【正文】 1） 從噪聲 圖像本身 中訓(xùn)練基元組， 或 2） 從一組高質(zhì)量圖 片中的圖像塊中訓(xùn)練。 我們實(shí)現(xiàn)上述模型的數(shù)值解法，并應(yīng)用于自然圖像的高斯噪聲去噪問(wèn)題。 （ 2） 研究如何 改進(jìn)經(jīng)典去噪模型使得模型可以更有效地去除椒鹽噪聲。 由于椒鹽噪聲的特性，使之與高斯噪聲差別很大，因此我們不能夠再用先前的基于稀疏表達(dá)的經(jīng)典去噪模型對(duì)椒鹽噪聲去噪。從實(shí)驗(yàn)中我們可以看出，采用經(jīng)典模型1 緒論 3 會(huì)使得到的結(jié)果非常不理想。通過(guò)分析，考慮到 圖像像素點(diǎn)或者完全沒(méi)有受到噪聲影響或者受到影響很大使得其完全變成過(guò)亮點(diǎn)或者過(guò)暗點(diǎn)，應(yīng)用 2l 范數(shù)測(cè)度，將使得學(xué)習(xí)到的基元表達(dá)系數(shù)受到椒 鹽噪聲的嚴(yán)重影響，影響去噪精度。因此我們?cè)谘芯扛倪M(jìn)工作時(shí)，考慮引進(jìn)對(duì)圖像像素點(diǎn)的噪聲可能性的權(quán)重函數(shù)，并建立帶權(quán)的稀疏表達(dá)模型，減少噪聲點(diǎn)對(duì)稀疏表達(dá)模型的影響。 本文的內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下： 第 2 章 —— 介紹如何建立 經(jīng)典的 基于稀疏表達(dá)的圖像去噪模型，并實(shí)現(xiàn)該 模型 迭代數(shù)值求解算法，包括如何使用 OMP 算法求解稀疏表達(dá)系數(shù)，及如何使用 KSVD 算法進(jìn)行基元組更新； 第 3 章 —— 主要討論如何對(duì)經(jīng)典的稀疏表達(dá)去噪模型進(jìn)行改進(jìn)，使之針對(duì)椒鹽噪聲的特性可以達(dá)到更好的去噪效果。我 們提出解椒鹽噪聲的帶權(quán)稀疏表達(dá)模型，并提出其迭代優(yōu)化策略 。 第 4 章 —— 在這章里 我們將展示一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果以表明我們建立的模型及算法的有效性，在這一章節(jié)中我們將看到利用建立起的經(jīng)典模型對(duì)高斯噪聲去噪有著相當(dāng)不錯(cuò)的效果，并且改進(jìn)后的模型在處理椒鹽噪聲去噪時(shí)比經(jīng)典模型有更好的表現(xiàn)。 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 2 基于稀疏線性表達(dá)的高斯噪聲去噪模型 本章我們主要研究 基于稀疏線性表達(dá)的高斯噪聲去噪模型。高斯噪聲是指它的概率密度服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類噪聲。高斯噪聲的形式為： 222 )(21)( ??? uzz ezp ??? ， （ 21） 這里均值 ? 一般取為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 ? 。 我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)與研究基于稀疏表達(dá)的高斯噪聲圖像模型及其數(shù)值求解算法。該類算法和模型的基本思想是：首先將原始圖像劃分為一個(gè)個(gè)小的圖像塊，然后將原始圖像表達(dá)為局部的基元線性組合，并約束這個(gè)線性組合系數(shù)的稀疏性，從而建立解決去噪問(wèn)題的能量函數(shù)，在極小化過(guò)程中將通過(guò) OMP 和 KSVD 算法優(yōu)化該能量函數(shù)。 