【正文】 1） 從噪聲 圖像本身 中訓練基元組， 或 2） 從一組高質量圖 片中的圖像塊中訓練。 我們實現(xiàn)上述模型的數(shù)值解法，并應用于自然圖像的高斯噪聲去噪問題。 （ 2） 研究如何 改進經典去噪模型使得模型可以更有效地去除椒鹽噪聲。 由于椒鹽噪聲的特性，使之與高斯噪聲差別很大，因此我們不能夠再用先前的基于稀疏表達的經典去噪模型對椒鹽噪聲去噪。從實驗中我們可以看出，采用經典模型1 緒論 3 會使得到的結果非常不理想。通過分析，考慮到 圖像像素點或者完全沒有受到噪聲影響或者受到影響很大使得其完全變成過亮點或者過暗點，應用 2l 范數(shù)測度，將使得學習到的基元表達系數(shù)受到椒 鹽噪聲的嚴重影響，影響去噪精度。因此我們在研究改進工作時，考慮引進對圖像像素點的噪聲可能性的權重函數(shù)，并建立帶權的稀疏表達模型，減少噪聲點對稀疏表達模型的影響。 本文的內容結構如下： 第 2 章 —— 介紹如何建立 經典的 基于稀疏表達的圖像去噪模型，并實現(xiàn)該 模型 迭代數(shù)值求解算法，包括如何使用 OMP 算法求解稀疏表達系數(shù)，及如何使用 KSVD 算法進行基元組更新； 第 3 章 —— 主要討論如何對經典的稀疏表達去噪模型進行改進，使之針對椒鹽噪聲的特性可以達到更好的去噪效果。我 們提出解椒鹽噪聲的帶權稀疏表達模型，并提出其迭代優(yōu)化策略 。 第 4 章 —— 在這章里 我們將展示一些實驗結果以表明我們建立的模型及算法的有效性，在這一章節(jié)中我們將看到利用建立起的經典模型對高斯噪聲去噪有著相當不錯的效果，并且改進后的模型在處理椒鹽噪聲去噪時比經典模型有更好的表現(xiàn)。 西安交通大學本科畢業(yè)設計（論文） 4 2 基于稀疏線性表達的高斯噪聲去噪模型 本章我們主要研究 基于稀疏線性表達的高斯噪聲去噪模型。高斯噪聲是指它的概率密度服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類噪聲。高斯噪聲的形式為： 222 )(21)( ??? uzz ezp ??? ， （ 21） 這里均值 ? 一般取為 0，標準差為 ? 。 我們現(xiàn)在學習與研究基于稀疏表達的高斯噪聲圖像模型及其數(shù)值求解算法。該類算法和模型的基本思想是：首先將原始圖像劃分為一個個小的圖像塊，然后將原始圖像表達為局部的基元線性組合，并約束這個線性組合系數(shù)的稀疏性，從而建立解決去噪問題的能量函數(shù)，在極小化過程中將通過 OMP 和 KSVD 算法優(yōu)化該能量函數(shù)。 本章的主要內容有兩個方面，一是沿著基于基元組的稀疏線性表達的思路， 介紹如何 建立一個高斯圖像去噪模型，使 得這個模型針對高斯噪聲有著良好的去噪效果；二是在模型建立的基礎上，我們需要學習與研究此類模型的算法求解過程，主要采用正交匹配追蹤（ OMP）和 KSVD 的方法。 模型介紹 我們的目的是要建立一個基于稀疏線性表達的高斯噪聲去噪模型，為方便問題分析，我們先從小的圖像塊上著手。再將其推廣到較大的圖像上。 局部塊上建立 去噪 模型 首先 我們 考慮從原圖 X 中取出的一個 大小為 nn? 像素的 圖像塊 ，將塊中的像素點按照從上到下，從左到右的原則排成一個 列向量， 令其作為列向量 nRx? 。下來我們來構建一個稀疏表達模型 ， 先 定義一個 冗余的基元組 knRD ?? （ nk? 時，冗余 ）。我們 假定 這個 基元組 是已知 確 定 的 。 此時，通過這個基元組我們可以用下面的稀疏表達模型 來 表 示這個圖像塊 x 。如下： 0minarg ?? ??? . xD ?? (22) 上式中使用 0l 范數(shù)對線性組合系數(shù) ? 的稀疏性進行約束。符號 0? 表示 ? 的非零項個數(shù)。從這個模型中我們可以看到每個圖像塊都可以表示成冗余基元組 D 的一個線性組合。 對稀疏表達系數(shù) ?? 的稀疏強度我們需 要作出定義， 令 nL ????0?，這表明用稀疏線性組合來表達圖像塊 x 最多只使用了基元組 D 中的 l 個基元。此外，對上述模型我2 基于稀疏線性表達的高斯噪聲去噪模型 5 們采用 ?? ?? 2xD 來表示重構誤差會更精確。 