+2，原式得證.++L+179。abc+bac+cab=：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．+b2179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。(a+b)：（1）+x2+x3=1,xi179。Gn163。n,即1179。(1+n)nn111(1+1)+(+1)+(+1)+L+(+1)123n 219。n1123n n1nn112n1++L+123n（**）219。16=.144t2顯然當且僅當t=0，即a=b=證法三：(比較法）12時，等號成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214a+1b+1254ab+33ab+8(14ab)(8ab)(a+)(b+)===179。 253。254。139239。222。4239。1,\4sin2a179。179。239。(a－d)2＜(b－c)2219。(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)3=3(a+b+c)+63=3∴3a+2+3b+2+3c+2≤33＜6 ∴：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得：2y2－2(1－x)y+2x2－2x+1212，得x2+y2+(1－x－y)2=12，整理成關于y的一元二=0，∵y∈R，故Δ≥012∴4(1－x)2－42(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤23，∴x∈［0，23］］132+x′，y=2+y′，z=13132+z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′)+x′2+y′2+z′2+222(x′+y′+z′)13+x′+y′+z′≥2+x′+132(y162。2(xy+yz+zx)(2)證明:所證不等式等介于xyz(222y+zx+z+xy+x+yz)179。(x+y+z)(yz+yz22222222+zx+zx222+xy+xy)2222179。yz(yz)+zx(zx)+xy(xy)+x(yz)+y(zx)+z(xy)179。n，m2C2n＞n2C2m，?，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm+1n＞0，?，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+?+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+?+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因為2ab≤a+b≤2，所以ab≤：設a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則a+