平行四邊形與特殊的平行四邊形-預(yù)覽頁
【正文】 相垂直平分”的性質(zhì)。如圖L01，∠BAD=60o，則有：等邊ABD，等邊BDC ，AC=BD=AB【菱形的一些基本性質(zhì)】 ⒈菱形的四條邊都相等，周長=邊長4； ⒉如圖L01，菱形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小直角三角形都全等； 圖L02 ⒊如圖L02，菱形四邊中點(diǎn)連線所得四邊形是矩形；證明：連結(jié)AC、BD，交點(diǎn)為O，AC交HE于P，BD交HG于Q由中位線原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC， ∴HG與EF平行且相等，∴有EFGH 又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD （垂直于平行線中的一條，必垂直另一條） ∴ ∠HQO=90o，同理∠HPO=90o， 又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o，∴ 有矩形EFGH ⒋四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD相交于O，從以下條件中選取3條，可以判定四邊形ABCD是菱形的方法共有8種：①AB=BC，②AB=CD，③BC=AD，④AO=CO，⑤BO=DO，⑥AC⊥BD，⑦AB∥CD，⑧AD∥BC ①②③“四條邊相等的四邊形”或“一組鄰邊相等的平行四邊形”①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧：“一組鄰邊相等的平行四邊形”②③⑥、⑥⑦⑧：“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形” ④⑤⑥：“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形”五、典型題例與思路分析 證一個(gè)四邊形是菱形，有兩種思路：可以先由兩個(gè)條件證得平行四邊形，再加一個(gè)條件證得菱形；或者直接由三個(gè)條件證得菱形?！妓悸贩治觥奖纠茱@然可以利用對(duì)角線互相垂直平分來證菱形，我們可以用全等來證得對(duì)角線互相平分。⒌如圖J04，矩形ABCD中，AC與BD相交于O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F圖J04 求證：BE=CF圖J05⒍如圖J05，過矩形ABCD頂點(diǎn)A作AE∥BD，交CD延長線于E，猜想AEC的形狀并證明 ⒎如圖J06，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)，EF⊥BE且EF=BE，已知矩形周長為22cm，CE=3cm，求DE長圖J06正方形的性質(zhì)與判定一、 正方形的性質(zhì)與判定比較性質(zhì)判定邊對(duì)邊平行；四邊相等；一組鄰邊相等的矩形；角四角相等（都等于90o）一個(gè)角是直角的菱形；線對(duì)角線互相平分、垂直且相等 對(duì)角線相等的菱形；對(duì)角線垂直的矩形；對(duì)角線互相平分、垂直且相等的四邊形二、正方形判定方法① 簡單地說，要判定一個(gè)四邊形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理1—4，都是這種方法；② 判定正方形需要四個(gè)條件，比較平行四邊形、菱形和矩形的判定，判定平行四邊形只要兩個(gè)條件，判定菱形和矩形都要三個(gè)條件；③ 也可以先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，再加一個(gè)條件判定成菱形（或矩形），最后再加一個(gè)條件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。 圖Z01證法一：先證矩形，再證一組鄰邊相等證： ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90o，∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o， ∴有矩形CFDE（三個(gè)角是直角的四邊形是矩形） 又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC ∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等） ∴有正方形CFDE（一組鄰邊相等的矩形是正方形）證法二：先證菱形，再證一個(gè)內(nèi)角為90o證：∵DE⊥BC ∴∠DEB=90o，又∵∠ACB=90o， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE∥CF 同理DF∥CE ∴有CFDE又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC ∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等） ∴有菱形CFDE又∵∠DEB=90o ∴有正方形CFDE（一個(gè)角是直角的菱形是正方形）〖練習(xí)〗⒈如圖Z02，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于E，EF⊥AB于F 圖Z02 圖Z01 求證：四邊形AFED是正方形〖提示〗用“一組鄰邊相等的矩形是正方形”⒉如圖Z03，在正方形ABCD中，AE=BF，AF、ED相交于G 圖Z03 圖Z01 ①求證：AF=DE ②求證：AF⊥DE〖提示〗①證ABF≌DAE（SAS）②證∠2+∠3=90o：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o 圖Z04 圖Z01⒊① 如圖Z04，正方形ABCD對(duì)角線相交于O，E為AC上一點(diǎn)，過A作于G，AG交BD于F，求證：OE=OF〖提示〗證AOF≌BOE（AAS）② 如圖Z05，若點(diǎn)E在AC的延長線上，AG⊥BE交EB延長線于G，AG交DB延長線于F，其它條件不變，OE=OF還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論 圖Z05 圖Z01【實(shí)踐題】只給你測量長度的工具，怎樣測出一個(gè)矩形的物件是否合格？圖J11【實(shí)踐題】不用任何工具，怎樣檢驗(yàn)一張紙片是正方形？ 圖Z04 圖Z01【專題一】紙片折疊題型此類題型的關(guān)鍵在折疊前后的等量關(guān)系，要能找到哪些線段和角是不變的，它們是題中的隱含條件，要注意應(yīng)用
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