【正文】 第 2 頁(yè) 第一章 MATLAB介紹 MATLAB 簡(jiǎn)介 MATLAB 是由美國(guó)的 Math Work 公司推出的一個(gè)為科學(xué)和工程計(jì)算而專門設(shè)計(jì)的高級(jí)交互式軟件包。進(jìn)入 20 世紀(jì) 90年代， MATLAB 已經(jīng)成為國(guó)際控制界公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件。如 x=[1 3 pi 3+5i]或者 x=[1,3,pi,3+5i]形式； 第二種 :利用冒號(hào)運(yùn)算符創(chuàng)建向量 ,基本語(yǔ)法為 X=J:INC:K，其中 J為向量的第一個(gè)元素，而 K為向量的最后一個(gè)元素， INC 為向量元素遞增的步長(zhǎng)。 1. A(n) 訪問向量的第 n個(gè)元素； 2. A([i j k])或者 A([i,j,k]) 訪問向量的第 i、 j、 k個(gè)元素； 3. A([j:k,k:1:j]) 重復(fù)訪問向量中的元素。7 8 9] 則???????????987654321A 在創(chuàng)建過(guò)程中，矩陣的元素行與行之間需要用分號(hào)“ 。7:9]。為了方便全下標(biāo)和單下標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換， MATLAB 提供了兩個(gè)函數(shù)分別完成兩者之間的相互轉(zhuǎn)換： sub2ind：根據(jù)全下標(biāo)計(jì)算單下標(biāo)。 本節(jié)主要介紹選擇結(jié)構(gòu)中的 if 語(yǔ)句，循環(huán)結(jié)構(gòu)中的 for 循環(huán)。 2. for 語(yǔ)句構(gòu)成循環(huán)的循環(huán)是最靈活、簡(jiǎn)潔的方法，不過(guò)使用 for 語(yǔ)句循環(huán)需要預(yù)先知道循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)。 MATLAB 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的基本處理單位是復(fù)數(shù)數(shù)組，并且數(shù)組維數(shù)是自動(dòng)按照規(guī)則確定的。 MATLAB 處理這類問題則簡(jiǎn)潔快捷的多，只需直接了當(dāng)?shù)囊粭l指令 )*5s in (*).*2e x p ( tty ?? ，就可獲得同樣結(jié)果。分形（ Fractal）一詞，是 Mandelbort 教授創(chuàng)造出來(lái)的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。例如，海岸線和山川形狀，從遠(yuǎn)距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。其中一些是用來(lái)描述一般隨即現(xiàn) 象的，還有一些是用來(lái)描述混沌和非線性系統(tǒng)的。在70 年代中期以前， Mandelbort 一直使用英文 fractional 一詞來(lái)表示他的分形思想。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。一般說(shuō)來(lái)， Dim(A)不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)。對(duì)分形的定義也可同樣的處理。 d. 一般，分形集的“分形維數(shù)”，嚴(yán)格大于它相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)。 分形觀念的引入并非僅是一個(gè)描述手法上的改變，從根本上講分形反映了自然界中某些規(guī)律性的東西，以植物為例，植物的生長(zhǎng)是植物細(xì)胞按一定的遺傳規(guī)律不斷發(fā)育、分裂的過(guò)程，這種按規(guī)律分裂的過(guò)程可以近似地看做是遞歸、 迭代過(guò)程，這與分形的產(chǎn)生極為相似。當(dāng)前，人們迫切需要一種能夠更好地研究、描述各種復(fù)雜自然曲線的幾何學(xué)：而分形幾何恰好可以堪當(dāng)此用。 1916 年， Hardy證明了對(duì)滿足上列條件的所有 a和 b的值， W(x)都是無(wú)處可微的。如圖 a b 圖 von Koch 曲線 Koch 雪花算法設(shè)計(jì) 不難想象，如果改變生成元 (如圖 n=0)，便可導(dǎo)至另外的曲線，圖 便是一例。我們現(xiàn)在用 P=[p0 p1 p2 p3]來(lái)記錄迭代過(guò)程中產(chǎn)生的新節(jié)點(diǎn)。p1=P(:,i+1)。 