【正文】 A=∠ ACE=∠ ECG=176。 ， 在 △ CDA和 △ CEA中， ∵ ， ∴△ CDA≌△ CEA（ AAS）， ∴ CD=CE； （ 2）證法 一：連接 BC， ∵△ CDA≌△ CEA， ∴∠ DCA=∠ ECA， ∵ CE⊥ AG， AE=EG， ∴ CA=CG， ∴∠ ECA=∠ ECG， ∵ AB是 ⊙ O的直徑， ∴∠ ACB=90176。 ， ∴∠ AOC=2∠ F=45176。 ， ∴△ CEO是等腰直角三角形． 【點評】 此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題難度適中，本題相等的角較多，注意各角之間的關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 27．（ ）問題 1：如圖 ① ，在 △ ABC中， AB=4， D是 AB上一點（不與 A， B重合）， DE∥ BC，交 AC于點 E，連接 CD．設(shè) △ ABC的面積為 S， △ DEC的面積為 S′ ． （ 1）當(dāng) AD=3時， = ； （ 2）設(shè) AD=m，請你用含字母 m的代數(shù)式表示 ． 問題 2：如圖 ② ，在四邊形 ABCD 中， AB=4， AD∥ BC， AD= BC， E 是 AB 上一點（不與 A， B重合）， EF∥ BC，交 CD 于點 F，連接 CE．設(shè) AE=n，四邊形 ABCD的面積為 S， △ EFC 的面積為 S′ ．請你利用問題 1的解法或結(jié)論，用含字母 n的代數(shù)式表示 ． 26 【分 析】 問題 1： （ 1）先根據(jù)平行線分線段成比例定理可得： ，由同高三角形面積的比等于對應(yīng)底邊的比，則 = = ，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得：= = ，可得結(jié)論； （ 2）解法一：同理根據(jù)（ 1）可得結(jié)論； 解法二：作高線 DF、 BH，根據(jù)三角形面積公式可得： = ，分別表示 和的值，代入可得結(jié)論； 問題 2： 解法一：如圖 2，作輔助線，構(gòu)建 △ OBC，證明 △ OAD∽△ OBC，得 OB=8，由問題 1的解法可知： = = = ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得：= ，可得結(jié)論； 解法二：如圖 3，連接 AC交 EF于 M， 根據(jù) AD= BC，可得 = ，得： S△ ADC= S， S△ ABC= ，由問題 1的結(jié)論可知： = ，證明 △ CFM∽△ CDA，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，根據(jù)面積和可得結(jié)論． 【解答】 解：問題 1： （ 1） ∵ AB=4， AD=3， 27 ∴ BD=4﹣ 3=1， ∵ DE∥ BC， ∴ ， ∴ = = ， ∵ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， ∴ = = ， ∴ = ，即 ， 故答案為： ； （ 2）解法一： ∵ AB=4， AD=m， ∴ BD=4﹣ m， ∵ DE∥ BC， ∴ = = ， ∴ = = ， ∵ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， ∴ = = ， ∴ = = = ， 即 = ； 解法二：如圖 1，過點 B作 BH⊥ AC于 H，過 D作 DF⊥ AC 于 F，則 DF∥ BH， ∴△ ADF∽△ ABH， ∴ = ， 28 ∴ = = = ， 即 = ； 問題 2：如圖 ② ， 解法一：如圖 2，分別延長 BD、 CE交于點 O， ∵ AD∥ BC， ∴△ OAD∽△ OBC， ∴ ， ∴ OA=AB=4， ∴ OB=8， ∵ AE=n， ∴ OE=4+n， ∵ EF∥ BC， 由問題 1的解法可知： = = = ， ∵ = = ， ∴ = ， ∴ = = = ，即 = ； 解法 二：如圖 3，連接 AC交 EF 于 M， ∵ AD∥ BC，且 AD= BC， ∴ = ， ∴ S△ ADC= ， 29 ∴ S△ ADC= S， S△ ABC= ， 由問題 1的結(jié)論可知： = ， ∵ MF∥ AD， ∴△ CFM∽△ CDA， ∴ = = = ， ∴ S△ CFM= S， ∴ S△ EFC=S△ EMC+S△ CFM= + S= ， ∴ = ． 30 【點評】 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、平行線分線段成比例定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積比等于相似比的平方是關(guān)鍵，并運用了類比的思想解決問題，本題有難度． 