【正文】 在點(diǎn)集中也可借這一距離定義極限，究竟什么是距離呢？設(shè)是一個(gè)集合，若對于中任意兩個(gè)元素，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，而且這一對應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：的充要條件為；對任意都成立，則稱是之間的距離，稱為度量空間或距離空間. 中的元素稱為點(diǎn)，條件稱為三點(diǎn)不等式.距離有對稱性，在三點(diǎn)不等式中取，并由條件知 由和的次序是任意的，故同樣可證，這就得到.如果是度量空間，是的一個(gè)非空子集，則也是一個(gè)度量空間，稱為的子空間.下面我們只討論歐式空間，對于其他度量空間的例子將在第七章給出.對于中任意兩點(diǎn) 規(guī)定距離，.由柯西（Cauchy）不等式得到令 ，則代入上面不等式即為三點(diǎn)不等式.稱為維歐氏空間，其中稱為歐幾里得距離.此外，在中還可以用下面方法定義其他距離：容易驗(yàn)證，在一個(gè)集合中引入距離的方法可以不限于一種.下面我們將考察中的極限、開集、閉集、緊集等一系列概念，它們的基礎(chǔ)都是鄰域，而鄰域則依靠距離 .我們從定義鄰域的概念開始.定義1 中所有和定點(diǎn)之距離小于定數(shù)的點(diǎn)的全體，即集合稱為點(diǎn)之鄰域,稱為鄰域的中心,，也干脆說是的一個(gè)鄰域，在中的，就是以為中心為半徑的開區(qū)間，開圓和開球.容易證明鄰域具有下面的基本性質(zhì)：(1) ；(2)對于和，存在；(3)對于，存在；(4)對于，存在和，使.定義2 設(shè)為中一點(diǎn)列，若果當(dāng)時(shí)有，：對于的任一鄰域，存在某個(gè)自然數(shù)，使當(dāng)時(shí)，.定義3 兩個(gè)非空的點(diǎn)集的距離定義為定義4 一個(gè)非空點(diǎn)集的直徑為 定義5 設(shè)為中一點(diǎn)集，如果，則稱為有界點(diǎn)集（空集也成為有界點(diǎn)集）.顯然，為有界點(diǎn)集的充要條件是存在常數(shù)，使對于所有的，都有即存在常數(shù)，對于所有有，這里，稱為維空間的原點(diǎn).定義6 點(diǎn)集稱為一個(gè)開區(qū)間（維），如將其中不等式一律換成（或），則稱之為一個(gè)閉區(qū)間（或左開右閉區(qū)間）.當(dāng)上述各種區(qū)間無區(qū)別的必要時(shí)，統(tǒng)稱為區(qū)間，“邊長”， 稱為的“體積”，記為.167。例如整個(gè)空間是閉集，空集是閉集。2 定理3，從而是閉集.定理2 （開集與閉集的對偶性） 設(shè)是開集，則是閉集；設(shè)是閉集，則是開集。也就是說，如果定義了開集，閉集也就隨之確定。）則 是閉集，而不是閉集例 ，存在兩個(gè)互不相交的開集，,使.證明 （1）對任何 ，有 。 仍然覆蓋了，則由 , m) ,由(*)式得, 因此不是的聚點(diǎn), 所以,這說明,即是閉集.定理5及定理6說明，在中緊集與有界閉集是一致的。例如，空集是自密集，中有理數(shù)全體所組成的集是自密集.定義5 設(shè) ，如果 則稱為完備集或完全集完備集就是自密閉集，也就是沒有孤立點(diǎn)的閉集。4 直線上的開集、閉集及完備集的構(gòu)造本節(jié)中我們將討論直線上（即中）開集與閉集的構(gòu)造。為此先引入構(gòu)成區(qū)間的概念。（開集不一定是開區(qū)間，開區(qū)間一定是開集）定理1 （開集構(gòu)造定理） 直線上任一個(gè)非空開集可以表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的構(gòu)成區(qū)間的和集。這時(shí)必有一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)在另一個(gè)區(qū)間內(nèi)，例如，但 ，這和矛盾。（2）開集中任何一點(diǎn)必含在一個(gè)構(gòu)成區(qū)間中。顯然。因此，由此順便得到。