本章的主要內(nèi)容有兩個(gè)方面，一是沿著基于基元組的稀疏線性表達(dá)的思路， 介紹如何 建立一個(gè)高斯圖像去噪模型，使 得這個(gè)模型針對(duì)高斯噪聲有著良好的去噪效果；二是在模型建立的基礎(chǔ)上，我們需要學(xué)習(xí)與研究此類模型的算法求解過(guò)程，主要采用正交匹配追蹤（ OMP）和 KSVD 的方法。 模型介紹 我們的目的是要建立一個(gè)基于稀疏線性表達(dá)的高斯噪聲去噪模型，為方便問(wèn)題分析，我們先從小的圖像塊上著手。再將其推廣到較大的圖像上。 局部塊上建立 去噪 模型 首先 我們 考慮從原圖 X 中取出的一個(gè) 大小為 nn? 像素的 圖像塊 ，將塊中的像素點(diǎn)按照從上到下，從左到右的原則排成一個(gè) 列向量， 令其作為列向量 nRx? 。下來(lái)我們來(lái)構(gòu)建一個(gè)稀疏表達(dá)模型 ， 先 定義一個(gè) 冗余的基元組 knRD ?? （ nk? 時(shí)，冗余 ）。我們 假定 這個(gè) 基元組 是已知 確 定 的 。 此時(shí)，通過(guò)這個(gè)基元組我們可以用下面的稀疏表達(dá)模型 來(lái) 表 示這個(gè)圖像塊 x 。如下： 0minarg ?? ??? . xD ?? (22) 上式中使用 0l 范數(shù)對(duì)線性組合系數(shù) ? 的稀疏性進(jìn)行約束。符號(hào) 0? 表示 ? 的非零項(xiàng)個(gè)數(shù)。從這個(gè)模型中我們可以看到每個(gè)圖像塊都可以表示成冗余基元組 D 的一個(gè)線性組合。 對(duì)稀疏表達(dá)系數(shù) ?? 的稀疏強(qiáng)度我們需 要作出定義， 令 nL ????0?，這表明用稀疏線性組合來(lái)表達(dá)圖像塊 x 最多只使用了基元組 D 中的 l 個(gè)基元。此外，對(duì)上述模型我2 基于稀疏線性表達(dá)的高斯噪聲去噪模型 5 們采用 ?? ?? 2xD 來(lái)表示重構(gòu)誤差會(huì)更精確。 現(xiàn)在我們考慮圖像塊 x 的一個(gè)噪聲圖像 y ，加入了一個(gè) 零均值的高斯噪聲 ，標(biāo)準(zhǔn)偏差為 ? 。要去除圖像塊 y 中的噪聲，需要對(duì) y 做 MAP 估計(jì)，由于是高斯噪聲，重構(gòu)誤差我們采用 2l 范數(shù)對(duì)其測(cè)度，于是問(wèn)題變?yōu)? 0minarg ?? . TyD ?? 22? （ 23） T 由 ? ， ? 確定。 上述優(yōu)化過(guò)程還可以改為 022m ina r g ???? ? ???? yD （ 24） 使約束項(xiàng)變?yōu)閼土P項(xiàng)，適當(dāng)選擇 ? ，這兩個(gè)問(wèn)題是等價(jià)的 。 于是去噪圖像 ?x 就可以由 ??? ?Dx 給出。 這樣我們就 得到了局部塊上基于稀疏線性表達(dá)的高斯去噪模型。 圖像 整體上建立 去噪 模型 這一節(jié)我們將推廣局部塊上的高斯去噪模型，使之適用于整幅圖像上。 假如我們要處理的未知圖像 X 大小為 )( nNNN ??? ，仍然可以從 圖像 X 中取出圖像塊。我們可以做如下處理：假定要取出的局部圖像塊大小為 nn? ，將一個(gè)大小為 nn? 的窗口放在圖像 X 中按照從上至下，從左至右滑動(dòng)，滑動(dòng)距離視需要而定。這樣處理后我們便得到一系列的局部塊 ??lx ，這樣做塊邊界可能會(huì)出現(xiàn)重疊，不過(guò)我們可以在重疊部分做平均得到最后結(jié)果。 接下來(lái)我們推廣上述局部塊上的高斯去噪模型， 基元組 knRD ?? 已知， 對(duì)圖像 X 做MAP 估計(jì) （ 24）變?yōu)? ? ? 02222,m i na r g, lll lXl XRDYXXl????? ? ?? ??????? （ 25） lR 是一個(gè) Nn? 基元組， XRx ll ? 。 