【正文】 ＞ 0，且 a+b+c=1，求 2a2+3b2+4c2的最小值及此時 a， b，c 的值． 2017 年河南省洛陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 3 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =|1﹣ i|+i（ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 為（ ） A． ﹣ i B． +i C． 1 D．﹣ 1﹣ 2i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】 利用復(fù)數(shù)的模的計算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出． 【解答】 解：復(fù)數(shù) z 滿足 =|1﹣ i|+i= +i，則復(fù)數(shù) z= ﹣ i． 故選： A． 【點評】 本題考查了復(fù)數(shù)的模的計算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 2．已知集合 A={﹣ 1， 1， 3}， B={1， a2﹣ 2a}， B? A，則實數(shù) a 的不同取值個數(shù)為（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【考點】 集 合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；交集及其運算． 【分析】 根據(jù)題意，分析可得：若 B? A，必有 a2﹣ 2a=﹣ 1 或 a2﹣ 2a=3，分 2 種情況討論可得答案． 【解答】 解： ∵ B? A， ∴ a2﹣ 2a=﹣ 1 或 a2﹣ 2a=3． ① 由 a2﹣ 2a=﹣ 1 得 a2﹣ 2a+1=0，解得 a=1． 當(dāng) a=1 時， B={1，﹣ 1}，滿足 B? A． ② 由 a2﹣ 2a=3 得 a2﹣ 2a﹣ 3=0，解得 a=﹣ 1 或 3， 當(dāng) a=﹣ 1 時， B={1， 3}，滿足 B? A， 當(dāng) a=3 時， B={1， 3}，滿足 B? A． 綜上，若 B? A，則 a=177。 b= （ sin56176。 2017 年河南省洛陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 3 月份） 一、選擇題（本題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =|1﹣ i|+i（ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 為（ ） A． ﹣ i B． +i C． 1 D．﹣ 1﹣ 2i 2．已知集合 A={﹣ 1， 1， 3}， B={1， a2﹣ 2a}， B? A，則實數(shù) a 的不同取值個數(shù)為（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 3．已知 ， 是非零向量且滿足（ ﹣ 2 ） ⊥ ，（ ﹣ 2 ） ⊥ ，則 與 的夾角是（ ） A． B． C． D． 4．已知等差數(shù)列 {an}的公差和首項都不等于 0，且 a2， a4， a8 成等比數(shù)列，則=（ ） A． 2 B． 3 C． 5 D． 7 5．設(shè) a=cos50176。cos37176。PA=PD， M 為 CD 的中點，平面 PAD⊥ 平面 ABCD． （ 1）求證： BD⊥ PM； （ 2）若 ∠ APD=90176。cos127176。﹣ cos56176。sin127176。=sin13， b= （ sin56176。=sin（ 56176。﹣ sin239176。＞ sin12176。 PA= ，求點 A 到平面 PBM 的距離． 【考點】 點、線、面間的距離計算；平面與平面垂直的性質(zhì)． 【分 析】 （ 1）取 AD 中點 E，連接 PE， EM， AC，證明： BD⊥ 平面 PEM，即可證明 BD⊥ PM； （ 2）利用等體積方法，求點 A 到平面 PBM 的距離． 【解答】 （ 1）證明：取 AD 中點 E，連接 PE， EM， AC， ∵ 底面 ABCD 是菱形， ∴ BD⊥ AC， ∵ E， M 分別是 AD， DC 的中點， ∴ EM∥ AC， ∴ EM⊥ BD． ∵ PA=AD， ∴ PE⊥ AD， ∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD， ∴ PE⊥ 平面 ABCD， ∴ PE⊥ BD， ∵ EM∩ PE=E， ∴ BD⊥ 平面 PEM， ∵ PM?平面 PEM， ∴ BD⊥ PM． （ 2）解： ∵ PA=PD= ， ∠ APD=90176。（ t） ＞ 0， φ（ t）在（ 1， +∞ ）上單調(diào)遞增． 即有 t=1 時， φ（ t）取得極小值，也為最小值． 則 a+b=φ（ t） ≥ φ（ 1） =﹣ 1， 故 a+b 的最小值為﹣ 1． 【點評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和求極值、最值，主要考查構(gòu)造函 數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間求得極值也為最值，屬于中檔題． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 22．（ 10 分）（ 2017?洛陽模擬）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為（ a 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以 x 軸的正半周為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρcos（ θ﹣ ） =3 ． （ 1）寫出 C1的普通方程和 C2的直角坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè)點 P 在 C1上，點 Q 在 C2上，求 |PQ|的最小值及此時 P 的直角坐標(biāo)． 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】 （ 1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè) P（ cosα， sinα），則 |PQ|的最小值為 P 到 x+y﹣ 6=0 距離，利用三角函數(shù)知識即可求解． 【解答】 解：（ 1）曲線 C1的參數(shù)方程為 （ a 為參數(shù)），普通方程為=1， 曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρcos（ θ﹣ ） =3 ，即 ρcosθ+ρsinθ﹣ 6=0，直角坐標(biāo)方 程為 x+y﹣ 6=0； （ 2）設(shè) P（ cosα， sinα），則 |PQ|的最小值為 P 到 x+y﹣ 6=0 距離， 即 = |sin（ α+ ）﹣ 3|， 當(dāng)且僅當(dāng) α=2kπ+ （ k∈ Z）時， |PQ|取得最小值 2 ，此時 P（ ， ）． 【點評】 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題． [選修 45：不等式選講 ] 23．（ 2017?洛陽模擬）已知關(guān)于 x 的不等式 |x+3|+|x+m|≥ 2m的解集為 R． （ 1）求 m的最大值； （ 2）已知 a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，且 a+b+c=1，求 2a2+3b2+4c2的最小 值及此時 a， b， c 的值． 【考點】 絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法． 【分析】 （ 1）利用絕對值不等式，結(jié)合關(guān)于 x 的不等式 |x+3|+|x+m|≥ 2m的解集為 R，求出 m的范圍，即可得出結(jié)論； （ 2）利用柯西不等式，可得 2a2+3b2+4c2的最小值及此時 a， b， c 的值． 【解答】 解：（ 1）因為 |x+3|+|x+m|≥ |（ x+3）﹣（ x+m） |=|m﹣ 3|． 當(dāng)﹣ 3≤ x≤ ﹣ m或﹣ m≤ x≤ ﹣ 3 時取等號， 令 |m﹣ 3|≥ 2m所以 m﹣ 3≥ 2m或 m﹣ 3≤ ﹣ 2m． 解得 m≤ ﹣ 3 或 m≤ 1 ∴ m的最大值為 1． （ 2） ∵ a+b+c=1． 由柯西不等式， ≥ （ a+b+c） 2=1， ∴ ，等號當(dāng)且僅當(dāng) 2a=3b=4c，且 a+b+c=1 時成立． 即當(dāng)且僅當(dāng) ， ， 時， 2a2+3b2+4c2的最小值為 ． 【點評】 本題給出等式 a+b+c=1，求式子 2a2+3b2+4c2的最小值．著重考查了運用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號成立的條件等知識，屬于中檔題．