【正文】 元組，那么問(wèn)題迭代求解過(guò)程中還應(yīng)包含基元組的更新。 其中， ? ???????? l ll XRDYXXX XE 2222)( ?? = ? ????l lll XRDRYX ))((2)(2 ?? 2 基于稀疏線性表達(dá)的高 斯噪聲去噪模型 7 = ? ????l l lTllTl XRRDRYX 2222 ??? = )(2)(2 ?? ???l lTll lTl DRYXRRI ??? 因此，令 )(2)(2 ?? ???l lTll lTl DRYXRRI ???=0，則 )()( ?? ??? l lTll lTl DRYXRRI ??? 即得 )()( 1 ?? ??? ? l lTll lTl DRYRRIX ??? （ 29） （ 29）的計(jì)算可以在每一個(gè)像素點(diǎn)上進(jìn)行， 按照前面描述的滑動(dòng)窗口稀疏編碼 的步驟，但需要在邊界處做平均處理。經(jīng)過(guò)以上處理， ? ? ),( 1MllD ??? 的值在每個(gè)基元組基元的每次更新都是下降的 ，并隨著更新，稀疏表達(dá)系數(shù) ??Mll 1?? 也隨著優(yōu)化 [6][7]。算法如下： 任務(wù)：對(duì)加入了高斯噪聲的含噪圖像 Y 進(jìn)行去噪。 模型的建立 首先 我們需要分析經(jīng)典稀疏表達(dá)模型對(duì)椒鹽噪聲去噪失效的原因：在經(jīng)典稀疏表達(dá)模型中，重建誤差 22?? i iill bx ? 用 2l 范數(shù)測(cè)度，該范數(shù)假定了它的稀疏表達(dá)誤差是高斯的，所以蘊(yùn)含的是高斯噪聲模型，因此能夠很好的建模高斯噪聲。 lw 越大反映對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)是噪聲點(diǎn)的可能性越?。环粗?， lw 越小反映對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)是噪聲點(diǎn)的可能性越大。 模型優(yōu)化求解 模型的優(yōu)化求解分為兩個(gè)部分，分別為求稀疏表達(dá)系數(shù) ???l? 和去噪圖像 ???lx 。39。 39。 ?? ?? ????? pNp ppNp ptpwpypwpxpwpw ?? ?? ??? ??????)(39。 pwp ， )(39。 ① 給定 ? ?il bx, ， ? ? ? ??????????? ????l li iillll bxw 022)(mi na r g ???? ? ； ② 給定 ? ?il b,? ， ? ??????????? ??????l i iillllllxl bxwyxwx l2222 ))(1()(m i na r g ?? 初始化：用中值濾波對(duì)噪聲圖像 Y 做去噪處理得到初始去噪圖像 X ， lw 采用高斯函數(shù) )ex p ()(2? lllll yxyxfw ?????， D =超完備 DCT 基元組。 （ a）加入高斯噪聲 lena圖 (b)采用 DCT 基元組去噪結(jié)果 (c)全局基元組去噪結(jié)果 (d)自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果 圖 2：對(duì) lena 圖像 (高斯噪聲 )采用 DCT、全局基元組及自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果 4 實(shí)驗(yàn) 7 高斯噪聲去噪實(shí)驗(yàn) 我們對(duì) lena和 barbara兩個(gè)樣例圖片加上高斯噪聲， 25?? ，然后分別使用基于 DCT 基元組，全局基元組和自適應(yīng)基元組的經(jīng)典稀疏表達(dá)模型對(duì)圖片去噪 . (a)加入高斯噪聲 barbara圖 (b)采用 DCT 基元組去噪結(jié)果 (c)全局基元組去噪結(jié)果 (d)自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果 