【正文】 我們?nèi)匀徊捎谜黄ヅ渥粉櫍?OMP）對稀疏西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 4 表達系數(shù)求解。如果是噪聲點可能性越大，則 lw 越小， lw?1 越大，式（ 33）在極小化過程中第二個懲罰項作用更大，對此項做極小化處理意味著要求 lx 與我們學(xué)習(xí)得到的基元組稀 疏表達形式相像?？偠灾?，就是我們盡可 能只使用圖像中那些受噪聲影響較小的點學(xué)習(xí)稀疏表達系數(shù)。 ? ? ?????????? ?????? l i iillllllxl bxwyxwxl2222 ))(1()(m i na r g ?? （ 33） 其中的 lw 為一個反映像素點為噪聲點可能性的函數(shù)。如果應(yīng)用 2l 范數(shù)測度描述時會顯得非常不魯棒，使得學(xué)習(xí)到的基元表達系數(shù)受到椒鹽噪聲的嚴重 影響，影響去噪精度。改進的基本想法是：在經(jīng)典稀疏表達模型中，通過引入能夠反映像素點噪聲可能性的權(quán)重函數(shù)，使得經(jīng)典稀疏表達模型中主要使用未受噪聲影響的像素進行學(xué)習(xí)稀疏表達系數(shù)，從而消除椒鹽噪聲點對系數(shù)學(xué)習(xí)的影響。 ?????? ???? ? ?l l lllXD XRDYXl 02222,m i n ?????， 初始化：令 YX? ， D =超完備 DCT 基元組。但是，對輸出圖像的 迭代 更新 改變了 噪音水平 ? ，我 們 在稀疏表達系數(shù) 迭代和 基元組 更新 時 使用相同的 ? 值 。 回到 （ 26），我們可以 將 D 看做 未知的 ，并定義 我們的 模型為 ? ? ? ?????????l l lllXDl XRDYXXD l 02222, m i na r g, ????? ? （ 211） 根據(jù) 先前構(gòu)建 的 算法，我們可以 初始化基元組 D 和整體去噪圖像 X ， 和先前的處理一樣設(shè) D 為 DCT 基元組 ， YX? 。然后再 固定 稀疏表達系數(shù) ??Mll 1?? ，使用 K– SVD 算法每次將基元組每列更新一次。 這個過程即是我們 通過稀疏表 達來 迭代 去除噪聲 [13][15]。 得到了所有的稀疏表達系數(shù) ???l? 后，我們現(xiàn)在可以固定它們的值然后開始求解???lx 。 我們從初始化 YX? 開始，尋找最優(yōu)值???l? 。當(dāng)然我 們還可以考慮通過使用 簡單和 高效率的 KSVD 算法 自適應(yīng)地學(xué)習(xí) 得到基元組 D 。 作為約束， 此懲罰項 222 ）（ ?CYX ?? ,這反映了 ? 和 ?之間的 關(guān)系 。我們可以做如下處理：假定要取出的局部圖像塊大小為 nn? ，將一個大小為 nn? 的窗口放在圖像 X 中按照從上至下，從左至右滑動，滑動距離視需要而定。 于是去噪圖像 ?x 就可以由 ??? ?Dx 給出。此外，對上述模型我2 基于稀疏線性表達的高斯噪聲去噪模型 5 們采用 ?? ?? 2xD 來表示重構(gòu)誤差會更精確。如下： 0minarg ?? ??? . xD ?? (22) 上式中使用 0l 范數(shù)對線性組合系數(shù) ? 的稀疏性進行約束。 局部塊上建立 去噪 模型 首先 我們 考慮從原圖 X 中取出的一個 大小為 nn? 像素的 圖像塊 ，將塊中的像素點按照從上到下，從左到右的原則排成一個 列向量， 令其作為列向量 nRx? 。該類算法和模型的基本思想是：首先將原始圖像劃分為一個個小的圖像塊，然后將原始圖像表達為局部的基元線性組合，并約束這個線性組合系數(shù)的稀疏性，從而建立解決去噪問題的能量函數(shù)，在極小化過程中將通過 OMP 和 KSVD 算法優(yōu)化該能量函數(shù)。 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 4 2 基于稀疏線性表達的高斯噪聲去噪模型 本章我們主要研究 基于稀疏線性表達的高斯噪聲去噪模型。因此我們在研究改進工作時，考慮引進對圖像像素點的噪聲可能性的權(quán)重函數(shù)，并建立帶權(quán)的稀疏表達模型，減少噪聲點對稀疏表達模型的影響。 （ 2） 研究如何 改進經(jīng)典去噪模型使得模型可以更有效地去除椒鹽噪聲。 從后文中我們可以看到使用 OMP 算法可以在每個局部塊上求解出 稀疏表達系數(shù) ? 。由于模型中第一個和第二個懲罰項中重構(gòu)誤差使用 2l 范數(shù)測度，該范數(shù)能夠很好的建模高斯噪聲，因此 利用這個模型能夠很好地去除高斯噪聲。