上式也可表述為 ? ? ? ? ? ? ?????????? ???????l li iillllxllbxyxxll02222,m i na r g, ????? ? （ 26） 在 （ 25） 中，第一項(xiàng)是 整體 X 對(duì)數(shù)似然 ， 要求之間的 處理過(guò)的含噪圖像 Y 和它的已去噪（未知）圖像 X 相接近。 作為約束， 此懲罰項(xiàng) 222 ）（ ?CYX ?? ,這反映了 ? 和 ?之間的 關(guān)系 。 第二 項(xiàng) 和第三 項(xiàng)說(shuō)明每個(gè)大小為 nn? 的局部塊 XRx ll ? 在有限誤差內(nèi)都有一個(gè)稀疏表達(dá)。 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 模型 優(yōu)化 求解 在建立上述模型過(guò)程中，我們一直都假設(shè)基元組 D 是已知的 。 對(duì)于基元組 D ，采用離散余弦變換（ DCT）確實(shí)是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的選擇。當(dāng)然我 們還可以考慮通過(guò)使用 簡(jiǎn)單和 高效率的 KSVD 算法 自適應(yīng)地學(xué)習(xí) 得到基元組 D 。 在 訓(xùn)練學(xué)習(xí)時(shí) ，我們考慮兩個(gè)方案： 1） 從噪聲 圖像本身 中學(xué)習(xí)基元組； 2） 從一組高質(zhì)量圖片中的圖像塊中學(xué)習(xí)。如果使用 DCT 基元組， 模型的優(yōu)化求解大致分為兩個(gè)部分，分別為求稀疏表達(dá)系數(shù) ???l?和去噪圖像 ???lx ；如果自適應(yīng)地學(xué)習(xí)基元組，那么問(wèn)題迭代求解過(guò)程中還應(yīng)包含基元組的更新。 采用 DCT 基元組優(yōu)化模型 假定 基元組 D 已知，（ 26） 模型的優(yōu)化求解分為兩個(gè)部分，分別要求每個(gè)局部塊上的稀疏表達(dá)系數(shù) ???l? 和整體去噪圖像 ???lx 。 我們從初始化 YX? 開(kāi)始，尋找最優(yōu)值???l? 。 問(wèn)題（ 1） ? ? ? ? ?????????? ????l li iilll bxl 022m ina r g ???? ? （ 27） 在 每 一個(gè) 圖像塊上， 采用正交匹配追 蹤（ OMP）對(duì)稀疏表達(dá)系數(shù)求解。 使用 標(biāo)準(zhǔn) 正交匹配 追蹤，一次加一個(gè)基元 ， 當(dāng)誤差 22?? i iill bx ? 小于 T 時(shí)停止。 因此，這個(gè)階段 又稱稀疏編碼階段，隨著滑動(dòng)的窗口在每個(gè) nn? 塊上同時(shí)運(yùn)算。 得到了所有的稀疏表達(dá)系數(shù) ???l? 后，我們現(xiàn)在可以固定它們的值然后開(kāi)始求解???lx 。于是有 問(wèn)題（ 2） ? ????? l llX XRDYXX 2222m ina r g ?? （ 28） 對(duì)這個(gè)問(wèn)題數(shù)值求解，我們可以建立能量函數(shù) )(XE ，極小化 )(XE 即 0)( ??? XXE 。 其中， ? ???????? l ll XRDYXXX XE 2222)( ?? = ? ????l lll XRDRYX ))((2)(2 ?? 2 基于稀疏線性表達(dá)的高 斯噪聲去噪模型 7 = ? ????l l lTllTl XRRDRYX 2222 ??? = )(2)(2 ?? ???l lTll lTl DRYXRRI ??? 因此，令 )(2)(2 ?? ???l lTll lTl DRYXRRI ???=0，則 )()( ?? ??? l lTll lTl DRYXRRI ??? 即得 )()( 1 ?? ??? ? l lTll lTl DRYRRIX ??? （ 29） （ 29）的計(jì)算可以在每一個(gè)像素點(diǎn)上進(jìn)行， 按照前面描述的滑動(dòng)窗口稀疏編碼 的步驟，但需要在邊界處做平均處理。