p4=[ptemp(1)*cos(pi/3)ptemp(2)*sin(pi/3)。 Ptemp(:,flag+1)=p2。這里我們將變換矩陣變?yōu)椋? ?????? ?? )4/c os ()4/s in( )4/s in()4/c os ( ?? ??A 圖 改變變換矩陣后的 Koch 雪花圖 第 11 頁(yè) 第四章 Frac_tree繪制 任意選定一個(gè)二維平面上的初始點(diǎn)坐標(biāo) (x0 ,y0 )。 function [x,y]=frac_tree(x0,y0,v,N) x=[x0。 for i=2:N vv=v(i)。 elseif vv, x(i)=*(x(i1)+y(i1))。 end end 調(diào)用此函數(shù)，我們可以由下面的 MATLAB 命令生成 10000 個(gè)這樣的點(diǎn)，并將這些點(diǎn)在 MATLAB 圖形窗口中用點(diǎn)的形式表示出來(lái)，如圖 所示。其創(chuàng)作過(guò)程如下： 令 ??? 2zz ,? ,C? z 是復(fù)變量， ? 是復(fù)常數(shù)。如此遍歷屏幕后，便畫出了一幅 Mandelbort 集。這種由數(shù)學(xué)的內(nèi)在美變成人們視覺上的美，簡(jiǎn)直是匪夷所 思?？娠@示的顏色為 K+1種。 如果 k=K，則選擇顏色 0，轉(zhuǎn)至步驟 4。在下面的程序中，用 v1， v2，來(lái)決定一個(gè)平面，用 offset 來(lái)移動(dòng)這個(gè)平面。 % p、 q 的起點(diǎn)、終點(diǎn)，決定畫圖的范圍 pmin=。 % 設(shè)收斂上界為 100 M=100。 delta_q=(qmaxqmin)/b。 u=(pmin+(i1)*delta_p).*v1+(qmin+(j1)*delta_q).*v2+offset。 % 矩陣的模 M且由 c 定義的數(shù)列的前 64 項(xiàng)都 M，則認(rèn)為 c(由 i、 j決定 )收斂，n=64， n越小收斂越快 while norm(k)M amp。 2*k(1)*k(3)。 第 15 頁(yè) out(i,j)=n。另一個(gè)建議是 v1 和 v2 最好是單位向量，否則圖形會(huì)有類似長(zhǎng)方形壓成 正方形的變形。 offset=[0 0 0 0]39。 qmax=。當(dāng)時(shí)沒有電子計(jì)算機(jī)，不能像現(xiàn)在這樣把如此美妙絕倫的圖案奉獻(xiàn)于世。 Julia 集的算法設(shè)計(jì) 選一個(gè)復(fù)數(shù) c，在對(duì) min(x , )miny 到 max(x , )maxy 平面區(qū)域內(nèi)每個(gè)點(diǎn)jyxz *00 ?? 做如下映射 zcz ??2 之后，如果變換的點(diǎn)仍有界的，則再繼續(xù)上述的映射。很顯然，用 MATLAB 處理后，如果某個(gè)映射點(diǎn)是無(wú)界的，則其值將自動(dòng)變換成 NaN，從而在圖形繪制時(shí)被剪切掉。 其中， X 和 Y 可以是 min(x , )miny 到 max(x , )maxy 平面區(qū)域內(nèi)接受某種方式分隔的網(wǎng)絡(luò)， c 為指定的常數(shù) c， n_iter 是允許最大的映射次數(shù)，返回的 W 是),(? 00 yxz 的值構(gòu)成的矩陣。[X,Y]=meshgrid(x,y)。 這樣得出的 z矩陣中有很多元素為 NaN。 pcolor(X,Y,W),shading flat。 n_iter=300。 colormap prism(256)。 n_iter=300。 axis(‘ square’ )。 (a) c= (b) c=+ 圖 參數(shù)變化時(shí)的 Julia Julia 集與 Mandelbort 集 一幅 Julia 集的圖完全依賴于常數(shù) c，所以我們常常把它簡(jiǎn)記為cJ。圖 正顯示了他們兩者之間的這種關(guān)系。 p3p p3p5 的長(zhǎng)度均為 p0p1 的 1/12。 用 MATLAB編程， 細(xì)分 8次得到的圖像如下： 第 23 頁(yè) 圖 花籃圖 總 結(jié) 初次涉足 MATLAB 和分形生成，沒能為分形理論本身的奠基揮鍬舞鎬，對(duì)設(shè)計(jì)的結(jié)果亦不敢加以斷論，但就過(guò)程而言，從中受益匪淺。 主要參考文獻(xiàn)： [1] 齊東旭 . 分形及其計(jì)算機(jī)生成 . 北京：科學(xué)出版社， 1994 [2] 李水根 . 分形 . 北京：高等教育出版社， 2020 [3] 金以文，魯世杰 . 分形幾何原理及其應(yīng)用，杭州：浙江大學(xué)出版社， 1998 [4] 張 威， MATLAB 基礎(chǔ)與編程入門，西安：西安電子科技大學(xué)出版社， 2020