線性代數(shù)：二000年上半年高教育自學(xué)考試全國(guó)統(tǒng)一命題考試-預(yù)覽頁
【正文】 ?? 求所用 的正交矩陣 P. ??????????4 8 43 6 3 3 6 3 A 能否相似于對(duì)角矩陣 ?若能尋角化 ,求一個(gè)可逆矩陣 P及對(duì)角矩陣 D,使得 P1AP=0 321 , aaa 線性無關(guān)。 當(dāng) 2?a 時(shí)，得 xxx xx ( 2 23 23 21??? ??? ??是任意）， 所以 )( 112203是任意常數(shù)kkx???????????????????????? ………… 6分 或??? ????? ),( 2 21 33231 任意xxx xx 即 ).( 112021是任意常數(shù)kkx???????????????????????? ………… 6分 29． B的特征值為 ,1121 ??? ………… 2分 ………… 9分 .91)d et( 21 ?? ??B ………… 6分 30． f的矩陣為 .2 2 2 5 ???????A………… 1分 A的特征值為λ 1=7，λ 2=3， ………… 2分 對(duì)應(yīng)的特征向量依次可取為 ,) 1 ,1 ( ,) 1 ,1 ( 21 TT ??? ?? ………… 5分 故所求正交矩陣可取為 ??????? 1 1 1 121P………… 6分 31．特征多項(xiàng)式 4 8 43 6 3 3 6 3|λ|??????? AE ………… 1分 )1(2 ?? ?? A的特征值是λ 1=λ 2=0，λ 3=1………… 2分 屬于λ 1=λ 2=0，的線性無關(guān)特征向量可取為 ξ 1（ =（ 2， 1， 0） T ，ξ 2=（ 1， 0， 1） ………… 4分 屬于λ 3=1的特征向量可為ξ 3=（ 3， 3， 4） T， ………… 5分 故 A可相似于對(duì)角陣???????????100D 所求可逆矩陣 P可取為 ,4 1 03 0 13 1 2][ 321???????????? ???P 91)31( 22 ???它使得 P1AP=D…………6 分 四、證明題（本大題共 2題，每小題 5分，共 10分） ：設(shè)有數(shù) 321 , xxx 使 ,0332211 ??? ??? xxx …………1 分 即 0)()()( 331221121 ?????? axxaxxaxx 由 321 , aaa 線性無關(guān)，有 ???????????0 0 0 312121xxxxxx …………1 分 該方程組只有零解 0321 ??? xxx 故 321 , ??? 線性無關(guān)。
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