圖 3：對(duì)“ barbara”圖像加入高斯噪聲并分別采用 DCT、全局基元組及自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果 表 41：含高斯噪聲圖像及使用各基元組去噪結(jié)果 PSNR 值比較 PSNR(dB) lena barbara 噪聲圖像 DCT 基元組去噪 全局基元組去噪 自適應(yīng)基元組去噪 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 從表 41中我們可以看出，對(duì)“ lena”和“ barbara”兩張樣 例圖片加入 25?? 的高斯噪聲，使用基于稀疏線性表達(dá)的高斯噪聲去噪模型分別采用 DCT 基元組，全局基元組和自適應(yīng)基元組對(duì)圖像做去噪處理，均可以達(dá)到較滿意的去噪效果。 實(shí)驗(yàn) 表明， 超完備 DCT 基元組 ， 從高質(zhì)量圖像中的一組圖像塊學(xué)習(xí)得到的基元組， 以及對(duì)噪聲圖像本身的 圖像塊學(xué)習(xí)出的自適應(yīng)基元 組 ，都 有非常好 的去噪 表現(xiàn)。 進(jìn)一步的工作包括以下幾個(gè)方面： （ 1）在處理椒鹽噪聲的帶權(quán)的稀疏表達(dá)模型數(shù)值求解過(guò)程中，我們可以加入基元組 D 學(xué)習(xí)階段，如高斯去噪模型求解時(shí)學(xué)習(xí)基元組那樣，希望獲得更好的效果； （ 2）更多圖像和不同噪聲水平下的測(cè)試比較，盡量得出客觀有效的比較結(jié)果； （ 3）進(jìn)一步學(xué)習(xí)與研究圖像去噪與稀疏表達(dá)的相關(guān)內(nèi)容，尋求更合理的去噪模型及更優(yōu)的優(yōu)化方法。 (a)加入椒鹽噪聲“ boat”圖 (b)高斯噪聲稀疏表達(dá)模型去噪結(jié)果 (c)我 們的去噪結(jié)果 圖 4：對(duì)“ boat”圖像加入椒鹽噪聲并分別采用 DCT 基元組的經(jīng)典去噪模型和改進(jìn)模型去噪結(jié)果 4 實(shí)驗(yàn) 9 (a)加入椒鹽噪聲的“ lena”圖 (b)高斯噪聲稀疏表達(dá)模型去噪結(jié)果 (c)我們的去噪結(jié)果 圖 5：對(duì)“ lena”圖像加入椒鹽噪聲并分別基于 DCT 基元組采用經(jīng)典去噪模型和改進(jìn)模型去噪結(jié)果 表 42：含椒鹽噪聲圖像及兩種模型去噪結(jié)果 PSNR 值比較 PSNR(dB) boat lena 加入 椒鹽噪聲圖像 經(jīng)典高斯去噪模型 改進(jìn)的去噪模型 表 42 中所得的數(shù)據(jù)表明，對(duì)加入椒鹽噪聲的兩張樣例“ boat”和“ lena”分別使用基于 DCT 基元組的經(jīng)典模型和改進(jìn)模型對(duì)其去噪處理，經(jīng)典模型得出的結(jié)果仍留有不少噪聲點(diǎn)，去噪效果差強(qiáng)人意，而改進(jìn)的去噪模型去噪效果較為令人滿意，明顯好于原經(jīng)典模型。)(39。 )(39。 39。 )]1([)(pNp pppppp txwyxwpx ? = ?? ????)(39。 對(duì)問(wèn)題（ 1） ? ? ? ? ?????????? ????l li iillll bxwl 022)(mi na r g ???? ? ， （ 35） 與經(jīng)典模型的區(qū)別在于在第一個(gè)懲罰項(xiàng)中加入了權(quán)重向量 lw ，將上式寫為 ? ? ? ? ?????????? ????l li ilillll bwxwl 022)()(m i na r g ???? ? ， （ 36） 問(wèn)題的求解同經(jīng)典稀疏表達(dá)模型類似，我們?nèi)匀徊捎谜黄ヅ渥粉櫍?OMP）對(duì)稀疏西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 表達(dá)系數(shù)求解?？偠灾?