現(xiàn)在我們考慮圖像塊 x 的一個噪聲圖像 y ，加入了一個 零均值的高斯噪聲 ，標準偏差為 ? 。要去除圖像塊 y 中的噪聲，需要對 y 做 MAP 估計，由于是高斯噪聲，重構誤差我們采用 2l 范數(shù)對其測度，于是問題變?yōu)? 0minarg ?? . TyD ?? 22? （ 23） T 由 ? ， ? 確定。 上述優(yōu)化過程還可以改為 022m ina r g ???? ? ???? yD （ 24） 使約束項變?yōu)閼土P項，適當選擇 ? ，這兩個問題是等價的 。 于是去噪圖像 ?x 就可以由 ??? ?Dx 給出。 這樣我們就 得到了局部塊上基于稀疏線性表達的高斯去噪模型。 圖像 整體上建立 去噪 模型 這一節(jié)我們將推廣局部塊上的高斯去噪模型，使之適用于整幅圖像上。 假如我們要處理的未知圖像 X 大小為 )( nNNN ??? ，仍然可以從 圖像 X 中取出圖像塊。我們可以做如下處理：假定要取出的局部圖像塊大小為 nn? ，將一個大小為 nn? 的窗口放在圖像 X 中按照從上至下，從左至右滑動，滑動距離視需要而定。這樣處理后我們便得到一系列的局部塊 ??lx ，這樣做塊邊界可能會出現(xiàn)重疊，不過我們可以在重疊部分做平均得到最后結果。 接下來我們推廣上述局部塊上的高斯去噪模型， 基元組 knRD ?? 已知， 對圖像 X 做MAP 估計 （ 24）變?yōu)? ? ? 02222,m i na r g, lll lXl XRDYXXl????? ? ?? ??????? （ 25） lR 是一個 Nn? 基元組， XRx ll ? 。 上式也可表述為 ? ? ? ? ? ? ?????????? ???????l li iillllxllbxyxxll02222,m i na r g, ????? ? （ 26） 在 （ 25） 中，第一項是 整體 X 對數(shù)似然 ， 要求之間的 處理過的含噪圖像 Y 和它的已去噪（未知）圖像 X 相接近。 作為約束， 此懲罰項 222 ）（ ?CYX ?? ,這反映了 ? 和 ?之間的 關系 。 第二 項 和第三 項說明每個大小為 nn? 的局部塊 XRx ll ? 在有限誤差內都有一個稀疏表達。 西安交通大學本科畢業(yè)設計（論文） 6 模型 優(yōu)化 求解 在建立上述模型過程中，我們一直都假設基元組 D 是已知的 。 對于基元組 D ，采用離散余弦變換（ DCT）確實是一個相當不錯的選擇。當然我 們還可以考慮通過使用 簡單和 高效率的 KSVD 算法 自適應地學習 得到基元組 D 。 在 訓練學習時 ，我們考慮兩個方案： 1） 從噪聲 圖像本身 中學習基元組； 2） 從一組高質量圖片中的圖像塊中學習。如果使用 DCT 基元組， 模型的優(yōu)化求解大致分為兩個部分，分別為求稀疏表達系數(shù) ???l?和去噪圖像 ???lx ；如果自適應地學習基元組，那么問題迭代求解過程中還應包含基元組的更新。 采用 DCT 基元組優(yōu)化模型 假定 基元組 D 已知，（ 26） 模型的優(yōu)化求解分為兩個部分，分別要求每個局部塊上的稀疏表達系數(shù) ???l? 和整體去噪圖像 ???lx 。 我們從初始化 YX? 開始，尋找最優(yōu)值???l? 。 問題（ 1） ? ? ? ? ?????????? ????l li iilll bxl 022m ina r g ???? ? （ 27） 在 每 一個 圖像塊上， 采用正交匹配追 蹤（ OMP）對稀疏表達系數(shù)求解。 使用 標準 正交匹配 追蹤，一次加一個基元 ， 當誤差 22?? i iill bx ? 小于 T 時停止。 因此，這個階段 又稱稀疏編碼階段，隨著滑動的窗口在每個 nn? 塊上同時運算。 得到了所有的稀疏表達系數(shù) ???l? 后，我們現(xiàn)在可以固定它們的值然后開始求解???lx 。于是有 問題（ 2） ? ????? l llX XRDYXX 2222m ina r g ?? （ 28） 對這個問題數(shù)值求解，我們可以建立能量函數(shù) )(XE ，極小化 )(XE 即 0)( ??? XXE 。 