【正文】 學(xué)生姓名 熊 恒 學(xué) 號 0509404016 系 別 數(shù) 學(xué) 系 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 指導(dǎo)教師 何郁波 講師 2020 年 12 月 28 日 論文（設(shè)計(jì)）題目 線性方程組的幾種迭代解法研究 一、選題的目的、意義及相 關(guān)研究動(dòng)態(tài)和自己的見解： 線性方程組的求解在科學(xué)和工程計(jì)算中應(yīng)用廣泛，而迭代法是求解線性方程組常用的 重要的方法，因此對迭代法的研究和探討有著重要的意義；對迭代法的研究有較廣泛的 開展，并取得了一定的成果。如果涉及到大規(guī)模線性方程組的求解，則需要借助于計(jì)算機(jī)這一現(xiàn)代工具進(jìn)行迭代求解。 三、研究方法、設(shè)計(jì)方案或論文撰寫提綱： 論文設(shè)計(jì)方案如下 (1) 引言部分，通過查閱文獻(xiàn)，總結(jié)各類型的迭代解法，尤其是對于線性和非線性方程組的迭代解法。 2. 按時(shí)做開題報(bào)告， 3 月下旬完成論文初稿并與指導(dǎo)老師保持聯(lián)系，在指導(dǎo)老師的 指導(dǎo)下修改完善論文； 3. 在 5 月上旬完成并提交論文定稿，并作好論文答辯的準(zhǔn)備工作。本聲明的法律結(jié)果由 作者 承擔(dān)。 關(guān)鍵詞 迭代法；線性方程組；基本迭代法；共軛梯度法 The Study on Some Iterative Methods for Linear Equations Abstract The solution of linear systems is widely used in scientific and engineering puting. There are mainly two kinds of method: direct method and iterative method. This paper focuses on some mon methods of iterative method which is an important method of linear system, such as Jacobian iterative method。 basic iterative methods。還有很多迭代方法正在被人們發(fā)現(xiàn)和研究，新的有效的方法層出不窮。將 A 分裂為 ,A M N?? （ ） 其中， M 為可選擇的非奇異矩陣，且使 Mx d? 容易求解，一般為 A 的某種近似，稱 M 為分裂矩陣。 0( ! 1 )( ! )[ ] [ ] * [ ][ ] ( [ ] [ 1 ] ) / [ ] [ ] 。 0 , 1 , )Tnink k ki i ij j ij j iij j ix x xx b a x a x ai n k???? ? ?? ???? ? ???? ????? （ ） GaussSeidel 迭代法算法為 10 011 2 12 1 22 1 212121[ 1 ]0 。 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 1 2 31 2 31 2 310 3 142 10 3 53 10 14x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 在原方程組中取 10 0 02 10 01 3 10M D L????? ? ? ? ????? 0 3 10 0 30 0 0NU??????? ? ??? 設(shè) (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 則高斯 塞德爾迭代公式為 11 1 ( ) ( )1 2 31 ( ) ( )2 1 31 ( ) ( )3 1 2(14 3 ) / 10( 5 2 3 ) / 10(14 3 ) / 10k k kk k kk k kx x xx x xx x x???? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? 運(yùn)行程序后，結(jié)果 經(jīng)過 9 次迭代后求得 ( 00 , 00 , 00) Tx ? . 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 1 2 31 2 31 2 35 2 124 2 202 3 10 3x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 11 次迭代后求得 ( 4 .0 0 0 0 , 3 .0 0 0 0 , 2 .0 0 0 0 ) Tx ?? . 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 Ax b? 其中 9920 1 1 1 01 20 0 0 11 0 20 0 10 0 01 0 0 20 10 1 1 1 20A?? ? ???????? ??????? ? ??? 1 2 9( , )Tx x x x? , ( 2 ,1 8 ,1 8 1 8 , 2 ) Tb ? ? ?. 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 5 次迭代后求得： ( 341 , 229 229 , 230 ) Tx ? . 對 例 、 例 、例 、例 、例 、例 迭代結(jié)果的比較結(jié)果如下 12 表 Jacobi 法與 GaussSeidel 法結(jié)果比較 迭代方法 題號 系數(shù)矩陣類型 迭代次數(shù) Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 16 Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 24 Jacobi 法 例 稀疏矩陣 8 GaussSeidel 法 例 不規(guī)則矩陣 9 GaussSeidel 法 例 不規(guī)則矩陣 11 GaussSeidel 法 例 稀疏矩陣 5 由 表 可以 知道 當(dāng)用 Jacobi 法和 GaussSeidel 法求解線性方程組時(shí)，Jacobi法 一般 比 GaussSeidel 法收斂的要慢（因?yàn)檫_(dá)到同樣的精度時(shí) Jacobi 所需的迭代次數(shù)要多）；且求解一般矩陣時(shí)所需的迭代次數(shù)比稀 疏矩陣要多。 