江西省九校聯(lián)考20xx年高考數(shù)學一模試卷（理科） word版含解析-預覽頁
【正文】 （ 2）設 X 為兩次擲 “骰子 ”的點數(shù)之差的絕對值，求隨機變量 X 的分布列和數(shù)學期望． 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列． 【分析】 （ 1）兩次點數(shù)之和為 16，即兩次的底面數(shù)字為：（ 1， 3），（ 2， 2），（ 3，1），可得 P（ A）． （ 2） X 的可能取值為 0， 1， 2， 3，利用相互獨立與古典概率 計算公式即可得出． 【解答】 解：（ 1）兩次點數(shù)之和為 16，即兩次的底面數(shù)字為：（ 1， 3），（ 2， 2），（ 3， 1）， P（ A） = = ． … （ 2） X 的可能取值為 0， 1， 2， 3 且 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ． … 則 X 的分布列為 X 0 1 2 3 P E（ X） =0 +1 +2 +3 = ． … 20．已知橢圓 C： =1（ a＞ b＞ 0）的離心率為 ， F F2 分別是橢圓的左、右焦點， M 為橢圓上除長軸端點外的任意一點，且 △ MF1F2 的周長為 4+2 ． （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）過點 D（ 0，﹣ 2）作直線 l 與橢圓 C 交于 A、 B 兩點，點 N 滿足 （ O為原點），求四邊形 OANB 面積的最大值，并求此時直線 l 的方程． 【考點】 直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程． 【分析】 （ 1）利用橢圓的離心率公式及焦點三角形的周長公式，求得 a 和 c 的值，b2=a2﹣ c2=1，即可求得橢圓方程； （ 2）確定四邊形 OANB 為平行四邊形，則 SOANB=2S△ OAB，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線 l 的方程． 【解答】 解：（ 1）由離心率為 e= = ， ① 則 △ MF1F2 的周長 l=2a+2c=4+2 ，則 a+c=2+ ， ② 則 a=2， c= ， 則 b2=a2﹣ c2=1， ∴ 橢圓 C 的方程 ； （ 2）由 ，則四邊形 OANB 為平行四邊形， 當直線 l 的斜率不存在時顯然不符合題意； 當直線 l 的斜率存在時，設直線 l 的方程為 y=kx﹣ 2， l 與橢圓交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）兩點，由 得（ 1+4k2） x2﹣ 16kx+12=0… 由 △ =162k2﹣ 48（ 1+4k2） ＞ 0，得 k2＞ ∴ x1+x2= ， x1x2= … ∵ S△ OAB= 丨 OD 丨 ?丨 x1﹣ x2 丨 =丨 x1﹣ x2 丨， ∴ 四邊形 OANB 面積 S=2S△ OAB=2 丨 x1﹣ x2 丨 =2 ， =2 ， =2 ， =8 ， … 令 4k2 ﹣ 3=t ，則 4k2=t+3（由上可知 t＞ 0）， S=8 =8 ≤8 =8 =2， 當且僅當 t=4，即 k2= 時取等號； ∴ 當 k=177。（ x） ＞ 0，則函數(shù) f（ x）在 R 上單調遞增，這與題設矛盾． ∴ a＜ 0， 令 f′（ x） ＞ 0 得 x＞ ln（﹣ a），令 f′（ x） ＜ 0 得 x＜ ln（﹣ a）， ∴ f（ x）在（﹣ ∞ ， ln（﹣ a））上單調遞減，在（ ln（﹣ a）， +∞ ）上單調遞增， ∴ f（ x）有兩個零點， ∴ fmin（ x） =f（ ln（﹣ a）） =﹣ a+aln（﹣ a）， ∴ ﹣ a+aln（﹣ a） ＜ 0，解得 a＜ ﹣ e． （ 2）證明： ∵ x1， x2 是 f（ x）的零點， ∴ ， 兩式相減得： a=﹣ ． 記 =s，則 f′（ ） =e ﹣ = [2s﹣（ es﹣ e﹣ s） ]， 設 g（ s） =2s﹣（ es﹣ e﹣ s），則 g′（ s） =2﹣（ es+e﹣ s） ＜ 0， ∴ g（ s）是減函數(shù)， ∴ g（ s） ＜ g（ 0） =0， 又 ＞ 0， ∴ f′（ ） ＜ 0． ∵ f′（ x） =ex+a 是增函數(shù)， ∴ f′（ ） ＜ f′（ ） ＜ 0． （ 3）由 得 ， ∴ e =﹣ a ， 設 P（ x0， y0），在等邊三角形 ABC 中，易知 ， y0=f（ x0）＜ 0， 由等邊三角形性質知 y0= ﹣ ， ∴ y0+ =0 ，即， ∴ ﹣ a + （ x1+x2） + =0， ∵ x1＞ 0， ∴ ， ∴ ﹣ at+ （ t2+1） + （ t2﹣ 1） =0，即（ a+ ） t2﹣ 2at+a﹣ =0， ∴ [（ a+ ） t+ ]（ t﹣ 1） =0， ∵ t＞ 1， ∴ （ a+ ） t+ =0， ∴ ， ∴ ． [選修 44：參數(shù)方程與坐標系 ] 22．以直角坐標系的原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點P 的直角坐標為（ 1， 2），點 M 的極坐標為 ，若直線 l 過點 P，且傾斜角為 ，圓 C 以 M 為圓心， 3 為半徑． （ Ⅰ ）求直線 l 的參數(shù)方程和圓 C 的極坐標方程； （ Ⅱ ）設直線 l 與圓 C 相交于 A， B 兩點，求 |PA|?|PB|． 【考點】 簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程 化成普通方程． 【分析】 （ I）根據(jù)題意直接求直線 l 的參數(shù)方程和圓 C 的極坐標方程． （ II）把 代入 x2+（ y﹣ 3） 2=9，利用參數(shù)的幾何意義，即可得出結論． 【解答】 解：（ Ⅰ ）直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），（答案不唯一，可酌情給分） 圓的極坐標方程為 ρ=6sinθ． （ Ⅱ ）把 代入 x2+（ y﹣ 3） 2=9，得 ， 設點 A， B 對應的參數(shù)分別為 t1， t2， ∴ t1t2=﹣ 7，則 |PA|=|t1|， |PB|=|t2|， ∴ |PA|?|PB|=7． [選修 45：不等式選講 ] 23．已知函數(shù) f（ x） =|x+a|+|x+ |（ a＞ 0）（ a＜ 0） （ 1）當 a=2 時，求不等式 f（ x） ＞ 3 的解集 （ 2）證明： ． 【考點】 不等式的證明；絕對值不等式的解法． 【分析】 （ 1）分類討論，解不等式，即可得出結論； （ 2） f（ m） +f（﹣ ） =|m+a|+|m+ |+|﹣ +a|+|﹣ + |，利用三角不等式，及基本不等式即可證明結論． 【解答】 解：（ 1）當 a=2 時， f（ x） =|x+2|+|x+ |，原不等式等價于 或 或 解得： x＜ ﹣ 或 x∈ ?或 ，所以不等式的解集為 {x|x＜ ﹣ 或 … （ 2） f（ m） +f（﹣ ） =|m+a|+|m+ |+|﹣ +a|+|﹣ + | = … 2017 年 4 月 4 日
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