當(dāng)我們得到 X 后 ，我們可以重復(fù) 迭代，在 已經(jīng)去噪圖像 上的圖像塊上著手繼續(xù) 稀疏編碼階段，等等。 這個(gè)過(guò)程即是我們 通過(guò)稀疏表 達(dá)來(lái) 迭代 去除噪聲 [13][15]。 全局學(xué)習(xí)基元組優(yōu)化模型 從一張高質(zhì)量樣例圖像 中取出一組圖像塊 ? ?MllzZ 1?? ，每個(gè)圖像塊大小為 nn? ，我們搜尋基元組 D通過(guò)最小化 ? ? ??? ??? Ml lllMll zDD 1 2201 ][),( ????? （ 210） 我們?cè)噲D尋找 Z 中每個(gè)圖像塊的稀疏表達(dá) ， 并獲得一個(gè)較小的表達(dá)誤差。 首先我們要將 D 和 ??Mll 1?? 分開(kāi)計(jì)算，初始 化 D 為 DCT 基元組，（ 210）即為一組稀疏編碼運(yùn)算，類似（ 27）。 因此，可以 繼續(xù) 使用 OMP 獲得 近似 最優(yōu) 的稀疏表達(dá)系數(shù) ??Mll 1?? 。然后再 固定 稀疏表達(dá)系數(shù) ??Mll 1?? ，使用 K– SVD 算法每次將基元組每列更新一次。這種更新是最優(yōu)的，使得滿足 SVD 可以在剩余基元組上運(yùn)算，只在使用這一列的圖像塊上計(jì)算。經(jīng)過(guò)以上處理， ? ? ),( 1MllD ??? 的值在每個(gè)基元組基元的每次更新都是下降的 ，并隨著更新，稀疏表達(dá)系數(shù) ??Mll 1?? 也隨著優(yōu)化 [6][7]。 自適應(yīng)學(xué)習(xí)基元組優(yōu)化模型 從 含噪 的 圖像中選取大小為 nn? 的 圖像塊 ? ?MllyZ 1?? ， 其 )1( ??? nNM 。 回到 （ 26），我們可以 將 D 看做 未知的 ，并定義 我們的 模型為 ? ? ? ?????????l l lllXDl XRDYXXD l 02222, m i na r g, ????? ? （ 211） 根據(jù) 先前構(gòu)建 的 算法，我們可以 初始化基元組 D 和整體去噪圖像 X ， 和先前的處理一樣設(shè) D 為 DCT 基元組 ， YX? 。接下來(lái)使用 OMP 算法展開(kāi) 稀疏編碼階段計(jì)算 稀疏表達(dá)系數(shù) ?l? 。 得出稀疏表達(dá)系數(shù) ?l? 后 使用一系列 KSVD 運(yùn)算即可以對(duì)基元組 D 進(jìn)行 更新。 西安交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 輸出圖像 應(yīng)用 （ 29） 式 可以 得到 。但是，對(duì)輸出圖像的 迭代 更新 改變了 噪音水平 ? ，我 們 在稀疏表達(dá)系數(shù) 迭代和 基元組 更新 時(shí) 使用相同的 ? 值 。 迭代求解算法 綜合上述討論，下面介紹如何采用稀疏表達(dá)進(jìn)行圖像去噪的具體算法流程。算法如下： 任務(wù)：對(duì)加入了高斯噪聲的含噪圖像 Y 進(jìn)行去噪。 算法參數(shù)： n 圖像塊大小， k 基元組大小， J 迭代訓(xùn)練次數(shù)， ? 拉格朗日算子， C 噪聲強(qiáng)度。 ?????? ???? ? ?l l lllXD XRDYXl 02222,m i n ?????， 初始化：令 YX? ， D =超完備 DCT 基元組。 迭代 J 次： ① 稀疏編碼階段：在每個(gè)圖像塊 XRl 上，使用 OMP 算法計(jì)算稀疏表達(dá)系數(shù) l? ： 0min ll ?? . 222 )( ?? CXRD ll ?? . ② 基元組更新階段：對(duì)基元組 D 中的每一列 j =1,2，??， k ， i 找出使用這列的圖像塊， ? ?0)( ?? jl lj ?? . ii 對(duì)指數(shù) jl ?? ，計(jì)算它的表達(dá)誤差