第三章晶格振動(dòng)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 R R?是晶體中原子核的集體坐標(biāo)。 在平衡位置附近，簡(jiǎn)諧近似可以很好的描寫體系的勢(shì)能，而在 遠(yuǎn)離平衡位置的時(shí)候，就需要考慮Taylor級(jí)數(shù)中高階項(xiàng)（稱為非簡(jiǎn)諧項(xiàng)）的貢獻(xiàn) 。這時(shí)諧振子的位移被簡(jiǎn)正坐標(biāo)代替，簡(jiǎn)正坐標(biāo)是一種集體坐標(biāo)。 7 根據(jù) N ew t on 定律，可得到如下運(yùn)動(dòng)方程： ? ? ? ? ? ?1 1 1 12+n n n n n n n nm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 對(duì) N 個(gè)原子，可列出 N 個(gè)方程組成的聯(lián)立方程組。 2. 在格波中， aq 改變 2 ? 的整數(shù)倍，所有的原子振動(dòng)情況沒有任何變化 。考慮邊界效應(yīng)將使得方程的求解復(fù)雜化。格波的角頻率4si n2aqm?? ?，當(dāng)q 遠(yuǎn)小于a?，即 a? ?? 時(shí)，有a m q??，這時(shí) 可以把晶格看作連續(xù)介質(zhì)，把格波看作彈性波 。由 N 個(gè)原子組成的一維單原子鏈，其振動(dòng)模式為 N 個(gè)格波。 這樣利用聲子就可以描述晶格振動(dòng)的狀態(tài)。 模型描述： 一維雙原子鏈構(gòu)成的 復(fù)式晶格 ； 每個(gè)原胞包含 2個(gè)不同的原子 P 和 Q , 相鄰原子平衡間距為 a 。 原子鏈中含有 N 個(gè)原胞時(shí)，就得到 2N 個(gè)方程的聯(lián)立方程組。這個(gè)范圍就是一維雙原子鏈的B r i l l oui n 區(qū)。 同一 q 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不同的格波中，較大 ( 小 ) 的一個(gè)頻率記作? ?????，對(duì)應(yīng)的格波稱作 光學(xué)波 ( 聲學(xué)波 ) 。表明在 長(zhǎng)聲學(xué)波時(shí)，原胞中兩種原子的運(yùn)動(dòng)是完全一致的，振幅和位相都沒有差別 。 原 胞中 原子的位置, , ,12l l lR R Rn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?表示， 偏離格點(diǎn)的位移 則表示為, , ,12l l ln? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?。, ,39。 所以在 三維晶格中，對(duì)一定的波矢 q ，有 3 個(gè)聲學(xué)波， 33n ?個(gè)光學(xué)波 。 仍采用 PB C 條件，有? ? ? ? , 1 , 2 , 3 .l i i lR N R i? ? ?? ? ? 其中i?為晶格基矢，iN為沿基矢方向的原胞數(shù)。 因 此 有1 2 31 2 31 2 3h h hq b b bN N N? ? ?代表 q 空間均勻分布的點(diǎn)子，每個(gè)點(diǎn)子占據(jù)的 q 空間體積為1 2 3 ru c1 2 3b b b VN N N N??? ? ?????。 第 j 個(gè)簡(jiǎn)諧振子的 統(tǒng)計(jì)平均能量 為： ? ? 1ln 2 1jjj j jE T z e ??????? ? ? ?? ?. 第 j 個(gè)簡(jiǎn)諧振子 對(duì)體系比熱的貢獻(xiàn) 為： ? ? ? ?? ?22.1jjjjjed E TCkdT e????????? 把晶格體系看作 3N個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng) ，可以研究其熱容性質(zhì)。 Einstein 假定晶格中原子的振動(dòng)是 3N個(gè)獨(dú)立的具 有相同頻率的振動(dòng) ，得到了晶格振動(dòng)簡(jiǎn)化的 Einstein模 型。 (P125, 圖 321) 32 Debye在 Einstein模型的基礎(chǔ)上 ，把固體看作是各向同性的彈性介質(zhì)， 由于介質(zhì)中存在相互作用，晶格振動(dòng)表現(xiàn)為 彈性波。 根據(jù)振動(dòng)模式態(tài)密度函數(shù)可以直接寫出 振動(dòng)熱容量 如下 ? ?? ?? ?22 .1eC k g de???????????易知 D eb ye 模型的振動(dòng)模式態(tài)密度函數(shù) 為 : ? ? 22 3 3 3 33 1 1 1 2, 23ltVgC C C C?? ???? ? ?????。 (P132, 表 31) 36 通過合適選取 Debye溫度 ， Debye 模型在低溫時(shí)可以和實(shí)驗(yàn)符合的很好 。 ? ? ? ?? ?002231321, 3 ,23.296 , 。 P580 ，
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