，就是我們盡可 能只使用圖像中那些受噪聲影響較小的點(diǎn)學(xué)習(xí)稀疏表達(dá)系數(shù)。如果應(yīng)用 2l 范數(shù)測(cè)度描述時(shí)會(huì)顯得非常不魯棒，使得學(xué)習(xí)到的基元表達(dá)系數(shù)受到椒鹽噪聲的嚴(yán)重 影響，影響去噪精度。 ?????? ???? ? ?l l lllXD XRDYXl 02222,m i n ?????， 初始化：令 YX? ， D =超完備 DCT 基元組。 回到 （ 26），我們可以 將 D 看做 未知的 ，并定義 我們的 模型為 ? ? ? ?????????l l lllXDl XRDYXXD l 02222, m i na r g, ????? ? （ 211） 根據(jù) 先前構(gòu)建 的 算法，我們可以 初始化基元組 D 和整體去噪圖像 X ， 和先前的處理一樣設(shè) D 為 DCT 基元組 ， YX? 。 這個(gè)過(guò)程即是我們 通過(guò)稀疏表 達(dá)來(lái) 迭代 去除噪聲 [13][15]。 我們從初始化 YX? 開始，尋找最優(yōu)值???l? 。 作為約束， 此懲罰項(xiàng) 222 ）（ ?CYX ?? ,這反映了 ? 和 ?之間的 關(guān)系 。 于是去噪圖像 ?x 就可以由 ??? ?Dx 給出。如下： 0minarg ?? ??? . xD ?? (22) 上式中使用 0l 范數(shù)對(duì)線性組合系數(shù) ? 的稀疏性進(jìn)行約束。該類算法和模型的基本思想是：首先將原始圖像劃分為一個(gè)個(gè)小的圖像塊，然后將原始圖像表達(dá)為局部的基元線性組合，并約束這個(gè)線性組合系數(shù)的稀疏性，從而建立解決去噪問(wèn)題的能量函數(shù)，在極小化過(guò)程中將通過(guò) OMP 和 KSVD 算法優(yōu)化該能量函數(shù)。因此我們?cè)谘芯扛倪M(jìn)工作時(shí)，考慮引進(jìn)對(duì)圖像像素點(diǎn)的噪聲可能性的權(quán)重函數(shù)，并建立帶權(quán)的稀疏表達(dá)模型，減少噪聲點(diǎn)對(duì)稀疏表達(dá)模型的影響。 從后文中我們可以看到使用 OMP 算法可以在每個(gè)局部塊上求解出 稀疏表達(dá)系數(shù) ? 。之所以用到冗余表達(dá)是因?yàn)槲覀兿Ｍ谔幚韴D像去噪問(wèn)題過(guò)程中能保持轉(zhuǎn)換不變性，與此同時(shí)我們引入匹配追蹤技術(shù) [8]可以很方便地優(yōu)化問(wèn)題求解過(guò)程中的稀疏表達(dá)系數(shù)[9][12]。 本文主要研究?jī)深愒肼暤娜ピ雴?wèn)題，即： ① 高斯噪聲， 所謂高斯噪聲是指它的概率密度函數(shù)服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類噪聲 ； ② 椒鹽噪聲，在該噪聲影響下，圖像像素點(diǎn)會(huì)變?yōu)?2個(gè)極值 灰 度（例如 0， 255），而圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)以一定的概率受到該噪聲的影響， 因此它表現(xiàn)為圖象某些點(diǎn) 特別暗或特別亮 ， 而其他象素點(diǎn)不受到影響， 類似我們的 胡椒粉和 晶體鹽的亮度的感覺(jué)，所以叫椒鹽噪聲 。OMP。在實(shí)現(xiàn)中，我們可 以用離散余弦變換（ DCT）構(gòu)造其中的基元組，也可以自適應(yīng)的學(xué)習(xí)該基元組。本文主要研究基于稀疏表達(dá)的高斯噪聲和 椒鹽噪聲去噪模型與算法。我們發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用經(jīng)典的稀疏表達(dá)模型會(huì)在處理去除 椒鹽 噪聲圖像中失效，因此我們提出一種新的基于稀疏性的 椒鹽 噪聲圖像去噪模型。上個(gè)世紀(jì) 60 年代中期，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及，圖像處理得到廣泛的應(yīng)用。 