28．（ ）如圖 ① ，直線 l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形 ABCD是一塊邊長為100 米的正方形草地，點 A， D在直線 l上，小明從點 A 出發(fā)，沿公路 l向西走了若干米后到達(dá)點 E處，然后轉(zhuǎn)身沿射線 EB方向走到點 F處，接著又改變方向沿射線 FC方向走到公路l 上的點 G 處，最后沿公路 l 回到點 A處．設(shè) AE=x 米（其中 x＞ 0）， GA=y米，已知 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系如圖 ② 所示， （ 1）求圖 ② 中線段 MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）試問小明從起點 A出發(fā)直至最后回到點 A處，所走過的路徑（即 △ EFG）是否可以是一個等腰三角形？如 果可以，求出相應(yīng) x的值；如果不可以，說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù)點 M、 N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出圖 ② 中線段 MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）分 FE=FG、 FG=EG 及 EF=EG三種情況考慮： ① 考慮 FE=FG是否成立，連接 EC，通過計算可得出 ED=GD，結(jié)合 CD⊥ EG，可得出 CE=CG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出 ∠ CGE=∠ CEG、∠ FEG＞∠ CGE，進(jìn)而可得出 FE≠ FG； ② 考慮 FG=EG是否成立，由正方形的性質(zhì)可得出 BC∥EG，進(jìn)而可得 出 △ FBC∽△ FEG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出若 FG=EG則 FC=BC，進(jìn)而可得出 CG、 DG的長度，在 Rt△ CDG中，利用勾股定理即可求出 x的值； ③ 考慮 EF=EG是否成立， 31 同理可得出若 EF=EG 則 FB=BC，進(jìn)而可得出 BE 的長度， 在 Rt△ ABE中，利用勾股定理即可求出 x的值．綜上即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）設(shè)線段 MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+b， 將 M（ 30， 230）、 N（ 100， 300）代入 y=kx+b， ，解得： ， ∴ 線段 MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x+200． （ 2）分三種情況考慮： ① 考慮 FE=FG是否成立，連接 EC，如圖所示． ∵ AE=x， AD=100， GA=x+200， ∴ ED=GD=x+100． 又 ∵ CD⊥ EG， ∴ CE=CG， ∴∠ CGE=∠ CEG， ∴∠ FEG＞∠ CGE， ∴ FE≠ FG； ② 考慮 FG=EG是否成立． ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ BC∥ EG， ∴△ FBC∽△ FEG． 假設(shè) FG=EG成立，則 FC=BC成立， ∴ FC=BC=100． ∵ AE=x， GA=x+200， ∴ FG=EG=AE+GA=2x+200， ∴ CG=FG﹣ FC=2x+200﹣ 100=2x+100． 在 Rt△ CDG中， CD=100， GD=x+100， CG=2x+100， ∴ 1002+（ x+100） 2=（ 2x+100） 2， 解得： x1=﹣ 100（不合題意，舍去）， x2= ； ③ 考慮 EF=EG是否成立． 同理，假設(shè) EF=EG成立，則 FB=BC成立， 32 ∴ BE=EF﹣ FB=2x+200﹣ 100=2x+100． 在 Rt△ ABE中， AE=x， AB=100， BE=2x+100， ∴ 1002+x2=（ 2x+100） 2， 解得： x1=0（不合題意，舍去）， x2=﹣ （不合題意，舍去）． 綜上所述：當(dāng) x= 時， △ EFG是一個等腰三角形． 【點評】 本題考查了待定系數(shù)法求 一次函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（ 1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（ 2）分 FE=FG、 FG=EG及 EF=EG三種情況求出 x的值．