代數(shù)結(jié)構(gòu)同態(tài)的方法及應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 那么在f之下 ，n=這就是說， ,n是的一個子群。那么在這個同態(tài)滿射之下的 （1）的一個子群的象是的一個子群； （2）的一個不變子群的象是的一個不變子群。假定是的任意元，是的任意元，而且在f之下， （）那么在f之下但由于是一個不變子群，n，因此由于是在f之下的象。證明：我們用f來表示給定的同態(tài)滿射（1）假定和是的任意兩個元，并且在f之下，那么由于是的逆象，因而，但在f之下所以。這樣，是的一個不變子群。證明：顯然，是的不變子群，令f: /,f: ,容易驗證f是滿的群同態(tài)映射。由同態(tài)基本定理推出，/()同構(gòu)于/。例2 設(shè)和分別是階數(shù)為m,n的循環(huán)群，當且僅當n︱m, 和同態(tài)。反之，設(shè)n︱m，=(a) , =(b),命f:則f是到的映射。例3 證明：（1）無限循環(huán)群與任何循環(huán)群同態(tài)；（2）兩個有限循環(huán)群與同態(tài)，當且僅當︱︱︱︱︱。又由︱︱=∞可知f是滿射且f()f()===f（）即f保持運算，故～。反之，若︱︱︱︱︱，n︱m，則m=nt，由于為循環(huán)群，故有t階子群。解：由同態(tài)基本定理知，g是到/的滿同態(tài)，g是自然同態(tài)， 又f是到的滿同態(tài)，故gf=h是到/的滿同態(tài)， Kerh={︱，h()}。設(shè) f()，則f()f()=h()=。對任意，我們由(hf)()=h(f())=f(),(jg)()=j(g())=j()=f()(hf)()= (jg)(), hf= jg當f()=時，是否有j是/到/的同構(gòu)映射？設(shè)f是到的滿同態(tài)，我們研究的子群與的子群之間的關(guān)系。=（，+）有無限多個子群，因任取整數(shù)，就有一個以為生成元的子群，=()，并且，若，則子群=(),即有無限多個子群，而=(),的周期為6, 只有四個子群{},{,},{,},.但～，從而存在的不同子群，使f()=f()。這個事實一般也成立。證明：G，由于f()=為G上同態(tài)映射，故有。當g()=為G上單同態(tài)映射時，由(1)我們易得==()又由于g()=為G上單映射，故=，從而=，因此G是交換群。這對于工程技術(shù)人員、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的數(shù)學基礎(chǔ)知識，有著重要的學習意義和應(yīng)用價值。同時，我還要感謝幫助過我的那些同學，是他們寶貴的建議使我能順利地完成論文的設(shè)計。所有的Y ={}的排列組是一組不同的排列組合，因為{1,2,3}是比排列不同的{}。 zh242。 sh236。fǒu gěi d236。ng yǐ mǒu zhǒng fāngsh236。, wǒmen yǒu di224。hu224。 zǔ sh236。ili232。 bǐ p225。ng de (). D224。 b249。ngsh242。n l236。i yǔ t243。o b249。 k224。窗體頂端窗體底端定義 . 如果 和 是兩個群，到的一個映射f是到的一個同態(tài)映射。例1, 設(shè)是所有實數(shù)對于普通加法作成的一個群, 是所有正實數(shù)對于普通乘法作成的一個群。 下面的乘法表 是一個 階矩陣，其項是 . … … 我們說,當我們寫一個乘法表的時候,首先列出單位元，那就是, =1。同構(gòu)的概念是這種想法規(guī)范化； 群 和 同構(gòu),設(shè)函數(shù)f: 定義為 f(1)=even 和 f(1)=odd,是一個同構(gòu)映射, 讀者可以快速驗證。因此，同構(gòu)的群基本相同，只是在為元素和符號的運算不同。 and are isomorphic, for the function f: defined by f(1)=even and f(1)=odd, is an isomorphism,as the reader can quickly check.There are many multiplication tables for a group of order , one for each of the ! list of its elements. If ,…, is a list of all the elements of with no repetitions, and if f: is a bijection, then f(),f(),…, f() is a list of all the elements of with no repetitions, and so this latter list determines a multiplication table for . That f is an isomorphism says that if we superimpose the multiplication table for (determined by ,…, ) upon the multiplication table for (determined by f(),f(),…, f(), then the tables match: if is the entry in the given multiplication table of , then f()f()=f() is the entry of the multiplication table of . In this sense, isomorphic groups have the same multiplication table. Thus, isomorphic groups are essentially the same, differing only in the notation for the elements and the operations.測定中的一個重要問題是，是否給定的兩個群體，并以某種方式相同。觀念的同態(tài)與同構(gòu)允許一個比較不同的群體，我們
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