【正文】 ， 則有 19 * ( ) ( 1 ) ( 0 )1 kk Bx x x xB? ? ?? . 因此 ， 當 B 越小則迭代法收斂的越快。 表 Jacobi 法計算結果 k ()1kx ()2kx ()3kx 0 1 2 3 0 11 69 499 0 14 81 374 0 3 66 429 從以上兩個例題可以看出迭代序列收斂是有條件的， 下面將給出基本迭代法收斂的 一些 條件。 基本迭代法的收斂性 例 [12] 方程組 1 2 31 2 31 2 31 0 2 7 .21 0 2 8 .32 2 1 0 8 .4x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? 的精確解為 * ( , , )Tx ? . 把方程組化為 17 1 2 32 1 33 1 20. 1 0. 2 0. 720. 1 0. 2 0. 830. 2 0. 2 0. 84x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ?? 取初始向量 (0) (0,0,0)Tx ? ,用 Jacobi 迭代法計算后的結果如表 ，從結果可以看出近似解序列以精確解為極限收斂。 綜合例 、例 、以及例 、例 的迭代結果比較如下 表 SOR 法和 GaussSeidel 法迭代結果比較 題號 ? 的取值 迭代次數(shù) 題號 ? 的取值 迭代次數(shù) 例 ? =3 不收斂 例 ? = 不收斂 ? = 14 ? = 14 ? =1 9 ? =1 11 ? = 10 ? = 10 ? = 8 ? = 25 題號 迭代方法 迭代次數(shù) 題號 迭代方法 迭代次數(shù) 例 GaussSeidel 法 9 例 GaussSeidel 法 11 從上表 可以看出，松弛因子 ? 的選擇對 SOR 迭代法的收斂速度有比較大的影響。 例 用 SOR 法解方程組（分別取 ? =， ? =， ? =， ? =1， ? =3） 1 2 31 2 31 2 310 3 142 10 3 53 10 14x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 在原方程組中取 10 001 1 0( ) 2 01013M D L???????????? ? ? ? ????????? 0 3 1( ) 2 0 31 3 0N L U??????? ? ? ? ????? 設 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????.則雅可比迭代公式為 15 1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 31 ( ) ( 1 ) ( ) ( )2 2 1 2 31 ( ) ( 1 ) ( ) ( )3 3 1 2 3( 14 10 3 ) / 10( 5 10 3 ) / 10( 14 3 10 ) / 10k k k k kk k k k kk k k k kx x x x xx x x x xx x x x x??????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 運行程序后得 當 ? = 時， 經過 14 次后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，. 當 ? = 時， 經過 8 次迭代后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，, 當 ? = 時，經過 10 次迭代后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，, 當 ? =1 時，經過 9 次迭代后為 ( 00 , 00 , 00) Tx ? , 當 ? =3 時迭代不收斂。 0( ! 1 )()[ ] [ ] * [ ]()[ ] [ ] * [ ][ ] [ ] * ( [ ] [ 1 ] ) / [ ] [ ] 。 SOR 迭代法算法為 14 011 2 12 1 22 1 1 21212[ 1 ]( 0 , 2)0 。 逐次超松馳迭代法 取分裂矩陣 M 為帶參數(shù)的下三角陣 1 ()M D L????,其中 0?? 為可選擇的松馳因子。0 , 0( ( [ ] [ ]) ( 1 0 , 6 ))1[]x x nb k N te mpw h ile b kif j ite mp a i j x j te mpif i jte mp a i j x j te mpx i a i n te mp te mp a i ite mp te mpif fa b s x i x i p o wbkxi? ? ?? ? ????????? ? ? ???? ?? ???初 值21[]1[]1xiNNx x iN???? 運用附錄中的程序 2 求解下列線性方程組 。 1 。 高斯 塞德爾迭代法 取分裂矩陣 M 為 A 的下三角部分，即 M D L??, A M N??,于是由 （ ） 式得高斯 塞德爾 (GaussSeidel)迭代法 9 ( 0 )( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , ) ,kkxx B x f k????? ? ??? （ 初 始 向 量 ） () 其中 1 1 1BI ? ? ?? ? ?（ DL ） A= （ DL ） UG ， f= （ DL ） b. GaussSeidel 迭代法的分量計算公式 為 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , ) .k k k k Tinx x x x? 由 GaussSeidel 迭代公式 ()有 1( 1 ) ( 1 ) ( )11 ( 1 , 2 , , ) .ink k kii i i ij j ij jj j ia x b a x a x i n???? ? ?? ? ? ??? 因此 GaussSeidel 迭代法計算公式為 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )11( 1 ) ( 1 ) ( )11( , , ) ,( ) /( 1 , 2 , , 。