中考數學二輪復習專題二解答重難點題型突破題型六二次函數與幾何圖形綜合題課件-預覽頁
【正文】 2 55， －55) 或 (5 ＋2 55，55) 時 ， 以點 B ， D ， M ，N 為頂點的四邊形是菱形 . 【例 2 】 ( 2022 ta n ∠ PFN ＝ FN ， ∴∠ OAD2＝ 45176。 深圳 ) 如圖 ， 拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ 2 經過點 A ( － 1 ，0 ) ， B (4 ， 0 ) ， 交 y 軸于點 C ； (1) 求拋物線的解析式 ( 用一般式表示 ) ； (2) 點 D 為 y 軸右側拋物線上一點 ， 是否存在點 D 使 S △ABC＝23S△ ABD ？若存在請直接給出點 D 坐標；若不存在請說明理由； (3) 將直線 BC 繞點 B 順時針旋轉 45176。 ， ∴∠ C F B ＝ 45176。河南 )如圖 ， 邊長為 8的正方形 OABC的兩邊在坐標軸上 ， 以點 C為頂點的拋物線經過點 A， 點 P是拋物線上點 A， C間的一個動點 (含端點 )， 過點 P作 PF⊥ BC于點 F， 點 D、 E的坐標分別為 (0， 6)、 (－ 4， 0)， 連接 PD、 PE、 DE. (1)請直接寫出拋物線的解析式； (2)小明探究點 P的位置發(fā)現：當 P與點 A或點 C重合時 ， PD與 PF的差為定值 ， 進而猜想：對于任意一點 P， PD與 PF的差為定值 ， 請你判斷該猜想是否正確 ， 并說明理由； (3)小明進一步探究得出結論：若將 “ 使 △ PDE的面積為整數 ” 的點 P記作“ 好點 ” ， 則存在多個 “ 好點 ” ， 且使 △ PDE的周長最小的點 P也是一個 “好點 ” ． 請直接寫出所有 “ 好點 ” 的個數 ， 并求出 △ PDE周長最小時 “ 好點” 的坐標 ． 解： ( 1 ) ∵ 邊長為 8 的正方形 OA BC 的兩邊在坐標軸上 ， 以點 C 為頂點的拋物線經過點 A ， ∴ C ( 0 ， 8 ) ， A ( － 8 ， 0 ) ， 設拋物線解析式為： y ＝ ax2＋ c ， 則??? c ＝ 864 a ＋ c ＝ 0， 解得?????a ＝－18c ＝ 8， ∴ 拋物線的解析式為： y ＝－18x2＋ 8 ； (2) 正確． 理由：設 P ( a ， －18a2＋ 8) ， 則 F ( a ， 8 ) ， ∵ D (0 ， 6 ) ， ∴ PD ＝ a2＋（18a2－ 2 ）2＝ （18a2＋ 2 ）2＝18a2＋ 2 ， PF ＝ 8 － ( －18a2＋ 8) ＝18a2， ∴ PD － PF ＝ 2 ； ( 3) 好點共 11 個； 在點 P 運動時 ， DE 的大小不變 ， ∴ PE 與 PD 的和最小時 ， △ PD E 的周長最小 ， ∵ PD － PF ＝ 2 ， ∴ PD ＝ PF ＋ 2 ， ∴ PE ＋ PD ＝ PE ＋ PF ＋ 2 ， 當 P ， E ， F 三點共線時 ， PE ＋ PF 最小 ， 此時 ， 點 P ， E 的橫坐標為－ 4 ， 將 x ＝－ 4 代入 y ＝－18x2＋ 8 ， 得 y ＝ 6 ， ∴ P ( － 4 ， 6 ) ， 此時 △ P D E 周長最小 ， 且 △ P D E 的面積為 12 ， 點 P 恰好為 “ 好點 ” ， ∴△ PD E 周長最小時點 P 的坐標為 ( － 4 ， 6 ) ． △ P D E 的面積 S ＝－14x2－ 3 x ＋ 4 ＝－14( x ＋ 6)2＋ 13. 