由（2），它應(yīng)是G；由（1），G必定是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的構(gòu)成區(qū)間的和集。我們又可以得到閉集的構(gòu)造如下。完備集是沒有孤立點(diǎn)的閉集，所以，完備集就是沒有相鄰接的余區(qū)間的閉集。又把這兩個(gè)閉區(qū)間各三等分，去掉中間的兩個(gè)開區(qū)間，即 。注記：當(dāng)n1時(shí)，中的開集一般不能表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間（n維）的和，但總可表示成可數(shù)個(gè)互不相交的半開半閉（例如左開右閉）區(qū)間之和，不過這種表示法沒有唯一性（在 中一個(gè)開集只能用一種方式表示成構(gòu)成區(qū)間之和）。1 度量空間，維歐式空間讓我們回憶數(shù)學(xué)分析中的極限概念，在定義數(shù)列的極限時(shí)，那么所謂中數(shù)列收斂于，就意味著和之間的距離隨而趨近于，即這使我們想到，在一般的點(diǎn)集中如果也有“距離”，那么在點(diǎn)集中也可借這一距離定義極限，究竟什么是距離呢？設(shè)是一個(gè)集合，若對于中任意兩個(gè)元素，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，而且這一對應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：的充要條件為；對任意都成立，則稱是之間的距離，稱為度量空間或距離空間. 中的元素稱為點(diǎn)，條件稱為三點(diǎn)不等式.距離有對稱性，在三點(diǎn)不等式中取，并由條件知 由和的次序是任意的，故同樣可證，這就得到.如果是度量空間，是的一個(gè)非空子集，則也是一個(gè)度量空間，稱為的子空間.下面我們只討論歐式空間，對于其他度量空間的例子將在第七章給出.對于中任意兩點(diǎn) 規(guī)定距離，.由柯西（Cauchy）不等式得到令 ，則代入上面不等式即為三點(diǎn)不等式.稱為維歐氏空間，其中稱為歐幾里得距離.此外，在中還可以用下面方法定義其他距離：容易驗(yàn)證，在一個(gè)集合中引入距離的方法可以不限于一種.下面我們將考察中的極限、開集、閉集、緊集等一系列概念，它們的基礎(chǔ)都是鄰域，而鄰域則依靠距離 .我們從定義鄰域的概念開始.定義1 中所有和定點(diǎn)之距離小于定數(shù)的點(diǎn)的全體，即集合稱為點(diǎn)之鄰域,稱為鄰域的中心,，也干脆說是的一個(gè)鄰域，在中的，就是以為中心為半徑的開區(qū)間，開圓和開球.容易證明鄰域具有下面的基本性質(zhì)：(1) ；(2)對于和，存在；(3)對于，存在；(4)對于，存在和，使.定義2 設(shè)為中一點(diǎn)列，若果當(dāng)時(shí)有，：對于的任一鄰域，存在某個(gè)自然數(shù)，使當(dāng)時(shí)，.定義3 兩個(gè)非空的點(diǎn)集的距離定義為定義4 一個(gè)非空點(diǎn)集的直徑為 定義5 設(shè)為中一點(diǎn)集，如果，則稱為有界點(diǎn)集（空集也成為有界點(diǎn)集）.顯然，為有界點(diǎn)集的充要條件是存在常數(shù)，使對于所有的，都有即存在常數(shù)，對于所有有，這里，稱為維空間的原點(diǎn).定義6 點(diǎn)集稱為一個(gè)開區(qū)間（維），如將其中不等式一律換成（或），則稱之為一個(gè)閉區(qū)間（或左開右閉區(qū)間）.當(dāng)上述各種區(qū)間無區(qū)別的必要時(shí)，統(tǒng)稱為區(qū)間，“邊長”， 稱為的“體積”，記為.167。對任給，令為所有可以覆蓋的開集族的一列子集， 則，且，所以 .例2 對于區(qū)間有.證明：（1），存在開區(qū)間，使得且 由外測度的單調(diào)性，有，從而，由的任意性，有. 下證對任給，存在一列開區(qū)間 使 且由有限覆蓋定理，在中存在有限多個(gè)區(qū)間，不妨設(shè)為使得因?yàn)?，于此為區(qū)間，有初等幾何易知故由的任意性，即得于是. （2） 設(shè)為任意區(qū)間 ，作閉區(qū)間及使且（可取為的閉包），則由的任意性，即得.167。