過(guò)去 對(duì)于圖像去噪問(wèn)題的研究有著眾多不同的看法和觀點(diǎn) [1][7]。此模型是通過(guò)定義關(guān)于 X 的后驗(yàn)概率分布并進(jìn)行優(yōu)化而引出的能量模型 。 我們實(shí)現(xiàn)上述模型的數(shù)值解法，并應(yīng)用于自然圖像的高斯噪聲去噪問(wèn)題。 第 4 章 —— 在這章里 我們將展示一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果以表明我們建立的模型及算法的有效性，在這一章節(jié)中我們將看到利用建立起的經(jīng)典模型對(duì)高斯噪聲去噪有著相當(dāng)不錯(cuò)的效果，并且改進(jìn)后的模型在處理椒鹽噪聲去噪時(shí)比經(jīng)典模型有更好的表現(xiàn)。再將其推廣到較大的圖像上。 對(duì)稀疏表達(dá)系數(shù) ?? 的稀疏強(qiáng)度我們需 要作出定義， 令 nL ????0?，這表明用稀疏線性組合來(lái)表達(dá)圖像塊 x 最多只使用了基元組 D 中的 l 個(gè)基元。 假如我們要處理的未知圖像 X 大小為 )( nNNN ??? ，仍然可以從 圖像 X 中取出圖像塊。 對(duì)于基元組 D ，采用離散余弦變換（ DCT）確實(shí)是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的選擇。 因此，這個(gè)階段 又稱稀疏編碼階段，隨著滑動(dòng)的窗口在每個(gè) nn? 塊上同時(shí)運(yùn)算。 因此，可以 繼續(xù) 使用 OMP 獲得 近似 最優(yōu) 的稀疏表達(dá)系數(shù) ??Mll 1?? 。 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 輸出圖像 應(yīng)用 （ 29） 式 可以 得到 。本章將研究如何對(duì)經(jīng)典模型進(jìn)行改進(jìn)，使得新的模型對(duì)椒鹽噪聲有較好的去噪效果。整個(gè)模型優(yōu)化形式如下： （ 1）給定 ? ?il bx, ，這里 lx 初始為原來(lái)的噪聲圖像， ib 假設(shè)已知，設(shè)為 DCT 基元組3 基于稀疏線性表達(dá)的椒鹽噪聲去噪模型 3 ? ? ? ? ?????????? ????l li iillll bxwl 022)(mi na r g ???? ? （ 32） （ 2）給定 ? ?il b,? 。我們可以看出式（ 33）中第一個(gè)懲罰項(xiàng)和第二個(gè)懲罰項(xiàng)相互競(jìng)爭(zhēng)。39。39。 ?????????? ?? pNp p ptpwpxpwpypwpxpwpx xE ?? ])())(1()()([)())(1)(( )(39。 pxp 表示以點(diǎn) 39。 pw? (a)圖像 X (b)含噪圖像 Y (c)權(quán)重 W y(p) w(p) p p p 3 基于稀疏線性表達(dá)的椒鹽噪聲去噪模型 5 迭代求解算法 基于上述討論，我們下面將給出迭代求解實(shí)現(xiàn)椒鹽噪聲去噪的具體算法步驟。))(1)(()())(1()()()(pNppNp pNpppwpwptpwpypwpx ?? ： )ex p ()( 2? lllll yxyxfw ????? 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 4 實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)中，我們將在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像上實(shí)驗(yàn)高斯噪聲和椒鹽噪聲 去噪算法。針對(duì)高斯噪聲和椒鹽噪聲的特性，分別學(xué)習(xí)和建立了適用于去除高斯噪聲的經(jīng)典的去噪模型和適用于去除椒鹽噪聲的改進(jìn)的