之所以用到冗余表達是因為我們希望在處理圖像去噪問題過程中能保持轉(zhuǎn)換不變性，與此同時我們引入匹配追蹤技術(shù) [8]可以很方便地優(yōu)化問題求解過程中的稀疏表達系數(shù)[9][12]。例如 統(tǒng)計估計 、 空間自適應(yīng)濾波器 、 隨機分析 、 偏微分方程 、變 換域的方法 、 形態(tài)分析 、順序 統(tǒng)西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 2 計 方法等 ， 都是研究探討這個問題 的 方向 ，并延其形成了許多典型的去噪方法，例如我們常見的高斯濾波去噪，均值濾波去噪，中值濾波去噪，邊緣保持濾波去噪。 本文主要研究兩類噪聲的去噪問題，即： ① 高斯噪聲， 所謂高斯噪聲是指它的概率密度函數(shù)服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類噪聲 ； ② 椒鹽噪聲，在該噪聲影響下，圖像像素點會變?yōu)?2個極值 灰 度（例如 0， 255），而圖像中的每個像素點以一定的概率受到該噪聲的影響， 因此它表現(xiàn)為圖象某些點 特別暗或特別亮 ， 而其他象素點不受到影響， 類似我們的 胡椒粉和 晶體鹽的亮度的感覺，所以叫椒鹽噪聲 。 60 年代末期，圖像處理技術(shù)不斷完善，逐漸形成一個新興的學(xué)科。OMP。結(jié)合 椒鹽噪聲的特性，我們用更為魯棒的帶權(quán)稀疏表達模型，在使用基元組時采用 DCT 基元組，并通過 OMP 方法優(yōu)化該稀疏表達模型。在實現(xiàn)中，我們可 以用離散余弦變換（ DCT）構(gòu)造其中的基元組，也可以自適應(yīng)的學(xué)習(xí)該基元組。由于高斯噪聲和椒鹽噪聲特性的不同，我們分別對高斯噪聲和椒鹽噪聲建立了模型。本文主要研究基于稀疏表達的高斯噪聲和 椒鹽噪聲去噪模型與算法。該類算法和模型的基本思想是將原始圖像表達為局部的基元線性組合，并約束線性組合系數(shù)的稀疏性，從而建立解決去噪問題的能量函數(shù)，在極小化過程中通過 OMP 和 KSVD 算法優(yōu)化該能量函數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用經(jīng)典的稀疏表達模型會在處理去除 椒鹽 噪聲圖像中失效，因此我們提出一種新的基于稀疏性的 椒鹽 噪聲圖像去噪模型。Dictionary learing。上個世紀(jì) 60 年代中期，隨著計算機科學(xué)的發(fā)展和計算機的普及，圖像處理得到廣泛的應(yīng)用。 我們這里研究的圖像噪聲模型，主要關(guān)注的是一種加性噪聲，即在一張圖片中加入一種噪聲，我們假定有一個理想的圖像為 x ，加進一個噪聲 v ，處理后的圖像 y 為： vxy ?? ， （ 11） 我們要研究的就是希望能夠設(shè)計一個好的算法可以從 y 中消除噪聲，盡可能地恢復(fù)為原來的圖像 x 。 過去 對于圖像去噪問題的研究有著眾多不同的看法和觀點 [1][7]。在 本文中我們同樣采用這種思路，利用基于基元組的稀疏和冗余表達研究圖像噪聲模型。此模型是通過定義關(guān)于 X 的后驗概率分布并進行優(yōu)化而引出的能量模型 。對于模型的數(shù)值求解的難點，關(guān)鍵是基元組 D 和稀疏表達系數(shù) ? 處理。 我們實現(xiàn)上述模型的數(shù)值解法，并應(yīng)用于自然圖像的高斯噪聲去噪問題。通過分析，考慮到 圖像像素點或者完全沒有受到噪聲影響或者受到影響很大使得其完全變成過亮點或者過暗點，應(yīng)用 2l 范數(shù)測度，將使得學(xué)習(xí)到的基元表達系數(shù)受到椒 鹽噪聲的嚴重影響，影響去噪精度。 第 4 章 —— 在這章里 我們將展示一些實驗結(jié)果以表明我們建立的模型及算法的有效性，在這一章節(jié)中我們將看到利用建立起的經(jīng)典模型對高斯噪聲去噪有著相當(dāng)不錯的效果，并且改進后的模型在處理椒鹽噪聲去噪時比經(jīng)典模型有更好的表現(xiàn)。 我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)與研究基于稀疏表達的高斯噪聲圖像模型及其數(shù)值求解算法。再將其推廣到較大的圖像上。 此時，通過這個基元組我們可以用下面的稀疏表達模型 來 表 示這個圖像塊 x 。 對稀疏表達系數(shù) ?? 的稀疏強度我們需 要作出定義， 令 nL ????0?，這表明用稀疏線性組合來表達圖像塊 x 最多只使用了基元組 D 中的 l 個基元。 上述優(yōu)化過程還可以改為 022m ina r g ???? ? ???? yD （ 24） 使約束項變?yōu)閼土P項，適當(dāng)選擇 ? ，這兩個問題是等價的 。 假如我們要處理的未知圖像 X 大小為 )( nNNN ??? ，仍然可以從 圖像 X 中取出圖像塊。 