3可測集類定義：設(shè)是上的一個(gè)集合類，如果，且對于可數(shù)并及做差運(yùn)算(由德摩根公式，對可數(shù)交及余集運(yùn)算)是封閉的，則稱為上的一個(gè)代數(shù).例：中可測集合體所成的集合類是一個(gè)代數(shù).是上的一族代數(shù)，交集則仍是上的一個(gè)代數(shù).定義：設(shè)是中某些集合組成的集族，稱上所有包含的代數(shù)的交集為生成的代數(shù).例：中所有點(diǎn)集組成的集合類是一個(gè)代數(shù).定義：由中所有開集生成的代數(shù)記為，并稱中的集合為博雷爾集.注：開集、閉集都是博雷爾集.所有開集組成集合記作定義：設(shè)集合可表示為一列開集的交集，即，則稱為型集.設(shè)集合可表示為一列閉集的并集，即，則稱為型集.注：型集不一定是開集，型集不一定是閉集.和是博雷爾集.定理：凡外測度為零之集皆可測，稱為零測度集.零測度集的任何子集仍為零測度集.有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測度集的和集仍為零測度集.證明：對任意點(diǎn)集，下證：因?yàn)椋河赏鈧?cè)度的可數(shù)可加性所以：又因?yàn)椋?所以：所以：所以：所以：從而可測。1可測函數(shù)及其性質(zhì)聲明： 上的實(shí)函數(shù)可以取，也稱為非真正的實(shí)數(shù)，.注：有界函數(shù)必是有限函數(shù)，但反之不真. 有界函數(shù)：均有.規(guī)定： 是全體有限實(shí)數(shù)的上確界，是全體有限實(shí)數(shù)的下確界；（為任何有限實(shí)數(shù)）.從而對于上（下）方無界的遞增（減）數(shù)列，總有 .對于任何有限實(shí)數(shù)，，對于任何有限實(shí)數(shù) ， ，，. 反之，都認(rèn)為是無意義的. 一個(gè)定義在上的實(shí)函數(shù)確定了的一組子集 （簡記作），定義1 ，都是可測集，則稱為定義在上的可測函數(shù).定理1 設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，下列任一條件都是在上可測的充要條件：⑴ 對任何有限實(shí)數(shù)，都可測；⑵ 對任何有限實(shí)數(shù)，都可測；⑶ 對任何有限實(shí)數(shù)，都可測；⑷ 對任何有限實(shí)數(shù)， ，都可測（但充分條件要假定是有限函數(shù)）.證明 與對于是互余的，同樣與對于也是互余的，故在前三個(gè)條件中，只需要證明⑴的充要性. 事實(shí)上，易知 ，在上可測，對于，可測，則可測，由可測集的性質(zhì)知， 可測. 由⑴可知，可測，則可測. 可測.⑷ (若不是有限函數(shù)，）即為有限函數(shù)時(shí)，推論 設(shè)在上可測，則總可測，不論是有限實(shí)數(shù)或.證明 只需注意，.例1 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是可測函數(shù).（不限于區(qū)間或域）上的連續(xù)函數(shù)是怎樣定義的.定義2 定義在上的實(shí)函數(shù)稱為在連續(xù)，如果有限，而且對于的任一領(lǐng)域，存在的某領(lǐng)域，使得，即只要且時(shí)，則稱在上連續(xù). （一個(gè)函數(shù)在其定義域中的每一個(gè)孤立點(diǎn)都是連續(xù)的.）定理2 可測集上的連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù).（反之不然，反例，狄利克萊函數(shù)）證明： 設(shè)，則由連續(xù)性假設(shè)，存在的某領(lǐng)域，使.因此，令，則 .反之，顯然有，因此（因?yàn)樗且蛔彘_集之并），而為可測集，故其交仍為可測集.定理3 ⑴設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，而為E的可測子集，則看作定義在上的函數(shù)時(shí)，它是上的可測函數(shù)；⑵設(shè)定義在有限個(gè)可測集的并集上，且在每個(gè)上都可測，則在上也可測.