1 。 例 用 SOR 法解方程組 （分別取 ? =， ? =， ? =1， ? =， ? =） 1 2 31 2 31 2 35 2 124 2 202 3 10 3x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 設(shè) (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 運(yùn)行程序后得 當(dāng) ? = 時(shí)， 經(jīng)過 14 次后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 當(dāng) ? = 時(shí)， 經(jīng)過 10 次迭代后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 當(dāng) ? =1 時(shí)，經(jīng)過 11 次迭代后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 16 當(dāng) ? = 時(shí)，經(jīng)過 25 次迭代后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 當(dāng) ? = 時(shí)迭代不收斂。 表 Jacobi 法計(jì)算結(jié)果 k ()1kx ()2kx ()3kx k ()1kx ()2kx ()3kx 0 1 2 3 4 0 0 0 5 6 7 8 9 例 [12] 方程組 1 2 31 2 31 2 31 0 2 0 1 11 0 5 1 453x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ? ???? ? ?? 的精確解為 * (1,1,1)Tx ? . 把方程組化為 1 2 32 1 33 1 210 20 1110 5 1453x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ?? 18 取初始向量 (0) (0,0,0)Tx ? ,用 Jacobi 迭代法計(jì)算后的結(jié)果如表 ，從表中可以看出 無論怎么 計(jì)算 下去 ，此 次 迭代不 會 收斂 。 定理 3[1] 若 A 為對稱正定矩陣且 02???時(shí) SOR 迭代法收斂。 3 共軛梯度法 從第 一節(jié)的 基本 迭代法可以 知道 ,按照對系數(shù)矩陣的簡單分裂構(gòu)造出的迭代法 ,一般很難保證其迭代的收斂性 ,即使收斂其收斂速度也可能會比較慢 。 定義二次泛函 ( ) 2TTx x Ax b x? ??. （ ） 可以證明：求方程組（ ）的解等價(jià)于求二次泛函（ ）的極小點(diǎn)。但是實(shí)際計(jì)算中一般都有舍入誤差，所以 (0) (1),rr 并不是真正正交，而 (0) (1),xx也只是逐步逼近（ ）式的真解。 I=A。in) F(i)=1。 A(:,n)=A(:,n)+F39。 %設(shè)定精確解 X={1， 1， 1，…， 1} end delta=。, %設(shè)定初始解向量為 {1,2,3… ,128} NUM=0。amp。 end w=A*p。 r=rj*w。 但是 CG 法也存在著一定的缺陷，如：需要 3 套存儲單元，迭代公式比較復(fù)雜，需要的計(jì)算量大；而且舍入誤差的積累對解的精度有一定的影響。CG 法收斂的速度比其他經(jīng)典迭代法快的多，適合對大型稀疏矩陣求解，因此在科學(xué)和工程計(jì)算中可以得到很好的應(yīng)用，但共軛梯度法迭代公式復(fù)雜 、需要的大量計(jì)算、誤差對解的精度影響較大 。 int i,j,n,bk=0, N=1。n)。i++) { x1[i]=0。 */ } printf(\n input fang cheng zu xi shu:\n)。 while(jn+1) { printf(a%d%d=,i,j)。 } } printf(\n input chang shu xiang:\n)。 scanf(%f,amp。in+1。 } x2[i]=(a[i][n+1]temp)/a[i][i]。i++) { 29 fnum=(fabs(x1[i]x2[i]))。in+1。 for(i=1。 } printf(iterative number:\n)。 int i,j,n,bk=0, N=1。n)。i++) { x1[i]=0。 */ } for(i=1。 30 for(i=1。 scanf(%f,amp。 for(i=1。a[i][n+1])。i++) { for(j=1。 } x2[i]=(a[i][n+1]temp1temp2)/a[i][i]。in+1。 } for(i=1。 } printf(fang cheng zu answer:\n)。 printf(\n)。 } 程序 3： /*x1 是方程組的初始值 ,a[i][j]為系數(shù)矩陣 ,a[i][n+1]為常數(shù)項(xiàng) */ include include void main() { float a[11][12],x1[11],x2[11],temp=0,temp1=0,temp2=0,fnum=0,w。 scanf(%d,amp。w)。i++) { x1[i]=0。in+1。in+1。a[i][j])。in+1。 } printf(\n)。jn+1。 temp1=0。i++) { fnum=(fabs(x1[i]x2[i]))。in+1。 33 for(i=1。 } printf(iterative number:\n