【正文】 建立一個高斯圖像去噪模型，使 得這個模型針對高斯噪聲有著良好的去噪效果；二是在模型建立的基礎上，我們需要學習與研究此類模型的算法求解過程，主要采用正交匹配追蹤（ OMP）和 KSVD 的方法。符號 0? 表示 ? 的非零項個數。 這樣我們就 得到了局部塊上基于稀疏線性表達的高斯去噪模型。 第二 項 和第三 項說明每個大小為 nn? 的局部塊 XRx ll ? 在有限誤差內都有一個稀疏表達。 問題（ 1） ? ? ? ? ?????????? ????l li iilll bxl 022m ina r g ???? ? （ 27） 在 每 一個 圖像塊上， 采用正交匹配追 蹤（ OMP）對稀疏表達系數求解。 全局學習基元組優(yōu)化模型 從一張高質量樣例圖像 中取出一組圖像塊 ? ?MllzZ 1?? ，每個圖像塊大小為 nn? ，我們搜尋基元組 D通過最小化 ? ? ??? ??? Ml lllMll zDD 1 2201 ][),( ????? （ 210） 我們試圖尋找 Z 中每個圖像塊的稀疏表達 ， 并獲得一個較小的表達誤差。接下來使用 OMP 算法展開 稀疏編碼階段計算 稀疏表達系數 ?l? 。 迭代 J 次： ① 稀疏編碼階段：在每個圖像塊 XRl 上，使用 OMP 算法計算稀疏表達系數 l? ： 0min ll ?? . 222 )( ?? CXRD ll ?? . ② 基元組更新階段：對基元組 D 中的每一列 j =1,2，??， k ， i 找出使用這列的圖像塊， ? ?0)( ?? jl lj ?? . ii 對指數 jl ?? ，計算它的表達誤差 ???? jm lmlljl mbXRe )(?. iii 基元組 jE 的列向量由 ??jljle ??組成 . iv 應用 SVD 分解 Tj VUE ?? .選擇更新后的基元 ~jb 為 U 的第一列 . 通過乘 )1,1(? 更新稀疏表達系數 ? ?jll j ?? ?)(為 V 的系數 . 3．令： )()( 1 ?? ??? ? l lTll lTl DRYRRIX ??? 西安交通大學本科畢業(yè)設計（論文） 2 3 基于稀疏線性表達的椒鹽噪聲去噪模型 本章要討論如何應用稀疏表達去除椒鹽噪聲，椒鹽噪聲的形式如下： ????? ???其他,0,)( bzPazPzp baz， （ 31） 椒鹽噪聲的特點是： 這種 噪聲的 噪聲值不是連續(xù)變化， 圖像像素點在該噪聲影響下以一定的概率變?yōu)闃O值灰度值，例如 0或者 255,，因此它表現為 圖像 某些點 特別暗或 特別亮，類似我們的 胡椒粉和 晶體鹽的亮度的感覺，所以叫椒鹽噪聲 。因此我們需要設計一種更為魯棒的重構誤差，我們嘗試采用如下改進：引入對圖像像素點的噪聲可能性的權重函數，并建立帶權的稀疏表達模型，減少噪聲點對稀疏表達模型的影響。這樣做便可以減少噪聲點對稀疏表達系數學習的影響。 對問題（ 2），對 能量函數 )(xE 做極小化處理，令 0)( )( ??? px xE， ? ? ?????????? ????? l i iillllll bxwyxwE 22 ))(1()( ?? 令li iil tb ???，則 ? ?? ????? l llllll txwyxwE 22 ))(1()(? )( )(pxxE??=?????? ????? ? ?? )(39。 39。 )]())(1(2)())(1(2)()(2)()(2[pNp p ptpwpxpwpypwpxpw ?? ? ? 0)())(1(2)())(1(2)()(2)()(20)( )( )(39。39。 px?x(p) )(39。這說明我們的改進是非常有效的。參考文獻 11 參考文獻 [1] K Engan, SO Aase and JH HakonHusoy. Method of optimal directions for frame design[C]. IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech, and SignalProcessing, 1999. [2] K KreutzDelgado and BD Rao. Focussbased dictionary learning algorithms[J]. Electricalamp。 實現算法方面，我們在稀疏編碼階段常采用正交匹配追蹤（ OMP）方法，應用 KSVD算法對 基元組 D 迭代更新。 實驗過程中我們使用標準的數據測試：所有要處理的圖片大小為 512?512， DCT基元組大小為 64?256， 用來處理圖像 塊 的大小 為 8?8 像素 ，高斯噪聲模型中我們設25?? ， ?? /30? ，椒鹽噪聲模型中噪聲強度統(tǒng)一為 P=。 算法參數： n 圖像塊大小， k 基元組大小， J 迭代訓練次數， ? 拉格朗日算子， C 噪聲強度。 pyp ， )(39。)(39。 ))]()())((1(2))()()((2[pNp pppp ptpxpwpypxpw? = ?? ????)(39。239。反之，如果是噪聲點的可能性越小，則 lw 越大， lw?1 就越小，式（ 33）在極小化過程中第一個懲罰項作用更大，對此項做極小化處理意味著要求 lx 與原來的圖像 ly 相像。其定義如下： )ex p ()( 2? lllll yxyxfw ????? （ 34） 我們采用中值濾波去噪方法結果初始化 lx ，并不斷迭代更新 lx 。 本章的第一節(jié)將介紹如何建立新的帶權稀疏表達模型；第二節(jié)我們主要關注分析該模型如何數值求解；在第三節(jié)將解決算法求解過程中初始化問題并給出具體的迭代算法流程。 迭代求解算法 綜合上述討論，下面介紹如何采用稀疏表達進行圖像去噪的具體算法流程。這種更新是最優(yōu)的，使得滿足 SVD 可以在剩余基元組上運算，只在使用這一列的圖像塊上計算。于是有 問題（ 2） ? ????? l llX XRDYXX 2222m ina r g ?? （ 28） 對這個問題數值求解，我們可以建立能量函數 )(XE ，極小化 )(XE 即 0)( ??? XXE 。 