構造函數證明數列不等式答案-預覽頁
【正文】 )232。111247。23(n+1)248。247。+++L+222231。231。111247。(n+1)n232。246。1246。231。=n+12n+22(n+1)(n+2)232。所以ln2+ln3+ln4+L+1(n+1)ln(n+1)n2(n+1)(n+2)(n206。1=ln4231。1246。2(n+1)232。f(a+b)f(b).解析:設函數g(x)=f(x)+f(kx),Qf(x)=xlnx,(k0)\g(x)=xlnx+(kx)ln(kx),\0x162?！嗪瘮礸(x)在[,k）上單調遞增，在(0,kk2]∴g(x)的最小值為g()，即總有g(x)179。f(a+b)(a+b)ln2.\f(a)+(a+b)ln2179。2)a2(n+1)23n::(1+練習：1求證:(1+1180。N*,n1)345n+14112)a+.a+n2nf39。(x)=0,b0,證明:f(a)+(a+b)ln2179。0成立，并指出等號何時成立。當⊿＝0時，b+c=0，此時，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時，不等式取等號。0,a+b+c=222解析：237。b163。234。4。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。42﹤,b,c,d206。若采用函數思想，構造出與所證不等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證之，思路則更為清新。利用函數的值域例若x為任意實數，求證：—x11≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。例求證：必存在常數a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。故必存在常數a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。一、結合勘根定理，利用判別式“△”的特點構造函數證明不等式例1若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c0，a3b+(x),設f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)，由f(2)=4a+6b+c0，f(1)=a3b+cf(x)+3bx+c=0可知△=(3b)24ac0,所以可得：9b2，抓住問題本質，通過構造二次函數,將所要證明的結論轉化成判別式“△”的問題,再結合勘根定理和二次函數知識，、結合構造函數的單調性證明不等式例2(2005年人教A版《選修45不等式選講》例題改編)已知a,b,c是實數，求證：|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.證明構造函數f(x)，設f(x)=x1+x(x≥0).由于f′(x)=1(1+x)2,所以結合導數知識可知f(x)在[0，+∞)上是增函數.∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,∴f(|a+b+c|)≤f(|a|+|b|+|c|),即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.、結合構造函數在某個區(qū)間的最值證明不等式例3(第36屆IMO試題)設a,b,c為正實數，且滿足abc=1,求證:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥，設f(a,b,c)=1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b),顯然a=b=c=1時，f(a,b,c)=32≥=1，a,b,c為正實數，則a,b,c中必有一個不大于1，不妨設0f(a,b,c)f(a,1,c)=(1b)1a3(b+c)(1+c)+1+b+b2b3(a+c)+1c3(a+b)(1+a)≥0,∴f(a,b,c)≥f(a,1,c)，因此要證f(a,b,c)≥32，只要證f(a,1,c)≥32，此時ac=1，∴a,1,c成等比數列，令a=q1，c=q(q0).f(a,1,c)=q31+q+qq2+1+1q2(1+q)=q5+1q2(1+q)+qq2+1=(q4+1)(q3+q)+q2q2+qq2+1=(q2+q2)(q+q1)+1q+q1+1=t2t+1t1.(其中t=q+q1，且t≥2).由導數知識(方法同例例3)可知函數f(a,1,c)=t2t+1t1(t≥2)是增函數，當且僅當t=2q=1a=c=1時，(f(a,1,c))min=222+121=32成立，∴f(a,1,c)≥(a,b,c)≥f(a,1,c)≥。0成立，并指出等號何時成立。當⊿＝0時，b+c=0，此時，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時，不等式取等號。0,a+b+c=222解析：237。b163。234。4。R+且a+b+c+d=1，求證：a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。42﹤,b,c,d206。若采用函數思想，構造出與所證不等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證之，思路則更為清新。利用函數的值域例若x為任意實數，求證：—1x1≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。例求證：必存在常數a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。故必存在常數a，使原不等式對大于1的任意x、y恒
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