上式也可表述為 ? ? ? ? ? ? ?????????? ???????l li iillllxllbxyxxll02222,m i na r g, ????? ? （ 26） 在 （ 25） 中，第一項是 整體 X 對數(shù)似然 ， 要求之間的 處理過的含噪圖像 Y 和它的已去噪（未知）圖像 X 相接近。 對于基元組 D ，采用離散余弦變換（ DCT）確實是一個相當(dāng)不錯的選擇。 采用 DCT 基元組優(yōu)化模型 假定 基元組 D 已知，（ 26） 模型的優(yōu)化求解分為兩個部分，分別要求每個局部塊上的稀疏表達系數(shù) ???l? 和整體去噪圖像 ???lx 。 因此，這個階段 又稱稀疏編碼階段，隨著滑動的窗口在每個 nn? 塊上同時運算。當(dāng)我們得到 X 后 ，我們可以重復(fù) 迭代，在 已經(jīng)去噪圖像 上的圖像塊上著手繼續(xù) 稀疏編碼階段，等等。 因此，可以 繼續(xù) 使用 OMP 獲得 近似 最優(yōu) 的稀疏表達系數(shù) ??Mll 1?? 。 自適應(yīng)學(xué)習(xí)基元組優(yōu)化模型 從 含噪 的 圖像中選取大小為 nn? 的 圖像塊 ? ?MllyZ 1?? ， 其 )1( ??? nNM 。 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 輸出圖像 應(yīng)用 （ 29） 式 可以 得到 。 算法參數(shù)： n 圖像塊大小， k 基元組大小， J 迭代訓(xùn)練次數(shù)， ? 拉格朗日算子， C 噪聲強度。本章將研究如何對經(jīng)典模型進行改進，使得新的模型對椒鹽噪聲有較好的去噪效果。但是針對椒鹽噪聲圖像有如下特點：圖像像素點或者完全沒有受到噪聲影響或者受到影響完全變成過亮點或者過暗點。整個模型優(yōu)化形式如下： （ 1）給定 ? ?il bx, ，這里 lx 初始為原來的噪聲圖像， ib 假設(shè)已知，設(shè)為 DCT 基元組3 基于稀疏線性表達的椒鹽噪聲去噪模型 3 ? ? ? ? ?????????? ????l li iillll bxwl 022)(mi na r g ???? ? （ 32） （ 2）給定 ? ?il b,? 。 新的模型中問題（ 1）主要是對稀疏表達系數(shù)進行學(xué)習(xí)，相較于經(jīng)典稀疏表達模型我們加入了反映像素噪聲可能性的權(quán)重向量 lw ，之所以做這種處理，是因為 lw 如果很小，即像素點是噪聲點的可能性越大，對應(yīng)的像素點在稀疏表達模型中起到的作用越小；而如果 lw 很大，即象素點更可能沒有受到噪聲的影響，因此其對應(yīng)像素點在稀疏表達模型中的作用更大。我們可以看出式（ 33）中第一個懲罰項和第二個懲罰項相互競爭。首先我們先對問題進行簡化，假定基元組 D已知，設(shè)為 DCT 基元組。39。39。39。 ) ) ]()() ) ((1(2))()()((2[pNp p ptpxpwpypxpw? = ?? ?????)(39。 ?????????? ?? pNp p ptpwpxpwpypwpxpwpx xE ?? ])())(1()()([)())(1)(( )(39。)(39。 pxp 表示以點 39。 ptp 同理； )(pN = px 。 pw? (a)圖像 X (b)含噪圖像 Y (c)權(quán)重 W y(p) w(p) p p p 3 基于稀疏線性表達的椒鹽噪聲去噪模型 5 迭代求解算法 基于上述討論，我們下面將給出迭代求解實現(xiàn)椒鹽噪聲去噪的具體算法步驟。 迭代 J 次： ：在每個圖像塊上，使用 OMP 算法計算稀疏表達系 數(shù) l? ： 0min ll ?? . 222)()( ?? Cbxw i iilll ?? ? . ： ?? ??? ??????)(39。))(1)(()())(1()()()(pNppNp pNpppwpwptpwpypwpx ?? ： )ex p ()( 2? lllll yxyxfw ????? 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 6 4 實驗 實驗中，我們將在標(biāo)準(zhǔn)測試圖像上實驗高斯噪聲和椒鹽噪聲 去噪算法。 椒鹽噪聲去噪實驗 我們對“ boat”和“ lena”兩個樣例圖片加入椒鹽噪聲，先分別使用 DCT 基元組的經(jīng)典稀疏表達模型去噪，然后再使用 DCT 基元組的改進模型對其進行去噪處理。針對高斯噪聲和椒鹽噪聲的特性，分別學(xué)習(xí)和建立了適用于去除高斯噪聲的經(jīng)典的去噪模型和適用于去除椒鹽噪聲的改進的模型。 在高斯去噪模型對椒鹽噪聲失效時，使用改進的 帶權(quán)稀疏表達模型能得到理想的