在 訓練學習時 ，我們考慮兩個方案： 1） 從噪聲 圖像本身 中學習基元組； 2） 從一組高質量圖片中的圖像塊中學習。這樣處理后我們便得到一系列的局部塊 ??lx ，這樣做塊邊界可能會出現重疊，不過我們可以在重疊部分做平均得到最后結果。 現在我們考慮圖像塊 x 的一個噪聲圖像 y ，加入了一個 零均值的高斯噪聲 ，標準偏差為 ? 。下來我們來構建一個稀疏表達模型 ， 先 定義一個 冗余的基元組 knRD ?? （ nk? 時，冗余 ）。高斯噪聲是指它的概率密度服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類噪聲。 由于椒鹽噪聲的特性，使之與高斯噪聲差別很大，因此我們不能夠再用先前的基于稀疏表達的經典去噪模型對椒鹽噪聲去噪。 本文主要研究工作 （ 1）針對高斯噪聲， 研究和學習 經典的基于基元組的稀疏線性表達去噪模型，并實現 它的數值解法。其中高斯濾波和均值濾波是線性濾波，即輸出像素是輸入像素鄰域像素的線性組合；而中值濾波和邊緣保持濾波均為非線性濾波。圖像在形成，傳輸和記錄過程中，由于受多種原因的影響，圖像質量會有所下降，比較 典型的就是產生噪聲，因此 研究圖像去噪問題具有較強的實用性和重要性。通過實驗表明，該方法相對于經典的稀疏表達模型能更好的去除椒鹽噪聲。使得針對不同的噪聲應用相應的模型處理可以得到更好的去噪效果。 首先，我們學習與研究基于稀疏表達的高斯噪聲圖像模型。 關 鍵 詞 ：圖像去噪；基元表示； OMP； KSVD；稀疏編碼 西安交通大學本科畢業(yè)設計（論文） II ABSTRACT Image denoising is to remove the noises from a given observed noisy image. This paper mainly concentrates on how to remove Gaussian noises and pepper noises based on image sparse representation. Based on the characteristics of Gaussian noises and pepper noises, we learned and proposed the sparse representation based denoising model and algorithms to achieve image denoising. Firstly, we learn and investigate the sparse representation based Gaussian noise removal. The main idea is to represent the image by the local sparse linear bination over a dictionary of basis, and then OMP and KSVD methods are used to optimize the deduced energy function. In implementation, the dictionary of basic can be set as constant or learned adaptively from the noisy images. We implemented this model and applied it to Gaussian noise removal. Secondly, we investigate the pepper noise removal based on image sparse representation. We find that, the traditional sparse representation model cannot handle the pepper noise removal problem perfectly. In this paper, we propose a novel weighted sparse representation model to remove the pepper noises, which uses the dictionary of DCT basis and optimize it by OMP algorithm. Experiments show that this proposed method can accurately remove pepper noises with much higher Peak Signal to Noises Ratio (PSNR). KEY WORDS: Image denoising。 本文關注圖像的去噪問題，即研究如何從觀測到的低質量圖像（例如噪聲圖像）恢復為高質量的原始圖像。 近年來 基于 稀疏和冗余表達的圖像信號去噪方法引起了人們的關注。 在建立好模型后，便需要對這個模型的數值求解進行算法研究，使之具有實用性。從實驗中我們可以看出，采用經典模型1 緒論 3 會使得到的結果非常不理想。高斯噪聲的形式為： 222 )(21)( ??? uzz ezp ??? ， （ 21） 這里均值 ? 一般取為 0，標準差為 ? 。我們 假定 這個 基元組 是已知 確 定 的 。要去除圖像塊 y 中的噪聲，需要對 y 做 MAP 估計，由于是高斯噪聲，重構誤差我們采用 2l 范數對其測度，于是問題變?yōu)? 0minarg ?? . TyD ?? 22? （ 23） T 由 ? ， ? 確定。 接下來我們推廣上述局部塊上的高斯去噪模型， 基元組 knRD ?? 已知， 對圖像 X 做MAP 估計 （ 24）變?yōu)? ? ? 02222,m i na r g, lll lXl XRDYXXl????? ? ?? ??????? （ 25） lR 是一個 Nn? 基元組， XRx ll ? 。如果使用 DCT 基元組， 模型的優(yōu)化求解大致分為兩個部分，分別為求稀疏表達系數 ???l?和去噪圖像 ???lx ；如果自適應地學習基