證明 ⑴對于任何有限數(shù)，.由假設(shè)等式右邊是可測集.⑵ 是可測集而且對于有限數(shù)，有.由假設(shè)等式右邊也是可測集.定義3 設(shè)的定義域可分為有限個(gè)互不相交的可測集，,使在每個(gè)上都等于某常數(shù)，則稱為簡單函數(shù).例如，在區(qū)間上的狄利克萊函數(shù)便是簡單函數(shù).定義在可測集上的常值函數(shù)顯然是可測的，.引理 設(shè)與為上的可測函數(shù)，則與都是可測集.證明 因，亦即，則必存在有理數(shù)，使，亦即，反之亦然.因此，設(shè)有理數(shù)全體為則，但由定理1，等式右邊顯然是可測集.定理4 設(shè)，在上可測，則下列函數(shù)（假定它們在上有意義）皆在上可測；⑴； ⑵； ⑶； ⑷證明：我們先對⑴和⑷中當(dāng)（有限常數(shù)）時(shí)的特殊情形進(jìn)行證明.關(guān)于只需注意. 由定義1知，可測.關(guān)于，則當(dāng)時(shí)，顯然是可測的；當(dāng)時(shí)只需注意⑴ ，右邊括弧中的是可測函數(shù)（它是上述⑴，⑷特殊情形的結(jié)合），故由引理知右邊是可測集.⑵ ⑶ ⑷ 定理5 設(shè)是上一列（或有限個(gè)）可測函數(shù)，則與都在上可測.證明 由于 ， 而得證.定理6 設(shè)是上一列可測函數(shù)，則，也在上可測，特別當(dāng)存在時(shí)，它也在上可測.證明 由于 ， ，重復(fù)利用定理5即得證.設(shè)是定義在上的實(shí)函數(shù)，令則和都是上非負(fù)函數(shù)，我們有 ，.注：1..，易知它們分別是，某個(gè)實(shí)函數(shù)的正部及負(fù)部的充要條件是.，則也是上的可測函數(shù).，.定理7 （可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系）（1） 若在上非負(fù)可測，則存在可測簡單函數(shù)列，使得對任意,，且；（2） 若在上可測，則存在可測簡單函數(shù)列，使得對任意，若還在上有界，則上述收斂是一致的.證明 （1），將劃分為等份，令 ；作函數(shù)列則是簡單函數(shù)，且.設(shè)，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，于是對任意的，.（2） 若是一般的可測函數(shù)，則，（1），存在可測簡單函數(shù)列和，使得對任意，.令，則是可測簡單函數(shù)列，且對任意，.若在有界，設(shè)，則由（1）的證明可知，任意對，，因此，從而在上一致收斂于.定義4 設(shè)是一個(gè)與幾何的點(diǎn)有關(guān)的命題，如果存在的子集，滿足，使得在上恒成立，也就是說，是零測度集，則我們稱在上幾乎處處成立，.例2 ；上的狄利克雷函數(shù) .注意：根據(jù)零測度性質(zhì)，.例3 ，.167。3 可測函數(shù)的構(gòu)造在167。1定理6，和都是上可測函數(shù). 顯然是收斂到的點(diǎn)所組成的集，..[0,1]中的不可測集，令問在[0,1]上是否可測？||是否可測？解： ，.當(dāng)時(shí)，是連續(xù)函數(shù)，所以在上是可測的.4. ，而 ，則對任意的存在常數(shù)c與可測集，, 證明： 由題意，都是零測集，令，則任意，.因此，..，對任意，而.5. 設(shè)，證明對任意的，存在和M0，使得，且對任意證明： 由題意，根據(jù)魯津定理，對，在閉集上連續(xù)，在上有界 .對.6. 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，上的可測函數(shù)，則是可測函數(shù).證明： 記由于在上連續(xù)，故對任意實(shí)數(shù)，其中是其構(gòu)成區(qū)間（可能是有限個(gè)，可能為，可能為）.因此，因?yàn)樵谏峡蓽y，因此都可測，故可測.7. 設(shè)函數(shù)列在有界集上“基本上”一致收斂于，.證明： 因?yàn)樯稀盎旧稀币恢率諗坑?，所以對任意，存在可測集，則對任意（因?yàn)樯鲜諗浚?，所?