【正文】 ). ① 當(dāng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (3,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . 35 145∵ 點(diǎn) P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4,m2=? . 當(dāng) m=4時 ,點(diǎn) P與點(diǎn) H重合 ,不符合題意 , ∴ m=? . ② 當(dāng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (5,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . ∵ 點(diǎn) P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4(舍 ),m2=? .∴ m=? . 2 8,24m m m?????????35 1452 84mm? 35 2m???????14514514553 2232 8,24m m m?????????53 2232 84mm? 53 2m???????223223223綜上 ,m=? 或 m=? . 故拋物線的解析式為 y=x2? x+? 或 y=x2? x+? . 145 223145 285 223 4436.(2022寧夏 ,24,8分 )已知點(diǎn) A(? ,3)在拋物線 y=? x2+? x上 ,設(shè)點(diǎn) A關(guān)于拋物線對稱軸對稱的 點(diǎn)為 B. (1)求點(diǎn) B的坐標(biāo) 。 (2)連接 AC,CD,BD,BC,設(shè)△ AOC,△ BOC,△ BCD的面積分別為 S1,S2和 S3,用等式表示 S1,S2,S3之間 的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。OC=? 13=? , S2=? CD=? 3? ? =3, S1+S3=? +3=? , ∴ S2=S1+S3.? (7分 ) (3)存在點(diǎn) M,使得 ∠ AMN=∠ ACM. 設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (m,0),1m3, 則 MA=m(1)=m+1. 在 Rt△ AOC中 ,AC=? . ∵ MN∥ BC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ AN=? (m+1). ∵∠ AMN=∠ ACM,∠ MAN=∠ CAM,∴ △ AMN∽ △ ACM, 212 12 3212 12 9212 122 232 9210AMAN ABAC 1mAN? 410104∴ ? =? ,∴ (m+1)2=? (2)點(diǎn) P為線段 AB上方拋物線上的任意一點(diǎn) ,過點(diǎn) P作 AB的垂線交 AB于點(diǎn) H,點(diǎn) F為 y軸上一點(diǎn) ,當(dāng) △ PBE的面積最大時 ,求 PH+HF+? FO的最小值 。,過點(diǎn) F39。( BH+EN) =? (t2+4tt)(31) =t2+3t. 當(dāng) t=? 時 ,△ PBE的面積取得最大值 ,此時點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? ,H的坐標(biāo)為 ? . ∴ PH=? .? (5分 ) 過原點(diǎn) O在 y軸左側(cè)作射線 OJ,使 ∠ COJ=30176。,∴∠ CHK=30176。=CF=? ,∠ QCF39。S2(5,3)。設(shè)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (x,y),求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍 。. 當(dāng)四邊形 ABDF是平行四邊形時 ,AF=DB, ∵ FQ∥ y軸 , ∴∠ HMF=∠ AFQ. ∵ AF∥ BD, ∴∠ HMF=∠ HBD,∴∠ AFQ=∠ DBH, ∴ Rt△ FQA≌ Rt△ BHD,∴ AQ=DH=2m,FQ=BH, ∴ 點(diǎn) F的橫坐標(biāo)為 3m,縱坐標(biāo)為 ? m2? m1, ∴ FQ=? m2? m1(m2m)=? m2? m1. ∵ D(2m,m2m1),B(0,m), 14 1294 3294 32 54 12∴ BH=m2m1(m)=m21,∴ ? m2? m1=m21,解得 m=2或 m=0(舍去 ), ∴ 當(dāng) m=2時 ,以 A,B,D,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 . 54 12方法指導(dǎo) 在第 (3)問中 ,利用平行四邊形的性質(zhì)證明 Rt△ FQA≌ Rt△ BHD,得到 FQ=BH,用含 m 的代數(shù)式表示線段 FQ和 BH的長度 ,列方程求出 m的值 . 3.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)與直線 y=x+1相交于 A(1,0),B (4,m)兩點(diǎn) ,且拋物線經(jīng)過點(diǎn) C(5,0). (1)求拋物線的解析式 。? (6分 ) 若 P在 A左側(cè) ,則 PE=x+1+x24x5,ED=x1, ∵ PE=2ED,∴ x+1+x24x5=2(x1),解得 x1=2,x2=1,這種情況不存在 ,應(yīng)舍去 。 (3)點(diǎn) G是線段 CE的中點(diǎn) ,將拋物線 y=? x2? x? 沿 x軸正方向平移得到新拋物線 y39。的對稱軸上 ,是否存在點(diǎn) Q,使得△ FGQ為等腰三角形 ?若存在 , 直接寫出點(diǎn) Q的坐標(biāo) 。, ∴∠ OCD=∠ DCB=30176。若不存在 , 請說明理由 . 解析 (1)∵ C1與 C2關(guān)于 y軸對稱 , ∴ C1與 C2的交點(diǎn)一定在 y軸上 ,且 C1與 C2的形狀、大小均相同 , ∴ a=1,n=3.? (2分 ) ∴ C1的對稱軸為直線 x=1. ∴ C2的對稱軸為直線 x=1. ∴ m=2.? (3分 ) ∴ C1:y=x22x3,C2:y=x2+2x3.? (4分 ) (2)令 C2中 y=0,則 x2+2x3=0. 解之 ,得 x1=3,x2=1. ∴ A(3,0),B(1,0).? (6分 ) (3)存在 .設(shè) P(a,b),則 Q(a+4,b)或 (a4,b).? (7分 ) ① 當(dāng) Q(a+4,b)時 ,得 : a22a3=(a+4)2+2(a+4)3. 解之 ,得 a=2. ∴ b=a22a3=4+43=5. ∴ P1(2,5),Q1(2,5).? (9分 ) ? ② 當(dāng) Q(a4,b)時 ,得 : a22a3=(a4)2+2(a4)3. 解之 ,得 a=2. ∴ b=443=3. ∴ P2(2,3),Q2(2,3). 綜上所述 ,所求點(diǎn)的坐標(biāo)為 P1(2,5),Q1(2,5)。 (2)如圖 1,過定點(diǎn)的直線 y=kxk+4(k0)與拋物線 L交于點(diǎn) M、 △ BMN的面積等于 1,求 k的值 。( yMyN)=1. ∴ ? 當(dāng) m=2時 ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,1)和 (0,2). 2 2 220,3??????19 132 2 220,3??????2.(2022廣西南寧 ,26,10分 )如圖 ,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn) O,頂點(diǎn)為 A(1,1),且與直線 y=x2交于 B,C兩 點(diǎn) . (1)求拋物線的解析式及點(diǎn) C的坐標(biāo) 。. ∴∠ ABC=∠ CBF+∠ ABE=90176。 ③ 當(dāng)點(diǎn) M在第四象限時 ,ON=a,MN=a22a, 當(dāng) ? =? 時 ,解得 a9=0(舍去 ),a10=5,∴ N3(5,0), 當(dāng) ? =3時 ,解得 a11=0(舍去 ),a12=? ,∴ N4? . 綜上所述 ,存在 N1? ,N2(1,0),N3(5,0),N4? 使得以點(diǎn) O,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ ABC相似 . ABBC 13NOMN 132 2aaa?? 132 2aaa?? 53 5 ,03??????2 2aaa?? 132 2aaa?? 532 2aaa? 132 2aaa? 73 7 ,03??????5 ,03?????? 7 ,03??????? (10分 ) 解法二 :存在 .如圖 ,∵ 過點(diǎn) N作 MN⊥ x軸于點(diǎn) N,與拋物線交于點(diǎn) M,∴∠ ABC=∠ MNO=90176。 ④ 當(dāng) ? =? 時 ,解得 a7=0(舍去 ),a8=5,∴ N4(5,0). 綜上所述 ,存在 N1? ,N2? ,N3(1,0),N4(5,0)使得以點(diǎn) O,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ ABC相似 . ? (10分 ) 2 2aaa?? 73 7 ,03??????2 2aaa?? 132 2aaa?? 135 ,03??????7 ,03??????考點(diǎn)四 二次函數(shù)在實(shí)際生活 (生產(chǎn) )中的應(yīng)用 1.(2022遼寧沈陽 ,15,3分 )如圖 ,一塊矩形土地 ABCD由籬笆圍著 ,并且由一條與 CD邊平行的籬 笆 EF分開 .已知籬笆的總長為 900 m(籬笆的厚度忽略不計(jì) ),當(dāng) AB= m時 ,矩形土地 ABCD的面積最大 . ? 答案 150 解析 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB∥ CD,AB=CD,AD∥ BC,AD=BC, 又 ∵ EF∥ CD,∴ 四邊形 CDEF是平行四邊形 ,∴ EF=CD, 設(shè) AB=x,則 EF=CD=x,∵ 籬笆總長為 900 m,∴ AD=BC=? (0x300), ∴ S矩形 ABCD=AB(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍 ) (3)預(yù)計(jì)在今后的銷售中 ,銷量與單價仍然存在 (2)中的關(guān)系 ,且該產(chǎn)品的成本是 20元 /件 .為使工 廠獲得最大利潤 ,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少 ? 