0( ( [ ] [ ] ) (10 , 6) )1[ ] [ ]1[]1x x nbk N te m pw hil e bkif j ite m p a i j x j te m px i a i n te m p a i ite m pif fabs x i x i powbkx i x iNNx x iN? ? ?? ? ?????? ? ??? ? ? ???????初 值 運用附錄中的程序 1 求解下列線性方程組 [2] 。 1 。 因此，求解 Ax b? 轉化為求解 Mx Nx b??，即 11x M Nx M bA x b ????? ?求 解 求 解 故構造 基本 迭代法 ( 0 )( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , ) ,kkxx B x f k????? ? ??? （ 初 始 向 量 ） （ ） 其中 1 1 1 1( ) , .B M N M M A I M A f M b? ? ? ?? ? ? ? ? ?稱 1B I A??? 為迭代 法的迭代矩陣，取不同的 M 陣可得到不同的迭代法。 4 2 基本迭代法 設有 ,Ax b? （ ） 其中， nnAR?? 為非奇異矩陣。 但在具體的問題中并不是所有的迭代法都能行的通，因為 迭代矩陣及其收斂性等影響著計算，因此文中重點分析了各迭代法的特點[7][9][10][11][13] 。當矩陣不對 稱時，常用的方法有完全正交化法和廣義極小剩余法。 conjugate gradient method 3 1 前言 在科學計算中，求解線性方程組的問題經常出現(xiàn)，雖然線性代數(shù)等課程中已經介紹了許多求解線性方程組的方法，但那大多是從理論上的分析求解方法，并不能簡單的套用到科學計算中；在科學 研究和大型工程設計中這些問題一般是連續(xù)的，在求解這些問題時 ,通常是對其進行離散處理，化 為 形如Ax b? 的大型稀疏線性方程組。 linear equations。 Gauss Seidel iteration。收斂性及收斂速度是影響迭代法求解線性方程組的主要因素，本文將從理論上對收斂性問題進行討論； 然后通過數(shù)值實驗歸納某些迭代法的一些特點 ，為 今后某些 具體問題的求解提供參考。 本科畢業(yè)論文（設計）作者簽名： 年 月 日 目 錄 摘 要 ...............................................................................................................................I 關鍵詞 .............................................................................................................................I Abstract ...........................................................................................................................I Key words ..................................................................................................................... II 1 前言 ............................................................................................................................ 3 2 基本迭代法 ................................................................................................................ 4 雅可比法 ……………………………………………………………… .......... 5 高斯 塞德爾迭代法 …………………………………………………… ........ 8 逐次超松馳迭代法 …………………………………………………… ........ 12 基本迭代法的收斂性 ………………………… ……………………… ........ 16 3 共軛梯度法 .............................................................................................................. 20 4 結果分析 .................................................................................................................. 25 參考文獻 ...................................................................................................................... 25 致 謝 ............................................................................................................................ 26 附錄 .............................................................................................................................. 27 I 線性方程組的 幾種迭代解法研究 摘 要 線性方程組的求解在科學與工程計算中應用廣泛。對 論 文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確的方式標明。 五、主要參考文獻（不少于