20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)411《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性》-預(yù)覽頁
【正文】 GTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 ?? 變式訓(xùn)練 2 ?? 求函數(shù) f ( x ) = 3 x2 2 ln x 的單調(diào)區(qū)間 . 解 :函數(shù)的定義域?yàn)?( 0 , + ∞ ) . f39。 ( x ) ≥ 0( 或 f39。 ( x ) = 2 +2??3在 ( 0 , 1 ) 也有 f39。但由 f ( x ) 在這個(gè)區(qū)間上遞增 ( 或遞減 ) 而僅僅得到 f39。 ( x ) = 3 ax2+ 1 . 若 a 0, 則 f39。 ( x ) = 3 a ?? +1 3 ?? ?? 1 3 ?? . 綜上可知 ,當(dāng) a 0 時(shí) , f ( x ) 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間 ,其中 f ( x ) 在區(qū)間 ∞ , 1 3 ?? , 1 3 ??, + ∞ 上是減少的 ,在區(qū)間 1 3 ??,1 3 ?? 上是增加的 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 用導(dǎo)數(shù)證明不等式 f ( x ) g ( x ) 在 ( a , b ) 上成立的一般方法 : ( 1 ) 構(gòu)造新函數(shù) F ( x ) =f ( x ) g ( x ), x ∈ ( a , b )。 ( x ) ≥ 0, 且 F ( a ) ≥ 0。 ( x ) 0 . 當(dāng) x 2 時(shí) ,??2 1, 結(jié)合 sin??2 ≤ 1, 可得 ??2 2 sin??2 2, 即 G39。 =co s2?? + si n2??co s2?? 1 x2 =si n2??co s2?? x2= tan2x x2 = ( tan x+ x ) ( tan x x ) . ∵ x ∈ 0 ,π2 , ∴ tan x x 0, ∴ f39。 ( x ) = 3 x2 a . ∵ f ( x ) 在 ( ∞ , + ∞ ) 上是增函數(shù) , ∴ f39。 ( x ) 0) 是 f ( x ) 在某區(qū)間上遞增 ( 或遞減 ) 的充要條件 ,正確的理解應(yīng)該是充分條件而非充要條件 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 正 解 : ( 1 ) 由已知 ,得 f39。 ( x ) = 3 x2 a ≤ 0 在 ( 1 , 1 ) 上恒成立 ,得 a ≥ 3 x2在 ( 1 , 1 ) 上恒成立 . ∵ 1 x 1, ∴ 3 x2 3 .∴ 只需 a ≥ 3 . 當(dāng) a= 3 時(shí) , f39。 ( x ) 0) 僅是 f ( x ) 在某個(gè)區(qū)間上遞增 ( 或遞減 ) 的充分條件 ,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù) f ( x ) 在 ( a , b ) 上遞增 ( 或遞減 ) 的充要條件應(yīng)是 f39。 ( x ) ≥ 0( 或 f39。 ( x ) 0, 所以 y= f ( x ) 在 ( a , b ) 內(nèi)遞增 .所以 f ( x ) f ( a ) ≥ 0 . 答案 : A DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) ZHONGNAN TANJIU 重難探究 1 2 3 4 5 6 2 .函數(shù) y= x ln x 在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 內(nèi)是 ( ) A .增加的 B .減少的 C .在 0 ,1e 內(nèi)是減少的 , 在 1e, 1 內(nèi)是增加的 D .在 0 ,1e 內(nèi)是增加的 , 在 1e, 1 內(nèi)是減少的 解析 : y39。 ( x ) = 3 x2 2 a x= x (3 x 2 a ) . 當(dāng) a= 0 時(shí) , f39。 ( x ) = 3 x2 2 ax . 由 y= f ( x ) 在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上遞減 ,知 3 x2 2 ax ≤ 0 在 [ 0 , 2 ] 上恒成立 . 當(dāng) x= 0 時(shí) ,由 3 x2 2 ax ≤ 0 在 [ 0 , 2 ] 上恒成立 ,得 a ∈ R . 當(dāng) x ≠ 0 時(shí) ,由 3 x2 2 ax ≤ 0 在 [ 0 , 2 ] 上恒成立 , 得 a ≥32x 在 [ 0 , 2 ] 上恒成立 .故在區(qū) 間 [ 0 , 2 ] 上 ,只需 a ≥ 32?? ma x. 又32x 在 [ 0 , 2 ] 上的最大值為 3, 故 a ≥ 3 . 綜上可知 , a 的取值范圍是 [ 3 , + ∞ ) . 答案 : [ 3 , + ∞ ) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) ZHONGNAN TANJIU 重難探究 1 2 3 4 5 6 4 .若 f ( x ) = a x 3 + b x 2 + cx + d ( a 0) 在 R 上是增函數(shù) , 則 a , b , c 的關(guān)系式是 . 解析 : f39。 ( x ) 0, 所以 f ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上是減少的 . 所以 f ( x ) f ( 1 ) = 32 0, 即 2 l n x x 12x2 0, 故 2 ln x x+12x2.
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