單價 (元 /件 ) 30 34 38 40 42 銷量 (件 ) 40 32 24 20 16 解析 (1)? =.? (2分 ) (2)設(shè)所求一次函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b(k≠ 0), 將 (30,40)、 (40,20)代入 y=kx+b, 得 ? 解得 ? ∴ y=2x+100.? (5分 ) (3)設(shè)利潤為 ω元 ,根據(jù)題意 ,得 ω=(x20)(2x+100)? (7分 ) =2x2+140x2 000 =2(x35)2+450,? (9分 ) 則當(dāng) x=35時 ,ω取最大值 . 即當(dāng)該產(chǎn)品的單價為 35元 /件時 ,工廠獲得最大利潤 450元 .? (10分 ) 30 40 34 32 38 24 40 20 42 165? ? ? ? ? ? ? ? ?30 40,40 20,kbkb???? ??? 2,1 0 0 ,kb ???? ??評析 本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算 ,一次函數(shù)解析式的確定 ,二次函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用 ,需要 結(jié)合題意提取出有效信息 ,同時要理解頂點(diǎn)坐標(biāo)與最值的關(guān)系 .屬中檔題 . 教師專用題組 考點(diǎn)一 拋物線與距離、面積、角度 1.(2022四川成都 ,28,12分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,以直線 x=? 為對稱軸的拋物線 y=ax2+ bx+c 與直線 l:y=kx+m(k0)交于 A(1,1),B兩點(diǎn) ,與 y軸交于點(diǎn) C(0,5),直線 l與 y軸交于點(diǎn) D. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 。, 12 1929 3 1 74? 9 3 1 74?529 3 1 74? 9 3 17 67 3 17,48????????9 3 17 67 3 17,48????????? ∵ P點(diǎn)有且只有一個 ,∴ 以 AB為直徑的圓與 x軸只有一個交點(diǎn) , 即該圓與 x軸相切 ,且 P為切點(diǎn) , 連接 O39。PM, ∴ 1(k2+3k+1)=?? ,即 3k2+6k5=0,Δ=960, 5 ,02k ???????AMPM PNBN54 2kk ?????????5 12k ????????∵ k0,∴ k=? =1+? . 6 4 66?? 2632.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,25,10分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=ax2+bx+c與 y軸交于點(diǎn) C, 其頂點(diǎn)記為 M,自變量 x=1和 x=5對應(yīng)的函數(shù)值相等 .若點(diǎn) M在直線 l:y=12x+16上 ,點(diǎn) (3,4)在拋 物線上 . (1)求該拋物線的解析式 。 2,29 3 4 ,4 2 8 ,baa b ca b c? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ???4,1 6 ,8,abc??????? ??2472247當(dāng) ? x4時 ,∠ PCO∠ ACO. (3)由 ? 解得 ? 或 ? ∴ B點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1,28). ∵ Q為線段 BM上一動點(diǎn) ,且不與 M重合 , ∴ Q(t,12t+16)(1≤ t2). ① 當(dāng) 1≤ t0時 , S=? (t)(12t+168)+8(t)=6t212t=6(t1)26, ∵ 1≤ t0,∴ 當(dāng) t=1時 ,S最大 ,且 Smax=18. ② 當(dāng) 0t? 時 ,S=? t ② 設(shè)動點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,b),將矩形 ABCD的周長 L表示為 a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍 ,判斷 周長是否存在最大值 ,如果存在 ,求出這個最大值 ,并求出此時點(diǎn) A的坐標(biāo) 。 ② 在①的條件下 ,點(diǎn) F是坐標(biāo)軸上的點(diǎn) ,且點(diǎn) F到 EA和 ED的距離相等 ,請 直接 寫出線段 EF的長 。PF=? 6落在該拋物線上時 ,求 m的值 。和 P關(guān)于原點(diǎn)對稱 , ∴ P39。作 P39。A2=P39。H2,符合上式 . ∴ P39。=t2+t+4,則 y39。 ② 判斷點(diǎn) D是否在該拋物線的對稱軸上 ,并說明理由 。. (2)① 證明 :∵ DE∥ AB,∴ ? =? . 又 ∵ OM=AM,∴ OH=BH. 又 ∵ BN=AN,∴ HN∥ AM. ∴ 四邊形 AMHN是平行四邊形 . ② 點(diǎn) D在該拋物線的對稱軸上 . 理由 :如圖 ,過點(diǎn)