其中， ? ???????? l ll XRDYXXX XE 2222)( ?? = ? ????l lll XRDRYX ))((2)(2 ?? 2 基于稀疏線性表達的高 斯噪聲去噪模型 7 = ? ????l l lTllTl XRRDRYX 2222 ??? = )(2)(2 ?? ???l lTll lTl DRYXRRI ??? 因此，令 )(2)(2 ?? ???l lTll lTl DRYXRRI ???=0，則 )()( ?? ??? l lTll lTl DRYXRRI ??? 即得 )()( 1 ?? ??? ? l lTll lTl DRYRRIX ??? （ 29） （ 29）的計算可以在每一個像素點上進行， 按照前面描述的滑動窗口稀疏編碼 的步驟，但需要在邊界處做平均處理。當我們得到 X 后 ，我們可以重復 迭代，在 已經去噪圖像 上的圖像塊上著手繼續(xù) 稀疏編碼階段，等等。 這個過程即是我們 通過稀疏表 達來 迭代 去除噪聲 [13][15]。 全局學習基元組優(yōu)化模型 從一張高質量樣例圖像 中取出一組圖像塊 ? ?MllzZ 1?? ，每個圖像塊大小為 nn? ，我們搜尋基元組 D通過最小化 ? ? ??? ??? Ml lllMll zDD 1 2201 ][),( ????? （ 210） 我們試圖尋找 Z 中每個圖像塊的稀疏表達 ， 并獲得一個較小的表達誤差。 首先我們要將 D 和 ??Mll 1?? 分開計算，初始 化 D 為 DCT 基元組，（ 210）即為一組稀疏編碼運算，類似（ 27）。 因此，可以 繼續(xù) 使用 OMP 獲得 近似 最優(yōu) 的稀疏表達系數(shù) ??Mll 1?? 。然后再 固定 稀疏表達系數(shù) ??Mll 1?? ，使用 K– SVD 算法每次將基元組每列更新一次。這種更新是最優(yōu)的，使得滿足 SVD 可以在剩余基元組上運算，只在使用這一列的圖像塊上計算。經過以上處理， ? ? ),( 1MllD ??? 的值在每個基元組基元的每次更新都是下降的 ，并隨著更新，稀疏表達系數(shù) ??Mll 1?? 也隨著優(yōu)化 [6][7]。 自適應學習基元組優(yōu)化模型 從 含噪 的 圖像中選取大小為 nn? 的 圖像塊 ? ?MllyZ 1?? ， 其 )1( ??? nNM 。 回到 （ 26），我們可以 將 D 看做 未知的 ，并定義 我們的 模型為 ? ? ? ?????????l l lllXDl XRDYXXD l 02222, m i na r g, ????? ? （ 211） 根據(jù) 先前構建 的 算法，我們可以 初始化基元組 D 和整體去噪圖像 X ， 和先前的處理一樣設 D 為 DCT 基元組 ， YX? 。接下來使用 OMP 算法展開 稀疏編碼階段計算 稀疏表達系數(shù) ?l? 。 得出稀疏表達系數(shù) ?l? 后 使用一系列 KSVD 運算即可以對基元組 D 進行 更新。 西安交通大學本科畢業(yè)設計（論文） 8 輸出圖像 應用 （ 29） 式 可以 得到 。但是，對輸出圖像的 迭代 更新 改變了 噪音水平 ? ，我 們 在稀疏表達系數(shù) 迭代和 基元組 更新 時 使用相同的 ? 值 。 迭代求解算法 綜合上述討論，下面介紹如何采用稀疏表達進行圖像去噪的具體算法流程。算法如下： 任務：對加入了高斯噪聲的含噪圖像 Y 進行去噪。 算法參數(shù)： n 圖像塊大小， k 基元組大小， J 迭代訓練次數(shù)， ? 拉格朗日算子， C 噪聲強度。 ?????? ???? ? ?l l lllXD XRDYXl 02222,m i n ?????， 初始化：令 YX? ， D =超完備 DCT 基元組。 迭代 J 次： ① 稀疏編碼階段：在每個圖像塊 XRl 上，使用 OMP 算法計算稀疏表達系數(shù) l? ： 0min ll ?? . 222 )( ?? CXRD ll ?? . ② 基元組更新階段：對基元組 D 中的每一列 j =1,2，??， k ， i 找出使用這列的圖像塊， ? ?0)( ?? jl lj ?? . ii 對指數(shù) jl ?? ，計算它的表達誤差