【正文】 ,A M N?? （ ） 其中， M 為可選擇的非奇異矩陣，且使 Mx d? 容易求解，一般為 A 的某種近似，稱 M 為分裂矩陣。 設(shè) 0( 1, 2, , )iia i n?? ，并將 A 分為三部分 ,A D L U? ? ? （ ） 其中 5 1122 ,nnaaDa????????? 211 ,1 1 , 2,1 , 2 , 100,00nnn n n naLaaa a a?????????????? ? ??? 1 , 2 1 , 1 1 ,2 , 1 2 ,1,00.00nnnnnna a aaaUa???? ? ????????????? 雅可比法 取 M 為 A 的對(duì)角元素部分，即取 MD? ， A D N?? ,由 ()式得雅可比 (Jacobi)迭代法 ( 0 )( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , ) ,kkxx B x f k????? ? ??? （ 初 始 向 量 ） () 其中 1 1 1( ) ,B I D A D L U J f D b? ? ?? ? ? ? ? ?. Jacobi 迭代法（ ）的分量計(jì)算公式 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , ) .k k k k Tinx x x x? 由 Jacobi 迭代公式 ()有 1( 1 ) ( ) ( )11 ( 1 , 2 , , )ink k kii i ij j ij j ij j ia x a x a x b i n??? ? ?? ? ? ? ???. 因此 Jacobi 迭代法的計(jì)算公式為 6 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1( 1 ) ( )1( , , ) ,( ) /( 1 , 2 , , ) ( 0 , 1 , ) .Tnnkki i ij j iijjix x xx b a x ai n k???? ??????????????表 示 迭 代 次 數(shù) （ ） Jacobi 迭代法算法為 011212121[ 1 ]0 。 0( ! 1 )( ! )[ ] [ ] * [ ][ ] ( [ ] [ 1 ] ) / [ ] [ ] 。 例 用 Jacobi 迭代法求解線性方程組 1 2 31 2 31 2 310 3 142 10 3 53 10 14x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 在原方程組中取 10 0 00 10 00 0 10MD????? ? ??? 0 3 1( ) 2 0 31 3 0N L U??????? ? ? ? ????? 7 設(shè) (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 則雅可比迭代公式為 1 ( ) ( )1 2 31 ( ) ( )2 1 31 ( ) ( )3 1 2(14 3 ) / 10( 5 2 3 ) / 10(14 3 ) / 10k k kk k kk k kx x xx x xx x x???? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? 運(yùn)行程序后，結(jié)果 經(jīng)過 16 次 迭代后求得 ( 00 , 00 , 00) Tx ? . 例 用 Jacobi 迭代法解線性方程組 1 2 31 2 31 2 35 2 124 2 202 3 10 3x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 24 次迭代后求得 ( 4 .0 0 0 0 , 3 .0 0 0 0 , 2 .0 0 0 0 ) Tx ?? . 例 用 Jacobi 迭代法解線性方程組 121 2 323414443xxx x xxx????? ? ? ???? ? ? ?? 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 15 次迭代后求得 ( 00 , 0 , 00) Tx ??. 例 用 Jacobi 迭代法解線性方程組 Ax b? 其中 8 9920 1 1 1 01 20 0 0 11 0 20 0 10 0 01 0 0 20 10 1 1 1 20A?? ? ???????? ??????? ? ??? 1 2 9( , )Tx x x x? , ( 2 ,1 8 ,1 8 1 8 , 2 ) Tb ? ? ?. 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 8 次迭代后求得 ( 341 , 229 229 , 230 ) Tx ? . 以上例題的迭代結(jié)果比較如下 表 Jacobi 法迭代結(jié)果比較 迭代方法 題號(hào) 系數(shù)矩陣類型 迭代次數(shù) Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 16 Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 24 Jacobi 法 例 對(duì)稱矩陣 15 Jacobi 法 例 稀疏矩陣 8 由表 可以知道當(dāng)用 Jacobi 法求解線性方程組時(shí)，若系數(shù)矩陣為稀疏矩陣則所需的迭代次數(shù)比其它矩陣要少的多，即收斂速度要快；其中系數(shù)矩陣為對(duì)稱 矩陣時(shí)收斂速度也會(huì)比一般矩陣稍快。 0 , 1 , )Tnink k ki i ij j ij j iij j ix x xx b a x a x ai n k???? ? ?? ???? ? ???? ????? （ ） GaussSeidel 迭代法算法為 10 011 2 12 1 22 1 212121[ 1 ]0 。 0( ! 1 )()[ ][ ] * [ ]()[ ][ ] * [ ][ ] ( [ ][ 1 ] ) / [ ][ ]。 