由于－ 8 ≤ x ≤ 0 ， 可得 4 ≤ S ≤ 13 ， 所以 S 的整數值為 10 個 ， 由圖象可知 ， 當 S ＝ 12 時 ， 對應的 “ 好點 ” 有 2 個 ， 所以 “ 好點 ” 共有 11 個． 【 對應訓練 】 1． (2022蘇州 )如圖 ， 二次函數 y＝ x2＋ bx＋ c的圖象與 x軸交于 A、 B兩點， 與 y軸交于點 C， OB＝ D在函數圖象上 ， CD∥ x軸 ， 且 CD＝ 2， 直線 l是拋物線的對稱軸 ， E是拋物線的頂點 ． (1)求 b、 c的值； (2)如圖 ① ， 連接 BE， 線段 OC上的點 F關于直線 l的對稱點 F′恰好在線段 BE上 ， 求點 F的坐標； (3)如圖 ② ， 動點 P在線段 OB上 ， 過點 P作 x軸的垂線分別與 BC交于點 M，與拋物線交于點 ：拋物線上是否存在點 Q， 使得 △ PQN與 △ APM的面積相等 ， 且線段 NQ的長度最小 ？ 如果存在 ， 求出點 Q的坐標；如果不存在 ，說明理由 ． 解： ( 1) ∵ CD ∥ x 軸 ， CD ＝ 2 ， ∴ 拋物線對稱軸為 x ＝ 1. ∴ －b2＝ 1 ， b ＝－ 2. ∵ OB ＝ OC ， C (0 ， c ) ， ∴ B 點的坐標為 ( － c ， 0 ) ， ∴ 0 ＝ c2＋ 2 c ＋ c ， 解得 c ＝－ 3 或 c ＝ 0( 舍去 ) ， ∴ c ＝－ 3 ； (2)設點 F的坐標為 (0， m)． ∵ 對稱軸為直線 x＝ 1， ∴ 點 F關于直線 l的對稱點 F′的坐標為 (2， m)． 由 (1)可知拋物線解析式為 y＝ x2－ 2x－ 3＝ (x－ 1)2－ 4， ∴ E(1， － 4)， ∵ 直線 BE經過點 B(3， 0)， E(1， － 4)， ∴ 利用待定系數法可得直線 BE的表達式為 y＝ 2x－ 6. ∵ 點 F在 BE上 ， ∴ m＝ 2 2－ 6＝－ 2， 即點 F的坐標為 (0， － 2)； (3) 存在點 Q 滿足題意． 設點 P 坐標為 ( n ， 0 ) ， 則 PA ＝ n ＋ 1 ， PB ＝ PM ＝ 3 － n ， PN ＝－ n2＋ 2 n ＋ 3. 作 QR ⊥ PN ， 垂足為 R ， ∵ S △PQ N＝ S △AP M， ∴12( n ＋ 1)(3 － n ) ＝12( － n2＋ 2 n＋ 3) ， 當 ∠ BNP ＝ 90176。 ， 得到 △ BA D . ① 求點 D 的坐標； ② 判斷四邊形 AD BC 的形狀 ， 并說明理由； (3) 在該拋物線對稱軸上是否存在點 P ， 使 △ BM P 與 △ BA D 相似？若存在 ，請直接寫出所有滿足條件的 P 點的坐標；若不存在 ， 請說明理由． 1 ． 解： ( 1) 當 y ＝ 0 時 ， 0 ＝－12x2＋32x ＋ 2 ， 解得： x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ 4 ， 則 A ( － 1 ， 0 ) ， B (4 ， 0 ) ， 當 x ＝ 0 時 ， y ＝ 2 ， 故 C (0 ， 2 ) ； ( 2) ① 如解圖 ， 過點 D 作 DE ⊥ x 軸于點 E ， ∵ 將 △ A BC 繞 AB 中點 M 旋轉 1 80176
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