代數(shù)結(jié)構(gòu)同態(tài)的方法及應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 ck that f is a bijection。有一階群的許多乘法表，對(duì)每一個(gè)!的列表元素。 在這個(gè)例子中, 第一行和表的第一列只是重復(fù)上面的元素，所以我們通常忽略他們。設(shè)f: , 記為 f()=, 是一個(gè)雙射 [它的反函數(shù)是g()=ln]。如果f()=f()f()對(duì)于任意的,都成立。n d224。t243。ng g242。 ). Guānni224。u bǐcǐ fēich225。t243。nsh236。ili232。 zǔh233。 yī zǔ b249。n de X =(1,2,3) de qoch225。 xiāngt243。ng de liǎng g232。 ju233。ngy224。但是，即使和不同，他們肯定承受彼此非常相似（）。最后，我也衷心地感謝各位評(píng)審本論文的專(zhuān)業(yè)老師們，感謝你們能夠抽出寶貴的時(shí)間審閱本論文。致謝在此，我衷心地感謝教育培養(yǎng)過(guò)我的老師以給我?guī)椭耐瑢W(xué)，他們循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無(wú)盡的啟迪。 當(dāng)g()=為G上滿(mǎn)同態(tài)映射時(shí)，∈G，∈G，使=，而G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換，故。即， 而f()=為群G上單映射，因此有= (1)即=，這就是說(shuō)G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換。例6 設(shè)G為群，f()=為G上單同態(tài)，其中n≥2且為自然數(shù)，則g()=。事實(shí)上，取=(4), =(10), 這是的兩個(gè)不同的子群，而f()={,}，f()={,}。我們已經(jīng)知道，若是的子群，則f()是的子群。即 Kerh，亦即f()Kerh。如果能證明Kerh= f()，則由同態(tài)基本定理，問(wèn)題獲證。顯見(jiàn)為交換群，從而其子群為正規(guī)子群。（2）設(shè)～，︱︱=m，︱︱=n。證明：（1）設(shè)=＜＞為無(wú)限循環(huán)群，=＜＞為任一循環(huán)群，則︱︱=∞，故=，當(dāng)且僅當(dāng)。因?yàn)棣颚颍磳?duì)于中的每一個(gè)元，不論其表法如何，在f下確有唯一的象，故f是到的映射。證明： 設(shè)f是到的同態(tài)映射群同態(tài)基本定理可知：/Kerf。 同態(tài)同態(tài)基本定理的運(yùn)用典型例題例1 證明：?jiǎn)稳旱耐瑧B(tài)象是單群或單位元群（即只含有一個(gè)元素的群）。看f的核，若，則f()==,即 Ker(f)。證完。這樣，是的一個(gè)子群。這樣，是的一個(gè)不變子群，證完。證明：我們用f來(lái)表示給定的同態(tài)滿(mǎn)射（1）假定和是的任意兩個(gè)元，并且在f之下， （） 那么在f之下但由于是子群，因此由于是在f之下的象?，F(xiàn)在規(guī)定一個(gè)法則g: = g() ()我們說(shuō)，這是一個(gè)/N與間同構(gòu)映射。從這里我們可以看出不變子群和商群的重要意義。 （3） f既是到的滿(mǎn)同態(tài)又是到的單一同態(tài)，則說(shuō)f是到的同構(gòu)映射，記為。四、不變子群的判別方法定理一：一個(gè)群G的一個(gè)子群N是一個(gè)不變子群的充分而且必要條件是：aNa=N對(duì)于G的任意一個(gè)元a都對(duì)。定義二： 一個(gè)有單位元的半群（G ）叫做一個(gè)群，如果G的每個(gè)元皆為正則元。而同態(tài)映射只要求保持運(yùn)算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活，它能研究?jī)蓚€(gè)不同構(gòu)的群之間的聯(lián)系。同時(shí)這種理論對(duì)于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對(duì)于二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。 group homomorphism目 錄第一章 緒論 4 4第二章 群論的基本概念 5 不變子群的判別方法 7 8第三章同態(tài)基本定理的運(yùn)用 9 9 同態(tài)同態(tài)基本定理的運(yùn)用 13結(jié) 論 19致 謝 20參 考 文 獻(xiàn) 21附錄X 譯文 22附錄Y 外文原文 25第一章 緒論代數(shù)結(jié)構(gòu)主要有群、環(huán)、域、模等。最后通過(guò)一系列典型例子進(jìn)一步討論了群同態(tài)基本定理的運(yùn)用。代數(shù)結(jié)構(gòu)同態(tài)的方法及應(yīng)用摘要本文簡(jiǎn)要介紹了群論的相關(guān)概念，其中主要介紹了群的概念、子群的概念、和不變子群的概念以及子群的判別方法和不變子群的判別方法。是同態(tài)基本定理的延伸和運(yùn)用，對(duì)群論和群同態(tài)的后續(xù)研究起到了非常重要的作用。 invariant subgroup。群論開(kāi)辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算，把從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀(guān)念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類(lèi)，使群論迅速發(fā)展成為一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)分支，對(duì)近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。代數(shù)中最基本與最重要的課題就是搞清楚各種代數(shù)體系在同構(gòu)意義下的分類(lèi)。第二章 群論的基本概念定義一： 設(shè)G是一個(gè)非空集合，是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果滿(mǎn)足以下條件： 1 .結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a,b,c都有 (ab)c=a(bc)； 2 .G中有元素e，叫做G的左單位元，它對(duì)G中每個(gè)元素a都有 ea=a； 3 .對(duì)G中每個(gè)元素a在G中都有元素啊a，叫做a的左逆元，使aa=e；則稱(chēng)G對(duì)代數(shù)運(yùn)算做成一個(gè)群。二、子群的判別方法定理一：一個(gè)群G的一個(gè)不空子集H作成G的一個(gè)子群的充分而且必要條件是： 1．a(chǎn),bHabH2. aH aH定理二：一個(gè)群G的一個(gè)不空子集H作成G的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：3. a,bH abH定理三：一個(gè)群G的一個(gè)不空子集H作成G的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：a,bH abH三、不變子群的定義：一個(gè)群G的一個(gè)子群N叫做一個(gè)不變子群，假如對(duì)于G的每一個(gè)元a來(lái)說(shuō)都有Na=aN一個(gè)不變子群N的一個(gè)左（或右）陪集叫做N的一個(gè)陪集。 （2）若到的同態(tài)映射f是到的單射，則說(shuō)f是到的單一同態(tài)。我們知道，當(dāng)群和同態(tài)的時(shí)候，的性質(zhì)并不同的完全一樣，但定理后面部分告訴我們，這時(shí)我們一定找得到的一個(gè)不變子群N，使得的性質(zhì)和商群/N的完全一樣。 (2) 我們用f來(lái)表示給的同態(tài)滿(mǎn)射，假定和是的任意兩個(gè)元，那么在f之下，因此， =這就是說(shuō)， ，是的一個(gè)子群，假定,，而且在f之下，
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