【正文】 在球極坐標(biāo)中為 式中為單位矢量 中的和部分是實數(shù)。 解：(1) 一圓周電流的磁矩為 （為圓周電流，為圓周所圍面積） (2)氫原子的磁矩為 在單位制中 原子磁矩與角動量之比為 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動量，求與此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動：(2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動：解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有 哈米頓算符 其本征方程為 (無關(guān)，屬定態(tài)問題) 令 ，則 取其解為 (可正可負(fù)可為零)由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有 即 ∴m= 0，177。2，…)可見能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。解： 可見，動量的可能值為 動能的可能值為 對應(yīng)的幾率應(yīng)為 上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得 ∴ ∴ 動量的平均值為 一維運動粒子的狀態(tài)是 其中，求： (1)粒子動量的幾率分布函數(shù)； (2)粒子的平均動量。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動量平方有確定值為 角動量Z分量的可能值為 其相應(yīng)的幾率分別為 ， 其平均值為 ，勢能為 求粒子的能級和定態(tài)函數(shù)。設(shè)為，則粒子的能量的本征方程為 令 ，得 其通解為 波函數(shù)的有限性條件知， 有限，則 A = 0 ∴ 由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有 ∵ ∴ ∴ 其中B為歸一化，由歸一化條件得 ∴ ∴ 歸一化的波函數(shù) . 解： 粒子處于狀態(tài) 式中為常量。2．證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。3．試證明：處于1s，2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大(為第一玻爾軌道半徑 )。 ∴ 為幾率最大位置，即在的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。 解：設(shè)電場強(qiáng)度為，方向沿χ軸負(fù)向，則總勢能為 ， 勢能曲線如圖所示。 下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？ ①， ② ， ③，?、埽、? 解：① ∴ 不是的本征函數(shù)。 ⑤ ∴ 是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。 證： 令 ，則得 ∴為幾率最小處。 令 ，得 同理可知 為幾率最小處。 ， ∴ 為幾率最大處。 1問下列算符是否是厄米算符： ① ② 解：① 因為 ∴ 不是厄米算符。解：基矢： 能量： 對角元： 當(dāng)時， 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。 解：的久期方程為 ∴的本征值為 的本征方程 其中設(shè)為的本征函數(shù)共同表象中的矩陣 當(dāng)時，有 ∴ 由歸一化條件 取 對應(yīng)于的本征值0 。 ∴ 轉(zhuǎn)動慣量為I、電偶極矩為的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場在中，如果電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。用微擾公式求能量至二級修正值。 解：①當(dāng)電離后的電子動能為零時，這時對應(yīng)的單色光的頻率最小，其值為 ②時，氫原子處于基態(tài)，其波函數(shù)為 在時刻， 微擾 其中在時刻躍遷到電離態(tài)的幾率為 對于吸收躍遷情況，上式起主要作用的第二項，故不考慮第一項， Oθαxyz（） 其中取電子電離后的動量方向為Z方向，取、所在平面為面，則有 ∴ ，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即 求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。 解： 若 ，則 解： 由 時， 即選擇定則為 補(bǔ)充練習(xí)三 一維無限深勢阱中的粒子受到微擾 作用，試求基態(tài)能級的一級修正。 ②討論躍遷的選擇定則。 解：取電場方向為軸正方向，則有 當(dāng)經(jīng)過很長時間以后，即當(dāng)時。 解：的久期方程為 ∴ 的本征值為。設(shè)對應(yīng)于的本征函數(shù)的矩陣表示為，則由歸一化條件，得 可見， 的可能值為 相應(yīng)的幾率為 同理可求得 對應(yīng)于的本征函數(shù)為在此態(tài)中，的可能值為 相應(yīng)的幾率為 ①求軌道角動量z分量和自旋角動量z分量的平均值； ②求總磁矩 的 z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。設(shè)兩個單粒子態(tài)為，則體系可能的狀態(tài)為 證明和組成的正交歸一系。解：電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S方程 考慮到 ，令其中 ， 對于基態(tài)，對于沿χ方向的第一激發(fā)態(tài)， 兩電子的空間波函數(shù)能夠組成一個對稱波函數(shù)和一個反對稱波函數(shù)，其形式為而兩電子的自旋波函數(shù)可組成三個對稱態(tài)和一個反對稱態(tài)，即 和綜合兩方面，兩電子組成體系的波函數(shù)應(yīng)是反對稱波函數(shù)，即獨態(tài)： 三重態(tài)： 主要參考書：[1] 周世勛，《量子力學(xué)教程》，高教出版社，1979[2] 張宏寶編 量子力學(xué)教程學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書，91