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 1 2 31 2 31 2 310 3 142 10 3 53 10 14x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 在原方程組中取 10 0 02 10 01 3 10M D L????? ? ? ? ????? 0 3 10 0 30 0 0NU??????? ? ??? 設(shè) (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 則高斯 塞德爾迭代公式為 11 1 ( ) ( )1 2 31 ( ) ( )2 1 31 ( ) ( )3 1 2(14 3 ) / 10( 5 2 3 ) / 10(14 3 ) / 10k k kk k kk k kx x xx x xx x x???? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? 運(yùn)行程序后，結(jié)果 經(jīng)過 9 次迭代后求得 ( 00 , 00 , 00) Tx ? . 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 1 2 31 2 31 2 35 2 124 2 202 3 10 3x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 11 次迭代后求得 ( 4 .0 0 0 0 , 3 .0 0 0 0 , 2 .0 0 0 0 ) Tx ?? . 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 Ax b? 其中 9920 1 1 1 01 20 0 0 11 0 20 0 10 0 01 0 0 20 10 1 1 1 20A?? ? ???????? ??????? ? ??? 1 2 9( , )Tx x x x? , ( 2 ,1 8 ,1 8 1 8 , 2 ) Tb ? ? ?. 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 5 次迭代后求得： ( 341 , 229 229 , 230 ) Tx ? . 對(duì) 例 、 例 、例 、例 、例 、例 迭代結(jié)果的比較結(jié)果如下 12 表 Jacobi 法與 GaussSeidel 法結(jié)果比較 迭代方法 題號(hào) 系數(shù)矩陣類型 迭代次數(shù) Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 16 Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 24 Jacobi 法 例 稀疏矩陣 8 GaussSeidel 法 例 不規(guī)則矩陣 9 GaussSeidel 法 例 不規(guī)則矩陣 11 GaussSeidel 法 例 稀疏矩陣 5 由 表 可以 知道 當(dāng)用 Jacobi 法和 GaussSeidel 法求解線性方程組時(shí)，Jacobi法 一般 比 GaussSeidel 法收斂的要慢（因?yàn)檫_(dá)到同樣的精度時(shí) Jacobi 所需的迭代次數(shù)要多）；且求解一般矩陣時(shí)所需的迭代次數(shù)比稀 疏矩陣要多。 由（ ）可構(gòu)造一個(gè)迭代法，其迭代矩陣為 11()( ) ( (1 ) ) ,L I D L AD L D U? ??? ? ???? ? ?? ? ? ? 從而得到逐次超松馳迭代法（ Successive Over Relaxation 簡稱 SOR 法） ( 0 )( 1 ) ( )() ( 0 , 1 ) ,kkxx L x f k?????? ? ??? 初 始 向 量 () 其中 11( ) ( ( 1 ) ) , ( )L D L D U f D L b? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?． SOR 迭代法的分量計(jì)算公式為 13 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , )k k k k Tinx x x x? ． 由（ ）式可得 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1( ( 1 , 2 , , )ink k k ki i i i i i i i j j i j jj j ia x a x b a x a x i n??????? ? ? ? ???． 因此 SOR 法的計(jì)算公式 為 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )11( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1( , ) ,(/( 1 , 2 , 0 , 1 )Tnink k k ki i i ij j ij j iij j ix x xx x b a x a x ai n k???????? ??? ? ? ? ???? ???????為 松 弛 因 子 () 從上面公式可以看出當(dāng) 1?? 時(shí) SOR 法等價(jià)于 GaussSeidel 法。 1 。0 , 0( ( [ ] [ ] )x x nbk N t e mpw hi l e bki f j it e mp a i j x j t e mpi f i jt e mp a i j x j t e mpx i x i a i n t e mp t e mp a i it e mp t e mpi f f abs x i x i p??? ? ?? ? ?????????? ? ? ? ???? ??初 值松 弛 因 子 取121( 10 , 6) )1[ ] [ ]1[]1owbkx i x iNNx x iN??????? 運(yùn)用附錄中的程序 3 求解下列線性方程組 。 例 用 SOR 法解方程組 （分別取 ? =， ? =， ? =1， ? =， ? =） 1 2 31 2 31 2 35 2 124 2 202 3 10 3x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???